中学受験の算数 ニュートン算の終了条件—差し引きの減少量から終わる場合を見分ける｜武蔵野個別指導塾

在庫への一定の補給と人数ごとの処理量を比べ、終わるかどうかを判断する軸はニュートン算の終了条件です。

よくあるのは、倉庫に届く品物を何人かで処理する問題で、小学生が人数を減らしても日数が長くなるだけで必ず終わると思う場面です。はじめにある品物は、作業する間にも補給されます。1日あたりの処理が補給を上回らなければ、はじめの在庫を減らせません。

人数を変える前の記録から補給と初期の在庫を求め、その後の人数で本当に終わるかを調べます。数を割る前に、在庫が減る方向へ動くかを見ます。

何を求める問題か

出方の1つは、はじめの在庫と1日あたりの補給がわかっていて、人数を変えた後の終了日数を求めるものです。1人が1日に処理する数から全員の処理量を出し、補給との差で初期の在庫を割ります。ただし、割る数が正になる場合に限ります。

もう1つは、同じ初期在庫から始めた2通りの作業記録を使い、補給と初期在庫を先に求めるものです。その値を使って別の人数を調べます。2通りの作業で初期在庫と補給の速さが同じであることが、記録を比べるための条件です。

さらに、複数の人数について、終わるかどうかを分類する問いもあります。日数を出す前に、処理量が補給より大きい、等しい、小さいの3つを分けます。等しい場合は減少量が0なので、0で割って日数を出すことはできません。小さい場合は在庫が増えるので、正の初期在庫はなくなりません。

ここでは作業も補給も一定の速さで連続して進み、在庫が初めて0になった時点で終了とします。1日未満の時間も同じ割合で進みます。これは品物の量を、たとえば同じ重さの材料として連続的に扱う設定です。日末にまとめて届く設定では途中の在庫の動きが違うため、この約束を確認します。

増える分と処理する分をそろえる

初期在庫は、作業を始める時点ですでにある量です。補給量は、作業中に新しく届く量です。処理量は、全員が同じ時間内に扱う量です。初期在庫は「個」、補給量と処理量は「1日あたり何個分」のように、単位の違いを意識します。

図1のように、1日の処理量から同じ1日の補給量を差し引くと、初期在庫を減らす分が残ります。図の長さは処理12、補給8、減少4の比です。処理した12のうち8はその日の補給に対応し、残る4が最初からあった在庫を減らします。

図1では補給より処理が大きいので、初期在庫が正なら一定の速さで0へ近づきます。たとえば初期在庫が40なら、40 ÷ 4 = 10日です。10日間の補給は80、処理は120で、40 + 80 = 120となります。処理の累計が、初期在庫と補給の累計をちょうど使い切りました。

処理と補給が同じなら、届く分を処理しても初期在庫はそのまま残ります。処理が補給より少なければ、処理しきれない補給が在庫に加わります。どちらも正の初期在庫からは終了しません。はじめから在庫が0の場合は開始時点ですでに0なので、ここで調べる正の初期在庫とは分けます。

2通りの終了記録では、処理の累計を比べます。どちらにも同じ初期在庫が含まれるため、その差は、作業時間の差の間に届いた補給の量です。初期在庫が共通でない場合、この差をそのまま補給とみなせません。日数の差と処理の累計の差を対応させることが出発点です。

基本：記録から3人の場合へ

ある材料置き場には、最初に一定量の材料があります。材料は1日に6個分の重さずつ一定の速さで届き、1人は1日に3個分の重さを一定の速さで処理します。4人なら10日で、6人なら5日で初めて在庫が0になります。最初の量を求め、3人なら開始から何日で終わるかを整数の日数で答えましょう。また、2人と1人では終わるかどうかを答えましょう。

この問題は補給量が示されていますが、2つの記録からも確かめられます。図2のように、各段の処理総量は初期在庫と作業中の補給を合わせた量です。線分の長さは材料の量に比例します。

4人の1日の処理は、3 × 4 = 12個分です。10日で処理する量は、12 × 10 = 120個分です。6人の1日の処理は、3 × 6 = 18個分です。5日で処理する量は、18 × 5 = 90個分です。

同じ初期在庫を含む2つの総量の差は、120 − 90 = 30個分です。長い方は10 − 5 = 5日だけ多く補給を受けます。したがって、1日の補給は30 ÷ 5 = 6個分で、問題の条件と合います。

