中学受験の算数 旅人算の出会い—二人が縮める距離を線分図で足して時間を求める｜武蔵野個別指導塾

二人が向かい合って縮める道のりを線分でつなぎ、単位の換算を済ませて、出会う時間と地点を求めます。

よくあるのは、道の両端から二人が向かい合って出発する問題で、小学生が二人の速さを引いてしまう場面です。速さが二つあると差を出したくなりますが、まず確かめるのは進む向きです。一方が進んだ分も、もう一方が進んだ分も、二人の間の道のりを短くします。線分の両端から同じ時間だけたどると、出会いまでの道のりが見えてきます。

ここでは、まっすぐな道の両端から同時に出発し、一定の速さで互いに向かう場合を考えます。出会うまで二人が止まらず、途中で向きを変えないものとします。出発時刻が異なる場合や折り返しは扱いません。数字は説明のために作った条件です。

要点（結論から）

• 向かい合う二人の間隔は、双方の進んだ距離の和だけ縮まります。
• 出会いまでの時間は、最初の間隔を同じ時間あたりの速さの和で割ります。
• 地点は、指定された側の速さに出会いまでの時間をかけます。

問われるものを先に分ける

出会いの問題には、道の両端の距離と二人の速さから、出発して何分後に会うかを求める型があります。このとき探すのは経過時間です。時計の時刻を答える問題なら、その時間を出発時刻に加えるところまで必要です。何分後と何時何分を混同しないよう、問題の最後に印をつけます。

別の型では、出会う地点が一方の出発点から何mかを求めます。時間がわかれば、その人の速さに出会うまでの時間をかけます。もう一方の出発点からの距離も同様に求められますが、答えに使う出発点は問題文の指定に合わせます。両方の距離を足して元の道のりになるか確かめると、地点の取り違えにも気づけます。

また、道のりと出会うまでの時間、一方の速さから、もう一方の速さを求める型もあります。最初に道のりを時間で割って、二人が1分間に縮める距離を出します。その後、一方の1分間の移動距離を除けば、残りがもう一方の1分間の移動距離です。足す場面と引く場面が同じ問題の中に現れるので、それぞれが何を表すかを言葉で添えます。

両端から縮める線分

二つの出発点を線分の両端に置き、出会う地点をその間に取ります。二人の移動距離は、その地点でつながります。図1のように、左からの距離と右からの距離を足すと、出発点どうしの距離になります。図は関係を示す模式図で、矢印の長さを速さの比として測るものではありません。

図1の左側を進む人をA、右側を進む人をBとします。出発から1分後には、最初の間隔からAが1分に進む距離とBが1分に進む距離の両方がなくなります。2分後には、それぞれの2分間の移動距離がなくなります。同時に出発して同時に出会うため、二人が進んだ時間は等しいのです。

たとえばAが分速60m、Bが分速40mなら、1分ごとに間隔は60 + 40 = 100m縮まります。これはどちらか一人が分速100mで歩くという意味ではありません。二人の間の距離が1分で減る量です。3分間ではAが180m、Bが120m進むので、間隔は合わせて300m縮まります。

速さの差を使うと、60 − 40 = 20mとなります。しかし向かい合う二人の間隔は1分で100m減るため、20mでは両方の動きを表せません。差が必要かどうかを式の形から決めるのではなく、片方が進んだときに間隔がどう変わるかを一人ずつ追います。

道のりを、1分間に縮まる距離で割れば、道のり全体を縮めるために必要な分数が出ます。単位も手がかりです。mをm/分で割れば分になります。時間の数値が出た後は、分速と時間をかけて、それぞれが実際に進んだ距離に戻します。

基本例題：出会うまでの時間と地点

長さ900mのまっすぐな道の両端から、AとBが同時に向かい合って歩きます。Aは分速50m、Bは分速40mで、速さは一定です。出発して何分後に出会うかを整数の分で、出会う地点がAの出発点から何mかを整数で求めます。

