中学受験の算数 旅人算の追いつき—先に進んだ距離と速さの差を時刻の表で結ぶ｜武蔵野個別指導塾

先に出た人の移動を時刻の表に残し、追いつくまでの時間をどの出発から数えるか判断します。

よくあるのは、先に出た人を後から出た人が追いかける問題で、2人の速さだけを見て計算を始める場面です。後の人が出る前にも、先の人は進んでいます。その間にできた距離を忘れると、2人が同じ場所から同時に出たことになってしまいます。

同じ道を同じ向きへ、決まった速さで進む場面を考えます。出発時刻と追いつく時刻を表に書き込み、どこから数えた時間かを確かめながら解きます。

何を求める問題か

追いつきの問題では、後の人が出る時点の間隔と、1分ごとに縮まる間隔から、追いつくまでの時間を求めることがあります。答えが「後の人の出発から何分後」なら、後の人が出た瞬間を数え始めにします。先の人の出発から何分後かを聞かれたときは、そこへ先行した時間を加えます。

また、追いついた時刻や出発地点からの距離を求めることもあります。時刻なら、後の人の出発時刻に追いつくまでの時間を加えます。距離なら、後の人の速さに、その人が進んだ時間をかけます。どちらの人についても、同じ時刻の位置を計算すると一致するはずです。

反対に、追いつくまでの時間が与えられて、後の人の速さや先に出た時間を求めることもあります。その場合も、まず追いつき始めの間隔と、その間隔が縮まった時間を対応させます。与えられた時間がどちらの出発を起点にしているかは、問題文に線を引いて区別しましょう。

後の人が出た瞬間をそろえる

先に出た人をA、後から出た人をBとします。2人が同じ地点から同じ向きに進み、Aがすでに進んだところでBが出発するとします。Bの出発時点では、Aが進んだ距離だけ2人の間が開いています。これを先行距離と呼びます。

図1のように、Bの出発時点を左側、追いつく時点を右側に置きます。横の長さは場所を表し、出発地点と追いつく地点を2人でそろえます。Bが出る前のAの道のりが、最初の間隔です。

図1のように、追いついたときのBの道のりは、Bが出た後のAの道のりに先行距離を加えた長さです。同じ時間にBがAより余分に進む分が、最初の間隔を埋めています。速さの差とは、同じ1分間にBの道のりがAより何m長くなるかです。

たとえば1分間にAが60m、Bが90m進むなら、その1分で間隔は30m縮まります。次の1分でも同じ30m縮まります。速さが一定なので、縮まる距離も同じように積み重なります。先行距離が150mなら、150 ÷ 30 = 5より、Bの出発から5分で間隔がなくなります。

この150mはBが進む全体の道のりではありません。Bは5分で450m進み、AもBの出発後に300m進みます。Bが余分に進んだ150mが、先行距離と一致します。道のりと間隔を別々に書くと、割り算の意味が見えます。

時間と速さの単位もそろえます。分速を使うなら時間を分で表し、時速を使うなら時間を時間で表します。たとえば30分は1/2時間です。時速の差に30をかけると、30時間分を計算したことになるので注意します。答えに時刻を指定された場合は、経過時間を求めてから時計に戻します。

基本例題：先行した時間から距離を出す

Aさんは午前9時に地点Pを出て、まっすぐな道を分速60mで歩きます。Bさんは同じ地点Pを午前9時5分に出て、同じ向きに分速90mで進みます。2人とも速さを変えません。Bさんが出発してから何分後に追いつくか、整数の分で求め、追いつく時刻も答えましょう。

まず、Bさんが出る午前9時5分までを考えます。Aさんは5分進み、Bさんはまだ出発地点にいます。Aさんがその間に進んだ道のりは、次のようになります。

60 × 5 = 300m

Bさんが出た瞬間の間隔は300mです。図2のように、その後は2人とも進むので、Bさんが1分に進む90mをそのまま間隔の縮まりとすることはできません。Aさんも同じ1分に60m進むからです。

1分に縮まる間隔は、次の差です。

90 − 60 = 30m

300mの間隔を1分に30mずつ縮めるので、Bさんの出発から追いつくまでの時間は次のようになります。

300 ÷ 30 = 10分

午前9時5分から10分後ですから、追いつく時刻は午前9時15分です。先の人の出発から数えるなら5 + 10 = 15分後です。10分と15分は違う出来事を起点にしており、どちらも同じ追いつきの瞬間を指します。

