中3数学 関数y=ax²の変化の割合—区間の増加量から一定にならない理由を追う｜武蔵野個別指導塾

負の区間や原点をはさむ区間で、端点の値の差を比べ、等幅でも変わる変化の割合を読み解きます。

よくあるのは、放物線上の点の座標を見て、yをxで割った数を区間の変化の割合として使う場面です。1点の座標だけでは、どこからどこまでの変化を調べるのか決まりません。始点と終点を決め、それぞれのyの値を出してから差を取ると、負の範囲や原点をはさむ範囲も同じ手順で扱えます。

どの区間の変化を問われているか

変化の割合を求める問題には、まず式と2つの端点が与えられる型があります。xが負から負へ増える場合でも、終わりの値から始めの値を引きます。次に、幅が等しい複数の区間を比べ、yの増加量が等しいかを説明する型があります。幅をそろえた比較では、yの増加量の違いが割合の違いにそのまま表れます。

さらに、変化の割合から係数や端点を逆に求める型があります。このときも求めた値を元の2点へ戻し、差を作って確かめます。区間の幅が0になっていないかという条件は、逆算で特に見落としやすいところです。

目標は公式を覚えることにとどまりません。端点の順序、2種類の増加量、割る数が0でないことを言葉と式で説明し、答えの符号まで点検できることです。ここでは2点の間の変化を扱います。

差を2つ作ってから割る

xがpからqまで変わるとします。pとqは異なる数です。xの増加量はq-p、対応するyの増加量は、終わりのyの値から始めのyの値を引いたものです。増加量という名前でも、値が減れば負になります。変化の割合は次の商です。

変化の割合 = yの増加量 / xの増加量

図1のように、始点と終点を同じ順序で並べます。xの差とyの差を一方だけ逆にすると符号が変わってしまいます。両方を逆にすれば分子と分母の符号がともに反対になり、商は変わりません。

図1の対応を式でたどると、始点の値はap²、終点の値はaq²です。平方の差を因数分解できるため、次のようになります。

変化の割合 = (aq²-ap²)/(q-p)
            = a(q²-p²)/(q-p)
            = a(q-p)(q+p)/(q-p)
            = a(p+q)

最後に約分できるのは、pとqが異なり、q-pが0でないからです。p=qなら最初の商の分母が0になり、区間の変化の割合をこの式から定めることはできません。見かけ上a(p+q)に数を入れられても、元の条件に戻る必要があります。

また、y/xはxが0でない1点について、原点からその点までの変化の割合と一致します。始点が原点と限らない問題では別の量です。たとえばy=x²でxが1から3へ変わると、割合は(9-1)/(3-1)=4ですが、終点のy/xは9/3=3です。原点から3までの割合と、1から3までの割合を取り違えています。

等幅を続けて比べる理由

端点をp、p+h、p+2hとし、hを0でない数とします。前の区間の割合はa(2p+h)、次の区間の割合はa(2p+3h)です。両者の差は2ahです。aもhも0でなければ、この差は0にならず、隣り合う等幅の区間の割合は一致しません。hを正にすれば、どちらもxが増える向きの比較です。

同じ幅hを各割合に掛けると、yの増加量の差は2ah²です。aが正なら後の区間の増加量の方が大きく、aが負なら小さくなります。ここでいう大小は負の数も含む数の大小です。たとえば-2は-5より大きいので、減少量の大きさと混同しないようにします。

この説明は特定の表の数を並べた観察ではなく、任意のpと0でないhについて式を変形したものです。幅が異なる区間では、この比較をそのまま使わず、各区間の差をそれぞれの幅で割ります。どの条件の下で成り立つかを添えると、理由が伝わる答案になります。

例題で端点から計算する

次の3題は自作です。答えはいずれも整数または正確な分数で表してください。まず問題を読み、区間をそれぞれ書き出してから解答へ進みます。

基本例題

関数y=2x²について、xが1から3まで増加するときの変化の割合を求めてください。また、xが3から5まで増加するときの割合と比べ、等幅の区間でyの増加量がどう違うか説明してください。

標準例題

関数y=-(1/2)x²について、xが-4から-2まで増加するときと、-2から2まで増加するときの変化の割合をそれぞれ求めてください。符号と0になる理由も述べてください。

発展例題

関数y=ax²について、xが-3から1まで増加するときの変化の割合が6です。aを求めてください。さらに、xがtからt+2まで増加するときの変化の割合が-3となるtを求め、2つの端点と元の式で確かめてください。

基本例題の解答

xが1、3、5のときのyを順に求めます。

y = 2・1² = 2
y = 2・3² = 18
y = 2・5² = 50

図2のように、1から3と3から5のxの増加量は、どちらも2です。対応するyの増加量はそれぞれ18-2=16、50-18=32です。

図2の差をそれぞれの幅で割ります。

1から3まで: (18-2)/(3-1) = 16/2 = 8
3から5まで: (50-18)/(5-3) = 32/2 = 16

答えは順に8、16です。幅が同じ2でも、yの増加量は16と32で等しくありません。式の係数が一定でも、変化の割合は区間によって一定とは限らないとわかります。実際、求めた割合に幅2を掛けると16と32になり、元の端点の値の差に戻ります。