図2のように、900mを二人の移動距離に分けます。二人が同じ1分間に縮める距離は、それぞれの1分間の距離を足して求めます。

1分間に縮める距離は、

50 + 40 = 90（m）

です。はじめの900mが90mずつ縮まるので、出会いまでの時間は、

900 ÷ 90 = 10（分）

です。Aの10分間の道のりは、

50 × 10 = 500（m）

です。したがって答えは、出発して10分後、Aの出発点から500mです。図2では左から500m、右から400mの位置で矢印が出会います。

条件に戻して確認します。Bは10分間に40 × 10 = 400m進みます。Aの500mと合わせると500 + 400 = 900mで、道の全長に戻ります。AとBはともに出発から10分進んでおり、同じ地点に同じ時刻にいます。距離の和が合うだけでなく、時間も同じであることが出会いの条件です。

出会いの地点をB側から測れば400mです。500mと400mを入れ替えても合計は900mのままなので、和の検算だけでは出発点の取り違えを見逃します。問題がどちら側からの距離を求めているか、最後にもう一度読みます。

標準例題：時速を分速にそろえる

長さ2.7kmの道の両端から、CとDが午前9時20分に同時に向かい合って歩きます。Cは時速4.8km、Dは分速60mで、速さは一定です。出会う時刻を午前9時何分か、分を既約分数で表して答えます。

時間を分でそろえるため、まず道のりをmに直します。1kmは1000mなので、2.7kmは2700mです。Cの時速4.8kmは、1時間に4800m進む速さです。1時間は60分だから、Cの分速は4800 ÷ 60 = 80mです。Dはすでに分速60mなので、これで同じ1分間の距離を足せます。

1分に縮める距離は80 + 60 = 140mです。2700 ÷ 140 = 135/7分となり、整数の分にはなりません。整数の分にはならないため、端数を既約分数のまま表します。

135/7分は19と2/7分です。午前9時20分から19と2/7分後ですから、午前9時39と2/7分に出会います。小数に丸めてしまうと、正確な出会いの時刻とは限りません。分数のまま扱います。

Cは80 × 135/7 = 10800/7m、Dは60 × 135/7 = 8100/7m進みます。和は18900/7 = 2700mです。二人とも午前9時20分に出発し、同じ135/7分間、互いに向かって進んでいるので、この地点で同時に出会います。単位が混ざったまま4.8と60を足すことはできません。1時間あたりと1分あたりでは、数が表す時間の長さが違うからです。

発展例題：片方の速さを距離から戻す

長さ1.8kmの直線の道の両端から、EとFが同時に向かい合って出発し、12分後に出会いました。Eは分速70mで進みます。Fの速さを分速何mか、整数で求めます。二人の速さは一定です。

道のりは1800mです。12分で1800mの間隔を縮めたので、1分に縮める距離は1800 ÷ 12 = 150mです。この150mは二人の1分間の移動距離の和です。Eの分速70mを取り除くと、Fの分速は150 − 70 = 80mです。

別の見方でも確かめます。Eは12分で70 × 12 = 840m進みます。線分全体1800mからこの840mを除いた960mがFの移動距離です。960 ÷ 12 = 80m/分となり、同じ答えです。出発時刻は同じで、双方が12分間向かい合って進み、840 + 960 = 1800mです。Fの出発点から960m進んだ位置は、Eの出発点から840mの位置と一致します。

この型の分かれ目は、求めるものが時間か、片方の速さかです。時間を求めるときは、二人の速さの和を作って道のりを割ります。片方の速さを求めるときは、先に道のりを時間で割り、和から既知の速さを引きます。引き算が出てくるからといって、向かい合う間隔の縮まりを速さの差で求めたわけではありません。

与えられた時間と距離から出した二人分の速さが、すでにわかっている一人分以下なら、もう一人が正の速さで向かうという条件に合いません。計算結果が0や負になるときは、答えを無理に距離へ戻さず、条件と転記を点検します。また、出会いの前に終点を通り過ぎる図になっていないかも確かめます。

引き算を選んだ答えを直す

基本例題で、50 − 40 = 10として、900 ÷ 10 = 90分後と答えたとします。図3のように、最初の1分でAが50m、Bが40m進むので、間隔は90m縮まります。10mでは、両端から進んだ分を合わせた距離を表せません。

誤りの原因は、二人の速さを見てすぐに差を作り、二人の間隔の変化を描かなかったことです。直すには、最初の線分の両端から1分間に進む距離をそれぞれ書き込みます。残る間隔は900 − 50 − 40 = 810mなので、減った距離は900 − 810 = 90mです。図3の二つの区間をつなぐと90mになり、和を使う理由が目で追えます。

