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中3数学平方根の有理化と近似—等しい式への変形と丸める操作を区別する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学を単元ごとに掘り下げる中3

根号の分母を整えた後、与えられた値の精度と丸める位置を吟味し、答案に残す近似値を選びます。

よくあるのは、平方根を含む計算の途中で小数に丸め、その小数を元の式と正確な等号で結んでしまう場面です。計算機に表示された数字を写す前に、それが元の数と等しいのか、近い数なのかを確かめましょう。分母の根号を取り除く操作と、使いやすい小数に置き換える操作は、似ていても役割が違います。

求める形を見て道筋を選ぶ

問題の型には、まず分母が単項の根号を含む分数を有理化し、根号を残した正確な形で答えるものがあります。次に、平方根の近似値が与えられ、それを使って小数の指定された位まで求めるものがあります。さらに、近似値がどの位で丸められたものかを使い、元の値が入る範囲や答えの桁を判断する型もあります。

どの型でも、最初に「根号のある正確な値」と「そこから作った近似値」を別の段階に置きます。正確な変形は等号でつなぎ、小数への置き換えには約という言葉や ≒ を使います。最後の位が指定されていれば、その1つ下の位を見て四捨五入します。単項の根号を含む分母を扱い、2つの項の和や差になった分母は扱いません。

1を掛ける変形と、幅を持つ小数

有理化とは、根号を含む分母を、根号のない数に変えることです。例えば分母が √3 のとき、分子と分母の両方に √3 を掛けると、分母は √3・√3 = 3 になります。√3 は0でないので、√3/√3 は1です。分数全体に1を掛けるため、元の値は変わりません。分母にだけ掛けると分数の値が変わるので、同じ数を上下に掛けたかを必ず見ます。

図1のように、等しい値への変形と小数への置き換えには境目があります。正確な式が完成してから、条件に与えられた近似値を使うと、どこで誤差が生じたかを追えます。

図1の左側では、分子と分母の両方に √3 を掛けています。右側の1.73は √3 に近い数ですが、等しい数ではありません。実際に 1.73² = 2.9929 であり、3にはなりません。したがって √3 = 1.73 とは書けず、√3 ≒ 1.73 と表します。

分母が 2√3 のように係数を持つ場合も、√3 を上下に掛ければ分母は 2・3 です。その後に約分できるかを調べます。分子の根号が分母の根号と同じ場合は、掛けた後に根号がなくなることもあります。有理化は「分子の根号を必ず残す」という規則ではなく、分母の形を整える操作です。

近似値は、元の値からのずれを持ちます。例えば正の数を小数第2位まで四捨五入して 1.73 になったとき、元の数は 1.725 以上 1.735 未満です。下の端は第3位が5なので1.73に上がり、上の端は1.74に上がるため含みません。単に「1.73という近似値」とだけ与えられ、どのように得たかが示されない場合、この範囲を勝手に決めることはできません。

この幅は後の計算でも影響します。正の数を2倍すれば両端も2倍になり、幅も2倍です。負の数を掛ける場合は大小の向きが逆になります。丸めた値を何度も途中に入れると、最後の桁に影響することがあるので、与えられた情報の精度も見ながら、できるだけ最後に丸めます。

基本例題：根号の分母を整えてから代入する

次の問いを考えます。

分数 4/√5 を有理化し、正確な値を根号を含む分数で表してください。また √5 ≒ 2.236 として、小数第2位まで四捨五入して求めてください。後者はこの与えられた値を使った計算結果とします。

まず分母と分子に √5 を掛けます。図2のように、上下に掛けるものが同じであることが、値を保つ理由です。

4/√5 = (4・√5)/(√5・√5)
      = 4√5/5

分母の √5・√5 は5です。逆に 4√5/5 の分子と分母を √5 で割ると、4/√5 に戻ります。よって正確な答えは 4√5/5 です。ここまでは近似していません。

次に、正確な式の √5 に、指定された 2.236 を入れます。等号でつながるのは小数を代入した後の計算同士です。

4√5/5 ≒ 4・2.236/5
        = 8.944/5
        = 1.7888
        ≒ 1.79

小数第3位は8なので、第2位の8を1増やします。1.7888 は指定された近似値を使った計算結果で、元の分数の正確な値ではありません。答えは正確な値が 4√5/5、指定の計算による近似値が 1.79 です。2.236² = 4.999696 なので、2.236 を √5 と等号で結ぶこともできません。

標準例題：係数を含む分母と約分

長さ 3 cm のひもと、長さ 2√6 cm のひもを比べます。前者の長さは後者の何倍ですか。正確な値は分母に根号のない形で表し、√6 ≒ 2.449 を用いた値は小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めてください。ここでは、後者の長さを1部分の長さという比較の単位とし、実際にひもを切り分けることは考えません。

求める倍数は、元の長さを1部分の長さで割った 3/(2√6) です。長さの単位は割り算で消えます。分母に係数2があることを残したまま、上下に √6 を掛けます。

3/(2√6) = 3√6/(2・6)
         = 3√6/12
         = √6/4

3と12を3で割って約分しました。正確な倍数は √6/4 です。場面に戻すと、1部分の長さ 2√6 cm にこの倍数を掛けた長さは (2√6)・(√6/4) = 12/4 = 3 cm となり、元のひもの長さに戻ります。

