中3数学 関数y=ax²の変域—ゼロを含むか確かめて端の値と頂点を比較する｜武蔵野個別指導塾

端点の値と原点の有無を比べ、負の係数でも頂点が最小とは限らない理由をたどる変域の考察です。

よくあるのは、負のaでも頂点が最小と考える場面です。放物線の頂点が原点にあることを覚えていても、下に開くグラフでは、その頂点が最も高い位置にあります。さらに、xの範囲が原点を含まなければ、頂点の値は答えの候補に入れられません。動ける区間を先に印し、その中でyがどこからどこまで動くかを調べましょう。

変域を問う3つの形

変域は、文字がとる値の範囲です。例えば「-2 ≦ x ≦ 3」は、xが-2以上3以下の値をとり、両端も含むという意味です。この範囲でのyの変域を求めるときは、最小値と最大値を調べ、小さい方から不等号でつなぎます。端の値を含むかどうかも答えの一部です。ここでは、両端を含む範囲を扱います。

問われ方には、正のaで原点をまたぐ範囲、負のaで原点をまたぐ範囲、原点を含まない範囲があります。最初の2つは原点の値0を端の値と比べます。最後は原点を候補から外し、両端の値を比較します。同じ「端点を代入する」作業をしても、頂点を調べる必要があるかどうかで結論が変わります。

目標は、計算した数を並べる前に、どのxで最小と最大が生じるかを説明することです。なお、文部科学省の中学校学習指導要領解説数学編では、関数y=ax²を第3学年の内容として扱っています。

原点までの距離と値の順序

関数y=ax²では、aは0でない定数です。xと-xの二乗は等しいため、2つの値に対応するyも等しくなります。グラフはy軸について対称で、頂点は原点(0, 0)です。xが0から離れるほどx²は大きくなりますが、yの増減はaの符号で逆になります。

図1のように、数直線でxの範囲を見て、0に最も近い場所と最も遠い場所を探します。aが正なら、x²が小さいほどyも小さく、x²が大きいほどyも大きくなります。aが負なら、負の数を掛けるので順序が逆になり、x²が小さいほどyは大きくなります。

図1では範囲が-2から3までなので、0を含みます。原点に最も近いのは0自身で、最も遠い端は3です。したがってx²は0から9まで動きます。途中の値についても、0から3までxを動かすと二乗の値が0から9まで途切れずにとれるので、この範囲に抜けはありません。-2側の値もこの範囲に収まります。

一方、範囲が-5から-2までなら、0を含みません。0に近い端は-2、遠い端は-5です。数の大小では-5の方が小さいものの、二乗では25の方が4より大きくなります。負の側では、xを右へ動かすと0に近づくため、二乗は小さくなります。正の側では右へ動かすと0から離れるため、二乗は大きくなります。

判断表を自分で作るなら、次のように「0を含むか」と「aの符号」を交差させます。遠い端が左右に同じ距離であれば、両方の端で同じ値をとります。0が端点の場合も、0を含む行に入ります。

ここで近い、遠いは数直線上の0からの距離です。端の大小をそのままyの大小に移さず、まず二乗の大小に直します。両端を含むので、表に挙げた場所の値も実際にとれます。

等号と範囲の読み取り

不等号の向きにも意味があります。例えば-6 ≦ y ≦ 0は、-6も0も含み、その間の値をとるという表現です。「最小値は-6、最大値は0」と書いた後で不等号に直すと、負の数を逆に並べる間違いを見つけやすくなります。左には小さい値、右には大きい値を置きます。

端点を含むかは問題の条件から決まります。今回の範囲ではxの両端を実際に選べるので、端点で生じる値を含めます。原点が範囲の内部にある場合も、x = 0を選べるので、その値0を含めます。図の丸印が意味するのは、対応する点を実際に使えるということです。

値が等しくなる場合もあります。例えば左右の端が0から同じ距離なら、符号が違っても二乗は等しくなります。どちらかの端を見落としたのではなく、2か所で同じ端の値をとると説明できます。逆に、原点を含まない範囲で頂点を使うと、指定されていないxを勝手に加えることになります。