10日間の補給は6 × 10 = 60個分です。120個分の処理総量からその補給を除くと、初期在庫は120 − 60 = 60個分です。別の記録でも、90 − 6 × 5 = 60個分になります。

3人の1日の処理は3 × 3 = 9個分です。補給の6個分より大きく、差し引きで9 − 6 = 3個分ずつ減ります。初期在庫60個分を減らす時間は60 ÷ 3 = 20日です。答えは20日です。

元の場面に戻すと、20日で補給は6 × 20 = 120個分、処理は9 × 20 = 180個分です。初期在庫60個分と補給120個分の合計が180個分なので、ちょうど処理し終えます。それより前は毎日3個分ずつ減り、まだ正の在庫があるため、20日が初めて0になる時点です。

2人なら処理は1日に6個分で、補給と同じです。初期在庫60個分は減らず、終わりません。1人なら1日に3個分だけ処理しますが、6個分が届くため、在庫は1日に3個分ずつ増え、やはり終わりません。人数が半分なら日数が2倍という考えは、補給があると使えません。

標準：補給を求めてから別の人数へ

材料が一定の速さで届く置き場があります。初期在庫と補給の速さは毎回同じで、1人は1日に4個分を処理します。5人では8日、3人では16日で初めて在庫が0になります。2人では開始から何日で終わるか、整数の日数で答えましょう。

5人の処理総量は4 × 5 × 8 = 160個分です。3人の処理総量は4 × 3 × 16 = 192個分です。長くかかる方が多く処理するのは、長い期間に補給も多く届くからです。処理総量の差は192 − 160 = 32個分、日数の差は16 − 8 = 8日です。よって補給は1日に32 ÷ 8 = 4個分です。

初期在庫は160 − 4 × 8 = 128個分です。別の記録でも192 − 4 × 16 = 128個分と戻ります。2人の処理は1日に4 × 2 = 8個分、差し引きの減少は8 − 4 = 4個分です。128 ÷ 4 = 32より、答えは32日です。

確かめると32日間の補給は128個分、処理は256個分です。初期の128個分と補給128個分を合わせた256個分を処理しています。1人では処理と補給がともに4個分なので、初期在庫は残り続けます。終了する人数の境目は、人数そのものではなく、その人数の処理量と補給量の大小で決まります。

発展：人数による分かれ目を調べる

同じ初期在庫から始め、材料が一定の速さで届きます。1人の処理は1日に5個分です。6人では6日、4人では12日で初めて在庫が0になります。3人の場合の終了までの日数を整数で求め、2人と1人では終わるかどうかを答えましょう。

6人の処理総量は5 × 6 × 6 = 180個分、4人では5 × 4 × 12 = 240個分です。総量の差60個分は12 − 6 = 6日分の補給なので、補給は60 ÷ 6 = 10個分です。初期在庫は180 − 10 × 6 = 120個分です。もう一方も240 − 10 × 12 = 120個分となります。

3人の処理は1日15個分、補給との差は5個分です。120 ÷ 5 = 24より、24日で終わります。24日間で処理する360個分は、初期の120個分と補給240個分の合計です。

2人の処理は1日10個分で補給に等しく、在庫120個分が残ります。1人では処理5個分に対し10個分が届き、1日あたり5個分増えます。たとえば6日後は150個分です。初期120個分と補給60個分の合計180個分から、処理30個分を引いても150個分となり、増える判断と一致します。

表は線分図と別の形で、同じ時間の処理と補給を横に並べています。3人から2人へ減ると、差が正から0へ変わります。この境目では日数がただ長くなるのではなく、正の初期在庫を使い切れなくなります。補給が途中で止まるなど条件が変わる場合は、この表の結論をそのまま使えません。

間違いを数の動きに戻す

基本例題で「2人なら4人の半分だから20日で終わる」と答えたとします。原因は、4人のときの総処理量と、初期在庫を減らす速さを混同したことです。4人の処理は1日12個分ですが、補給6個分があるので、初期在庫は1日に6個分減ります。

図3のように、2人の処理6個分は補給6個分とつり合っています。線分は同じ長さです。20日後に初期在庫60個分が消えたかを、総量で調べてみます。

20日で処理するのは6 × 20 = 120個分です。同じ20日間に120個分が補給されるので、60 + 120 − 120 = 60個分が残ります。答えを日数にする前に1日あたりを比べ直せば、終了しないと修正できます。