元の場面へ戻して確かめます。午前9時15分までにAさんは15分、Bさんは10分進みます。Aさんは60 × 15 = 900m、Bさんは90 × 10 = 900mです。同じ地点Pから同じ向きに進んだ位置が一致します。また、Bさんの出発時にはAさんが300m先にいるため、最初から同じ位置にいたわけではありません。

標準例題：先の人の出発から数える

午前10時にAさんが地点Qから同じ向きの道を分速70mで進みます。6分後にBさんが地点Qを出て、分速100mで追いかけます。速さは一定です。Aさんの出発から何分後に追いつくかを整数の分で求め、地点Qからの距離も整数のmで答えましょう。

Bさんの出発時にはAさんが70 × 6 = 420m先にいます。その後の1分で縮まる間隔は100 − 70 = 30mです。420 ÷ 30 = 14分なので、Bさんが出てから14分で追いつきます。

求める起点はAさんの出発です。6 + 14 = 20分後と答えます。追いつく地点は、Aさんの道のりから70 × 20 = 1400mです。Bさんの道のりは100 × 14 = 1400mとなり、同じ場所になります。午前10時から6分たってBさんが出て、その14分後は午前10時20分です。表で時刻を置き直すと、先行した6分を2回足したり、足し忘れたりする誤りを見つけられます。

表の最初の行は、同じ地点から出るという条件を示しています。途中の行ではBさんがまだ進んでいないことに注意します。最後の行で経過時間が異なるのは、出発時刻が異なるためです。同じ時刻にいた場所を比べるのであって、同じ経過時間の道のりを比べるわけではありません。

発展例題：追いつく時間から速さを戻す

午前8時にAさんが地点Rを出て、まっすぐな道を分速80mで進みます。Bさんは同じ地点を午前8時12分に出て、同じ向きに一定の速さで追いかけます。午前8時20分に追いつきました。Bさんの速さを整数の分速何mかで求めましょう。

Bさんが出る前にAさんが進んだ距離は、80 × 12 = 960mです。午前8時12分から午前8時20分までは8分です。8分間で960mの間隔を縮めたので、1分に縮まった間隔は960 ÷ 8 = 120mです。これはBさんの速さそのものではなく、Aさんより1分に余分に進む距離です。

Aさんの分速に差を加えると、Bさんの速さは80 + 120 = 分速200mです。別の見方では、午前8時20分にAさんは20分進んで80 × 20 = 1600mの地点にいます。Bさんも同じ1600mを8分で進むので、1600 ÷ 8 = 分速200mです。時刻の表から2人の道のりをそれぞれ出すと、先行距離と差を使う方法を確かめられます。

追いつけるかどうかは、後の人の速さと先の人の速さの大小で分かれます。先行距離が正のとき、後の人が速ければ間隔は一定の割合で縮まり、道が十分続くなら追いつきます。同じ速さなら間隔は変わりません。後の人が遅ければ間隔は広がるので、追いつきません。速さの差が0のときに先行距離を0で割って時間を出すことはできません。

この判断は計算を始める前にできます。後の人が速いときでも、道が途中で終わるなど別の条件があれば、その地点に達する前に追いつくかを調べます。計算した時刻が場面の範囲に入って初めて、その場面の答えになります。

誤答を図でほどく

基本例題で、300 ÷ 90 = 3と1/3分とする誤答を考えます。300mをBさんだけが進めばAさんのいる場所に届く、と考えた式です。しかし、3と1/3分の間にAさんも進みます。最初にAさんがいた地点へBさんが着いても、Aさんはすでにそこから先にいます。

図3のように、Bさんの進む90mに対してAさんも60m進む1分間を比べます。1分後の間隔は300 − 30 = 270mで、0mではありません。Bさんの道のり全部を間隔の縮まりとするのではなく、同じ時間のAさんの道のりを引きます。

図3のように、差の30mを1分あたりの縮まりとして扱えば、300 ÷ 30 = 10分と直せます。仮に誤答の3と1/3分を元の場面に戻すと、Bさんは300mの地点、Aさんは300 + 60 × 10/3 = 500mの地点です。まだ200m離れているので、追いついたとはいえません。