近似値を入れると 2.449/4 = 0.61225 です。小数第3位が2なので、指定された近似値を使う答えは 0.61 倍です。0.61 を先に正確な倍数として扱うと、元の長さに厳密には戻りません。戻ることを確認する検算には、丸める前の √6/4 を使います。

発展例題：丸める前の幅が境界を越えるか

正の数 A は √2 に等しく、1.414 以上 1.415 未満であることがわかっています。5A を小数第2位まで四捨五入した値を求めてください。また 50A について、同じ情報から小数第2位までの値を必ず1つに決められるか判断してください。決められない場合は理由を示します。

正の5倍なので、不等号の向きはそのままです。

1.414 ≦ A < 1.415
7.070 ≦ 5A < 7.075

小数第2位までの四捨五入で 7.07 になるのは、7.065 以上 7.075 未満です。上の範囲はその中に収まりますから、5A の答えは 7.07 と決まります。境目の 7.075 は上の範囲に含まれないことが必要です。正確な値は 5√2 であり、その二乗は 50 です。

一方、50倍では次のようになります。

70.70 ≦ 50A < 70.75

この区間には、小数第2位まで丸めると 70.70 になる数も、70.74 になる数も含まれます。与えられた範囲だけでは、その値を1つに決められません。A が √2 と決まっているので実際の値は1つですが、この幅だけから指定の桁を判定するには情報が足りないのです。より細かい範囲が与えられるか、別に正確な根拠を得る必要があります。

別の見方として、5A の範囲の両端を小数第2位の丸めの区切りと比較できます。両端をただ丸めて同じか見る際は、含まれない上端がちょうど境目にある場合に注意します。ここでは上端自体は 7.08 に丸められますが、実際の値はそこに達しないため 7.07 と決まります。端を含むかまで調べる方法が確実です。

誤答を、失われた条件まで戻して直す

次のような答案を見ます。

2/√3 = 2√3/3 = 2・1.73/3 = 1.15

有理化の行までは正しいですが、その後には2種類の誤りがあります。√3 と 1.73 は等しくないので、代入のところは ≒ です。また 2・1.73/3 は正確には 3.46/3 で、1.15 ではありません。図3のように、近似を始めた位置と最後の丸めを分けます。

√3 ≒ 1.73 を使い、小数第2位まで求めるという条件なら、次のように直せます。

2/√3 = 2√3/3
       ≒ 2・1.73/3
       = 3.46/3
       ≒ 1.15

最後の ≒ は割り切れない小数を丸めたことを表します。正確な式の検算は、(2√3/3)・√3 = 2 として元の割り算に戻せます。丸めた 1.15 を掛けて2に近くなることは見当の確認にはなりますが、等しいことの証明にはなりません。

もう1つ、分母に √3 を掛けるだけで 2/√3 = 2/3 とする誤答もあります。左辺と右辺に √3 を掛けると、それぞれ2と 2√3/3 で一致しません。上下に同じ0でない数を掛ける条件が抜けています。分子にも √3 を掛けて 2√3/3 と直します。

近似値を早く丸めた場合の反例も考えます。正確な小数 1.246 をまず小数第2位まで丸めると 1.25、さらに小数第1位まで丸めると 1.3 です。しかし元の 1.246 を直接小数第1位まで丸めれば 1.2 です。途中の丸めは最終結果を変えることがあります。問題が指定した操作を除き、途中の桁を残して最後に丸める理由がここにあります。

自分で確かめる5問

それぞれ正確な値と近似値を区別して書いてください。近似値を使う問いでは、指定された値を用いた計算結果を求めます。

7/√7 を有理化し、根号を含む正確な値を求めてください。
5/(3√2) を有理化し、根号を含む分数で表してください。元の分母を掛けて5に戻ることも確かめます。
6/√10 を有理化した後、√10 ≒ 3.162 を使い、小数第2位まで四捨五入してください。正確な値も書きます。
正の数 B は、小数第2位まで四捨五入すると 2.36 です。B の範囲を不等号で表し、3B の範囲も求めてください。
正の数 C は 1.732 以上 1.733 未満です。4C を小数第2位まで四捨五入した値が、この情報で決まるか答えてください。決まるなら値を、決まらないならその理由を示します。

答えと、元へ戻す確かめ

上下に √7 を掛けると 7√7/7 = √7 です。√7・√7 = 7 なので、元の式の分母を掛けたとき分子の7に戻ります。答えは √7 です。
上下に √2 を掛けると 5√2/(3・2) = 5√2/6 です。これに元の分母 3√2 を掛けると 5・3・2/6 = 5 です。係数3を落とさないことと、分母6が残ることを同時に確認できます。
6/√10 = 6√10/10 = 3√10/5 です。指定値を入れると 3・3.162/5 = 9.486/5 = 1.8972 なので、近似値は 1.90 です。正確な値に √10 を掛けると 3・10/5 = 6 となり、元の分子に戻ります。末尾の0は小数第2位まで答えたことを示します。
第3位を四捨五入して 2.36 になる範囲は 2.355 ≦ B < 2.365 です。正の3を掛けると 7.065 ≦ 3B < 7.095 です。逆に各端を3で割ると元の両端に戻ります。上端は B の範囲で含まれないので、3倍した後も含まれません。
4倍すると 6.928 ≦ 4C < 6.932 です。この区間は、小数第2位まで丸めて 6.93 になる範囲 6.925 以上 6.935 未満に収まります。したがって 6.93 と決まります。両端を4で割れば与えられた範囲に戻り、倍率の計算も確かめられます。