90分という答えを場面に戻すと、Aは4500m、Bは3600m進み、合わせて8100mです。出会う前の900mを大きく超えているため、出会うまでの時間としては合いません。計算が最後まで進んでいても、このように元の道に二人を戻せば誤りを見つけられます。

単位換算の誤りもあります。時速を分速に直すとき、kmをmに直してから60で割る順を明記します。60をかけるのか割るのか迷ったら、1時間に進む道のりを60等分した1分分だと考えます。出た分速に60をかけて元の時速の距離に戻れば、換算の確かめになります。

練習：出会うまでを自分でたどる

どの問題も、二人は直線の道の両端から同時に出発し、一定の速さで向かい合って進みます。答えには指定された単位をつけます。

1. 道の長さは840mです。Gは分速45m、Hは分速60mで歩きます。出発して何分後に出会うか、整数で求めます。
2. 道の長さは1.5kmです。Iは分速80m、Jは分速70mで進みます。出会う地点はIの出発点から何mか、整数で求めます。
3. 道の長さは3.6kmです。Kは時速5.4km、Lは分速90mで進みます。午前10時15分に出発したとき、出会う時刻を午前何時何分と整数で求めます。
4. 道の長さは1260mで、MとNは9分後に出会いました。Mが分速65mのとき、Nの速さを分速何mか、整数で求めます。
5. 道の長さは1000mです。Pは分速70m、Qは分速50mで進みます。出会うまでの時間を、分を単位とする既約分数で求めます。

練習の答えと条件への戻し方

1. 1分に縮める距離は45 + 60 = 105mです。840 ÷ 105 = 8より、8分後です。Gは45 × 8 = 360m、Hは60 × 8 = 480m進みます。同じ8分で互いに向かい、360 + 480 = 840mなので出会う位置が一致します。

2. 1.5kmは1500mです。1分に縮める距離は80 + 70 = 150m、出会うまで1500 ÷ 150 = 10分です。Iは80 × 10 = 800m進むので、Iの出発点から800mです。Jは70 × 10 = 700m進み、800 + 700 = 1500mです。二人は同時に出発して10分後に同じ地点へ着きます。

3. 5.4kmは5400mで、Kの分速は5400 ÷ 60 = 90mです。道のりは3600m、縮まる距離は1分に90 + 90 = 180mです。3600 ÷ 180 = 20分なので、午前10時35分です。二人はそれぞれ90 × 20 = 1800m進み、合わせて3600mです。同じ午前10時15分から20分間進んでいます。

4. 1分に縮める距離は1260 ÷ 9 = 140mです。Nの分速は140 − 65 = 75mです。Mは65 × 9 = 585m、Nは75 × 9 = 675m進みます。585 + 675 = 1260mで、同じ9分後に向かい合っていた二人が同じ位置にいます。

5. 1分に縮める距離は70 + 50 = 120mです。1000 ÷ 120 = 25/3分なので、答えは25/3分後です。Pは70 × 25/3 = 1750/3m、Qは50 × 25/3 = 1250/3m進みます。和は3000/3 = 1000mです。同時に出発し、等しい25/3分間進んだ両者が道の途中で出会います。分数を小数に丸めず、元の距離を正確に再現できます。

要点を残す

• 向かい合う二人の間隔は、双方の進んだ距離の和だけ縮まります。
• 出会いまでの時間は、最初の間隔を同じ時間あたりの速さの和で割ります。
• 地点は、指定された側の速さに出会いまでの時間をかけます。
• 単位と出発時刻をそろえ、二人の位置と時間を元の条件へ戻します。

どこで迷ったかを見つける

お子さまが引き算を選んだときは、まず式を直す前に、出発点と1分後の二人の位置を紙に描いてもらいます。両端から減った二つの部分を指せれば、次はその合計と元の間隔を比べられます。図が描けても時間を出せない場合は、1分ごとの縮まりと道全体の単位がそろっているかを見ます。

個別指導で確かめるときは、求めるものを時間、時刻、地点、速さのどれとして読んだかを言葉にしてもらいます。地点の答えなら、どちらの出発点から測ったかも確認します。最後に別々の移動距離と同じ経過時間を表へ戻すと、式の選び方と答えの意味を区別できます。出会いの地点は、二人の時間と距離が同時に一致するところです。