もう1つの誤りは、処理が補給より小さいときに、大きい方から小さい方を引いて正の数を作り、初期在庫を割ることです。差の大きさだけでは増減の向きが消えます。たとえば基本例題の1人では、6 − 3 = 3は減少量ではなく増加量です。式の横に「増える」と言葉を書けば、割り算に進む前に向きを点検できます。

自分で確かめる5問

どの問題も、材料は同じ重さの単位で連続的に扱い、補給と各人の処理はそれぞれ一定の速さです。初期在庫が初めて0になる時点を終了とします。日数は整数または既約分数で答えてください。

1. 初期在庫は90個分、補給は1日6個分です。1人は1日3個分を処理します。4人では何日で終わりますか。2人では終わりますか。
2. 同じ初期在庫と補給のもとで、1人は1日2個分を処理します。5人では12日、7人では6日で終わりました。補給と初期在庫を求め、4人なら何日で終わるか答えてください。
3. 初期在庫は72個分、補給は1日8個分、1人の処理は1日4個分です。1人、2人、3人のそれぞれについて終了するかを答え、終了する場合は日数も求めてください。
4. 同じ初期在庫と補給のもとで、1人は1日3個分を処理します。8人では6日、6人では9日で終わりました。3人では何日で終わりますか。初期在庫と補給も求めてください。
5. 初期在庫は55個分、補給は1日5個分、1人の処理は1日2個分です。4人では何日で終わりますか。2人では終了するかも答えてください。

5問の答えと戻し方

1. 4人の処理は12個分、差し引きは1日6個分です。90 ÷ 6 = 15で、15日です。補給90個分と初期90個分の合計180個分を、4人が15日で処理します。2人は処理が補給と同じ6個分なので、90個分が残り終わりません。

2. 5人の総処理は2 × 5 × 12 = 120個分、7人では2 × 7 × 6 = 84個分です。差36個分は6日分の補給なので、1日6個分です。初期在庫は120 − 6 × 12 = 48個分です。もう一方も84 − 6 × 6 = 48個分です。4人の処理は1日8個分、減少は2個分なので、48 ÷ 2 = 24日です。24日間の補給144個分と初期48個分の合計192個分は、処理8 × 24 = 192個分と一致します。

3. 1人の処理は4個分で、1日4個分ずつ増えるため終わりません。2人の処理は8個分で補給と等しく、72個分が残ります。3人の処理は12個分で、1日4個分ずつ減るので72 ÷ 4 = 18日です。18日で補給144個分、処理216個分となり、初期72個分と補給を合わせた量が処理量に一致します。1人と2人は、たとえば1日後の在庫がそれぞれ76個分、72個分であり、その後も同じ向きに動きます。

4. 8人の総処理は3 × 8 × 6 = 144個分、6人では3 × 6 × 9 = 162個分です。差18個分は3日分の補給なので、補給は1日6個分です。初期在庫は144 − 6 × 6 = 108個分で、162 − 6 × 9でも108個分です。3人は1日9個分を処理し、差し引き3個分減らします。108 ÷ 3 = 36日です。36日間の補給216個分に初期108個分を加えると324個分で、処理9 × 36 = 324個分と合います。

5. 4人の処理は1日8個分、減少は3個分です。55 ÷ 3 = 55/3より、55/3日です。補給は275/3個分、処理は440/3個分です。初期55個分を165/3個分とすると、165/3 + 275/3 = 440/3で条件に戻ります。2人の処理は1日4個分で補給より1個分少ないため、在庫が増えて終わりません。

覚えておくこと

• 同じ時間の処理と補給を比べ、その差の向きを決めます。
• 処理が補給より大きいとき、初期在庫を1日あたりの減少量で割ります。
• 処理が補給と等しいか小さいと、正の初期在庫はなくなりません。
• 2通りの記録の総処理量の差は、時間差の間の補給に対応します。
• 最後に初期在庫と補給の合計が処理総量に合うか調べます。

考え方を見取るには

お子さまが日数をすぐに割り算で出したときは、まず「1日に在庫が何個分増えるか、減るか」を言葉で尋ねると、差の向きをつかめているか見えます。2通りの記録の差で迷う場合は、それぞれの総処理量を初期在庫と補給に分け、共通部分を指で隠して比べます。

個別指導では、等しい場合と補給が多い場合も表に書いてもらい、答えの数値だけでなく、0で割らない理由や在庫が増える理由を確かめます。終了する場合は求めた日数を元の場面に戻し、途中で初めて0になることまで説明できるかを見ると、終了条件の理解がはっきりします。