1点の比で計算すると、終点3では18/3=6です。これは求める8と異なります。始点の値2を引かずに終点の値18を使うと、原点からの変化を混ぜてしまうからです。

標準例題の解答

まず各端点を元の式に代入します。負の数を二乗すると正になる点に注意します。

x=-4: y=-(1/2)・(-4)²=-8
x=-2: y=-(1/2)・(-2)²=-2
x=2:  y=-(1/2)・2²=-2

したがって、区間ごとの割合は次の通りです。

-4から-2: {(-2)-(-8)}/{(-2)-(-4)} = 6/2 = 3
-2から2:  {(-2)-(-2)}/{2-(-2)} = 0/4 = 0

前者ではxが2増える間にyは6増えます。負の範囲だから割合も負とは限りません。後者は端点の絶対値が等しく、二乗した値も等しいため、yの増加量が0です。xの幅は4なので、0で割ることにはなりません。割合に幅を掛けるとそれぞれ6、0となり、元のyの差と一致します。

発展例題の解答と分かれ目

端点の和を使う式に代入すると、次のようになります。-3と1は異なるため、この式を適用できます。

6 = a(-3+1)
6 = -2a
a = -3

元の式はy=-3x²です。x=-3でy=-27、x=1でy=-3なので、元の定義に戻すと{(-3)-(-27)}/{1-(-3)}=24/4=6です。与えられた割合を復元できました。

続いて、端点の和はt+(t+2)=2t+2です。幅が常に2なので、2つの端点は必ず異なります。

-3 = -3(2t+2)
1 = 2t+2
2t = -1
t = -1/2

このとき終点は3/2です。元の式に代入すると、始点のyは-3/4、終点のyは-27/4です。差は-6、xの差は2ですから、割合は-6/2=-3と条件に戻ります。

別の方法では、端点の値を直接引きます。終点の値-3(t+2)²から始点の値-3t²を引き、幅2で割れば-6t-6です。これを-3と置いても同じtになります。端点の和を使う方法は短く、直接差を作る方法は元の定義との対応を見失いにくい方法です。

逆算では条件が解の採否を左右します。たとえば2つの端点をpとqとして割合がa(p+q)だと使う際、結果としてp=qとなる候補が出たら除きます。式だけでは入れられる数でも、元の商では分母が0になるからです。条件を点検する前に候補を答えと決めないことが、順方向の計算との分かれ目です。

間違えた式を端点へ戻す

図3のように、基本例題で18/3=6としてしまう誤答を考えます。終点(3,18)の座標を割っているため、原点から終点までの割合を求めています。求めたい始点は(1,2)なので、xとyの両方から始点の値を引きます。

図3では正しくは(18-2)/(3-1)=8です。原因は計算力の不足ではなく、どの2点を比べるかの取り違えです。修正するときは分子にyの差、分母にxの差と書き添え、両方の引き算が終点から始点になっているかを確認します。

別の誤りは、xが-4から-2のとき、幅を-4-(-2)=-2としながら、yは終点から始点を引くことです。引く順序がそろわず、正しい答えと符号が逆になります。どちらも始点から終点を引くなら商は同じですが、片方だけを逆にしてはいけません。

対称な端点ではyの値が等しいので割合は0です。しかし、割合が0ならxの変化も0というわけではありません。標準例題の幅は4です。また、端点が等しければよいと条件を外すと、分母も0となります。異なる端点であることが、対称区間の議論を支えています。

練習問題

各問の数は自作です。答えは整数または正確な分数で表し、必要な計算も書いてください。

1. y=3x²で、xが2から4まで増加するときの変化の割合を求めてください。
2. y=x²で、xが-5から-3まで増加するときの変化の割合を求め、符号の理由を述べてください。
3. y=-(1/3)x²で、xが-6から6まで増加するときの変化の割合を求めてください。
4. y=(1/2)x²で、xが0から2、2から4へそれぞれ増加するときの変化の割合を求め、yの増加量を比べてください。
5. y=ax²で、xが1から5まで増加するときの変化の割合が-12です。aを求め、xが-2から4まで増加するときの変化の割合も求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 端点のyは12と48です。(48-12)/(4-2)=36/2=18です。18に幅2を掛けると36となり、48と12の差に戻ります。

2. 端点のyは25と9です。(9-25)/{(-3)-(-5)}=-16/2=-8です。xは増えますが、yは25から9へ減るので負になります。-8に幅2を掛けた-16は、元の値の差と一致します。

3. 端点のyはともに-12です。(-12-(-12))/(6-(-6))=0/12=0です。幅12に割合0を掛けると、端点の値の差0に戻ります。端点は異なるため、分母は0ではありません。

4. xが0、2、4のとき、yは順に0、2、8です。割合は(2-0)/(2-0)=1、(8-2)/(4-2)=3です。等しい幅2に対しyの増加量は順に2、6です。各割合に幅2を掛けると、それぞれの増加量を復元できます。

5. 端点の和から6a=-12なのでa=-2です。元の式でx=1、5のyは-2、-50となり、差-48を幅4で割ると-12です。次にx=-2、4のyは-8、-32なので、求める割合は{(-32)-(-8)}/{4-(-2)}=-24/6=-4です。端点の和を使っても-2(-2+4)=-4となり、元の値の差と合います。

残しておきたい4行

変化の割合は、同じ順序で作ったyの差をxの差で割ります。
異なる端点p、qに対して、y=ax²の割合はa(p+q)です。
等幅でもyの増加量は区間によって変わります。
対称な異なる端点では、yの差が0なので割合は0です。

答案のどこを見直すか

お子さまが符号を間違えたときは、答えだけを消す前に、端点の値を書いた行と引き算の順序を見ます。負の数の二乗が負になっていないか、xとyで逆向きに引いていないかを別々に確かめると、直す場所が絞れます。

個別指導で確かめるなら、まず2点の座標を本人の言葉で読み、次に幅とyの増加量を指してもらいます。公式で出た答えにも幅を掛け、元のyの差に戻せるかを尋ねます。公式を使える場面と、端点が一致して使えない場面を説明できれば、区間の条件まで含めて理解できています。