基本例題：正の係数で原点を通る

【基本】y = 2x²について、-2 ≦ x ≦ 3のときのyの変域を、不等号を使って求めなさい。

両端を代入すると、x = -2ではy = 8、x = 3ではy = 18です。これらを比較する前に、0が範囲に入るかを見ます。-2 ≦ 0 ≦ 3なので、x = 0も使え、そのときy = 0です。正の数2を二乗に掛けるため、yは0より小さくなりません。

x = -2のとき y = 2・(-2)² = 8
x = 0のとき y = 2・0² = 0
x = 3のとき y = 2・3² = 18
0 ≦ y ≦ 18

図2のように、指定された曲線の部分は頂点を通り、右端で最も高くなります。答えは0 ≦ y ≦ 18です。両端の8と18だけから8 ≦ y ≦ 18とすると、範囲内のx = 0を代入した値0を含められません。

図2の左端と右端の点は、それぞれ(-2, 8)、(3, 18)です。元の式に戻すと両方の値が得られ、原点も式を満たします。xを0から3まで動かす部分だけでyは0から18までの値をとりますから、答えの範囲に欠けはありません。

標準例題：負の側に限られた範囲

【標準】y = -x²について、-4 ≦ x ≦ -1のときのyの変域を、不等号を使って求めなさい。

この範囲には0がありません。したがってグラフ全体の頂点は、この問題で動ける部分には含まれません。0から遠い端は-4、近い端は-1です。二乗してから負号を付けると、遠い端の値が小さくなります。

x = -4のとき y = -(-4)² = -16
x = -1のとき y = -(-1)² = -1
-16 ≦ y ≦ -1

答えは-16 ≦ y ≦ -1です。例えば範囲内のx = -2ではy = -4で、答えの中に入ります。両端を式へ戻すと-16と-1がそれぞれ得られ、等号を付けた端の値も実際にとれます。xが-4から-1へ動く間、二乗は16から1へ小さくなり、負号を付けたyは-16から-1へ途切れずに動きます。

頂点のy座標0を最大値にしたくなった場合は、x = 0を元の範囲に戻します。0 ≦ -1は成り立たないので、その点は使えません。グラフ全体の最大値と、指定された部分の最大値を分けて考えます。

発展例題：動く右端で場合を分ける

【発展】y = -2x²で、xの範囲を-2 ≦ x ≦ tとします。ただしt ≧ -2です。tが変わるとき、yの変域をtの範囲ごとに、不等号を使って表しなさい。

左端は固定されていますが、右端tがどこにあるかで0を含むかどうかが変わります。さらに0を含んでも、右端が左端より原点から遠くなると、最小値を与える端が交代します。分かれ目を先に数直線に置くと、-2、0、2の順です。

まず-2 ≦ t < 0なら、xは負の範囲にあります。0に近い右端tで最大、遠い左端-2で最小です。t = -2では範囲が1点になり、両端の値は一致します。

x = -2のとき y = -2・(-2)² = -8
x = tのとき y = -2t²
-8 ≦ y ≦ -2t²

次に0 ≦ t ≦ 2なら、0を含み、左右の端のうち-2が少なくとも同じだけ原点から離れています。頂点で最大0、左端で最小-8です。t = 2では両端とも最小値をとります。

最後にt > 2なら、0を含み、右端tの方が原点から遠くなります。頂点で最大0、右端で最小-2t²です。以上をまとめると次のようになります。

別の見方では、先にx²の範囲を求めてから-2を掛けます。例えば0 ≦ t ≦ 2では0 ≦ x² ≦ 4です。負の数を掛けると大小が逆になり、-8 ≦ -2x² ≦ 0を得ます。グラフでの高低と二乗の範囲のどちらから考えても同じ結果です。

境目を元の条件で確かめます。t = -2ではx = -2に限られ、表の両端はともに-8です。t = 0ではxは-2から0まで、yは-8から0までです。t = 2では左右両端のyが-8で、原点のyは0です。t = 3なら右端の値は-18で、-18 ≦ y ≦ 0となります。どの値も元の式と範囲に戻せます。