もう一つの誤りは、後の人が出た後の時間を、先の人の出発からの時間として答えることです。速さの差で割った結果の起点は、先行距離を測った時点です。問題が別の起点を求めていれば、時間を足すか引くかを時刻の表で決めます。

練習：起点に印をつけて考える

どの問題も同じ地点から同じ向きに進み、速さは一定で、道は追いつくのに十分な長さとします。時間は整数の分、速さは整数の分速何mか、時刻は午前の時刻で答えてください。

1. Cさんは午前7時に分速50mで出発し、Dさんは午前7時4分に分速75mで追いかけます。Dさんの出発から何分後に追いつきますか。
2. Eさんは午前9時に分速40mで出発し、Fさんは午前9時6分に分速60mで追いかけます。Eさんの出発から何分後に追いつきますか。
3. Gさんは午前10時に分速60mで出発し、Hさんは午前10時5分に分速110mで追いかけます。追いつく時刻を答えてください。
4. Iさんは午前8時に分速45mで出発し、Jさんは午前8時8分に出発して午前8時14分に追いつきました。Jさんの速さを求めてください。
5. Kさんは午前11時に分速80mで出発し、Lさんは午前11時3分に分速80mで追いかけます。Lさんは追いつきますか。追いつかない場合は、その理由も答えてください。

練習の答えと場面への戻し方

1. 8分後です。先行距離は50 × 4 = 200m、1分に縮まる距離は75 − 50 = 25mです。200 ÷ 25 = 8分です。Cさんは出発から12分で50 × 12 = 600m、Dさんは8分で75 × 8 = 600m進み、位置が一致します。

2. 18分後です。Eさんの先行距離は40 × 6 = 240m、速さの差は60 − 40 = 20mです。Fさんの出発から240 ÷ 20 = 12分後なので、Eさんの出発からは6 + 12 = 18分後です。Eさんは40 × 18 = 720m、Fさんは60 × 12 = 720m進みます。

3. 午前10時11分です。Gさんの先行距離は60 × 5 = 300m、1分あたりの縮まりは110 − 60 = 50mです。Hさんの出発から300 ÷ 50 = 6分後なので、午前10時5分の6分後です。Gさんは11分で60 × 11 = 660m、Hさんは6分で110 × 6 = 660m進みます。

4. 分速105mです。Iさんの先行距離は45 × 8 = 360mです。Jさんは6分で追いついたので、1分あたりの縮まりは360 ÷ 6 = 60mです。Jさんの速さは45 + 60 = 分速105mです。午前8時14分にIさんは45 × 14 = 630m、Jさんは105 × 6 = 630mの地点にいます。

5. 追いつきません。Lさんが出る時点でKさんは80 × 3 = 240m先にいます。その後は同じ1分間に2人とも80mずつ進むので、240mの間隔が変わらないからです。たとえばLさんの出発から5分後、Kさんは80 × 8 = 640m、Lさんは80 × 5 = 400m進み、差は240mのままです。

覚えておくこと

• 後の人が出る時点の先行距離を出します。
• 同じ時間に進む道のりの差が、間隔の縮まりです。
• 先行距離を速さの差で割った時間は、後の人の出発から数えます。
• 時刻と位置を元の条件に戻し、2人が同じ地点にいるか確かめます。
• 先行距離が正で後の人が同じ速さ以下なら、追いつきません。

どこで迷ったかを見分ける

お子さまが答えを出せないときは、まず後の人が出る時刻に2人がどこにいるかを尋ねます。先の人の位置が出発地点のままなら、出発前の時間帯を表に分けて、先の人の道のりを計算します。位置は描けるのに速さを足してしまう場合は、同じ1分間に2人が進む距離を並べ、間隔が何m変わるかを指でたどります。

個別指導では、正しい式を書けた後も、その商がどの時刻からの時間かを言葉で説明できるか確かめます。時刻と経過時間を混同している場合は、出発、後の人の出発、追いつきの3行を書き、各人の経過時間を別の列に置きます。最後に2人の位置を計算して一致させると、先行距離の取り落としや時間の足し忘れが見えます。追いつきは、同じ時刻の位置をそろえることで確かめられます。