誤答を図に戻して直す

「y = -x²、-3 ≦ x ≦ 2だから、頂点が最小で-9 ≦ yを考えず、0 ≦ y ≦ 9」とした答案を見ます。頂点が範囲にあるという判断は合っていますが、下に開くグラフで高低を取り違え、負号も失っています。

図3のように、頂点のyは0、左端のyは-9、右端のyは-4です。負の数の順序を数直線で確かめると、-9 < -4 < 0です。原点から遠い左端が最小、頂点が最大なので、正しくは-9 ≦ y ≦ 0です。

図3の点を式へ代入すれば、-(-3)² = -9、-(2)² = -4です。0も範囲に含まれるため最大値0をとれます。グラフ全体で頂点が最大でも、例えば同じ式で1 ≦ x ≦ 2なら0は範囲外です。この場合は-4 ≦ y ≦ -1となり、最大値を0とする方法は使えません。

逆に、端点の値だけを比較する方法にも条件があります。図3の端の値は-9と-4ですが、その間にある0でy = 0をとるため、最大値は-4ではありません。端点の代入自体は正しくても、頂点が範囲に入るかを調べなければ候補が不足します。

計算後は、最小値を与えるxと最大値を与えるxをそれぞれ範囲へ戻します。値が合っていても、そのxが範囲の外なら答えの端にはできません。図を使うときも、曲線の指定部分から目を離さないようにします。

練習：範囲の中の候補を選ぶ

次の5問はそれぞれ、yの変域を不等号で答えてください。端点を含むものとします。

1. y = 3x²で、1 ≦ x ≦ 4。
2. y = -2x²で、-3 ≦ x ≦ -2。
3. y = x²/2で、-4 ≦ x ≦ 2。
4. y = -x²/3で、-3 ≦ x ≦ 6。
5. y = 2x²で、-5 ≦ x ≦ -5。

練習の答えと確かめ方

1. 0を含まず、近い端1、遠い端4でそれぞれ3、48です。正の係数なので、3 ≦ y ≦ 48です。元の式に1と4を戻すと3・1² = 3、3・4² = 48となり、端を含みます。

2. 0を含まず、遠い端-3と近い端-2でそれぞれ-18、-8です。負の係数なので、-18 ≦ y ≦ -8です。元の式に戻すと-2・(-3)² = -18、-2・(-2)² = -8で、大小の順も合います。

3. 0を含み、遠い端は-4です。x = 0で0、x = -4で8なので、0 ≦ y ≦ 8です。もう一方の端2でもy = 2となり、この範囲に入ります。0から-4へ動く間に0から8までの値をとれます。

4. 0を含み、遠い端は6です。x = 6でy = -12、x = 0でy = 0なので、-12 ≦ y ≦ 0です。左端-3ではy = -3で、求めた範囲に収まります。負の係数のため、頂点が最大です。

5. 条件を満たすxは-5の1つです。代入するとy = 2・(-5)² = 50なので、50 ≦ y ≦ 50です。端が一致する場合も等号を含め、実際の値を元の式で確かめます。

手元に残す要点

• まずxの範囲に0が入るか確かめます。
• 0からの距離で二乗の大小を比べます。
• aが正なら二乗と同じ順、負なら逆順です。
• 両端を含む範囲では、得られた最小値と最大値にも等号を付けます。
• 答えの端を元の式とxの範囲に戻します。

答案のどこへ戻るか

お子さまの答案で端点の代入が合っているのに変域が違うときは、0を候補に入れた行を確認します。0を入れるべきかどうかは、もとの不等号に0を代入すると判断できます。負の係数で大小が逆転した場合は、二乗の値と負号を掛けた後の値を別々に並べると、どちらの段階で順序を取り違えたか見えます。

個別指導で確かめるなら、数直線上に範囲を描いてもらい、最も近い点と遠い点を指して理由を聞きます。その後、係数の符号を変えたときの最大と最小を比べ、等号が必要な理由まで答案に戻します。変域は、動ける場所とそこでの値を対応させて決まります。