中1数学 正負の数と数直線—基準の位置と向きを分けて負の数の大小を読み直す｜武蔵野個別指導塾

地下の階の位置と移動を分け、数直線の左右で負の数の大小を比べます。基準を移した場合も、同じ2地点の距離を確かめられます。

よくあるのは、地下の階の位置と移動する階数を同じ符号で書き、どちらを表した数なのか迷う場面です。たとえば、地上の基準階から下へ2階の場所を「-2」と表すことと、そこからさらに下へ2階移動することは、どちらも負の符号を使えます。しかし、前者は位置、後者は向きのある移動です。移動後の位置がそのまま-2になるとは限りません。

数直線を使うときは、まず何を0とし、どちらを正の向きにしたかを決めます。そのうえで、点は位置、点を結ぶ矢印は移動、矢印の長さは距離として読み分けます。地下の階の例では、階と階の間を1目盛りとし、途中に階がない場所は考えません。階の名前と数字の対応は、問題ごとに与える約束に従います。

どんな読み取りが求められるか

1つ目は、同じ基準で表された位置の大小です。数直線では右にある数ほど大きくなります。負の数どうしでもこの決まりは変わりません。0からの距離が大きいことと、数そのものが大きいことは別です。比較する2点を置き、右側がどちらかを見ます。

2つ目は、基準からの距離や2点の間の距離です。距離に向きは付けません。0からの距離は絶対値と呼び、負の数の絶対値も正の数になります。2点が0をはさんでいるか、同じ側にあるかを見てから目盛りを数えると、足す距離と比べる距離を取り違えにくくなります。

3つ目は、基準を変えたときの位置です。同じ場所でも、0とする場所が変われば、その場所を表す数は変わります。一方、同じ2地点の間の距離は変わりません。数を付け直した後、各点の並びと間隔が保たれているかを見ることが判断の手掛かりです。

原点、向き、距離を別々に決める

数直線は、原点を0とし、正の向きと単位の長さを決めて数を対応させた直線です。横向きに描くときは、ふつう右を正の向きとします。原点から右へ1単位が+1、左へ1単位が-1です。0は正の数でも負の数でもありません。正の数の+は省略できますが、向きを意識したいときには書いてもかまいません。

図1のように、-3は0から左へ3単位の位置、+2は右へ2単位の位置です。目盛りを等間隔に置くことで、数の差と点の間隔が対応します。線の端は図の表示範囲であり、数がそこで終わるという意味ではありません。

図1で-3の絶対値は3、+2の絶対値は2です。絶対値は原点からの距離なので、0の絶対値は0です。-3と+3は原点から同じ距離にあり、向きが反対です。このように、符号が反対で絶対値が等しい2つの数は、互いに反対の数です。0の反対の数は0です。

位置の大小を比べると、-3は+2より左にあるため、-3 < +2です。大小の記号は、開いた側に大きい数を書く記号です。-3と-2なら、-3 < -2です。負の数では原点から遠い方が左にあるので、小さい数になります。絶対値の大小と数の大小が逆になる範囲があることを、位置に戻して確かめます。

階のような場面では、正と負をどちらに割り当てるかが先です。上向きを正にすれば下向きは負になります。基準の階から上へ3階の位置と下へ3階の位置は反対の量として表せます。ただし、どちらも移動した後の位置であるのか、移動そのものなのかを文から選ぶ必要があります。

基本例題：位置と移動を分ける

ある建物では、基準階を0、1階上がるごとに数を1大きくし、1階下がるごとに数を1小さくします。Aは基準階から下へ2階の位置にいます。Aがそこから上へ3階移動したとき、移動後の位置を符号付きの整数で表してください。また、Aの最初の位置の絶対値と、移動した階数をそれぞれ整数で答えてください。

まず基準階が0で、下が負の向きです。最初の位置は-2と書けます。上への移動は正の向きなので、移動を表す数は+3です。ここで-2と+3は同じ種類の量ではありません。前者は基準から見た位置、後者は出発点からの移動を表しています。

図2のように、-2から右へ3目盛り進みます。途中の位置も順に記すと、移動の終点を数え直せます。

出発の位置 -2
1階上がると -1
さらに1階上がると 0
さらに1階上がると +1

したがって移動後の位置は+1です。式では次のように表せます。

-2 + (+3)
= +1

最初の位置-2の絶対値は2です。移動した階数は3です。絶対値の2は基準階から出発位置までの距離、3は出発位置から到着位置までの距離です。+3を到着位置と答えると、出発位置が0でなかったことが抜けています。

元の場面に戻して確かめます。下へ2階の場所から基準階まで上がるのに2階、そこからさらに1階上がるので、上への移動は合計3階です。到着点が基準階より上にあることも+1と一致します。図2の矢印は移動の向きを示し、点の位置を示す符号とは役割が違います。

標準例題：負の数の大小と2点の距離

横向きの数直線で、点Pは-5、点Qは-2を表します。PとQの表す数を不等号で比べ、2点間の距離を単位の長さを1として整数で答えてください。さらに、原点から遠い点を答え、その理由を説明してください。

両方とも負の位置にあるため、原点からの距離が大きい点ほど左です。Pは0から左へ5、Qは0から左へ2の位置です。位置を比べるとPが左にあるので、大小は次のようになります。

-5 < -2

2点はともに原点の左側にあります。原点からPまでの距離5から、原点からQまでの距離2を除くと、残る部分がPとQの間です。

5 - 2
= 3

距離は3です。また、Pの絶対値は5、Qの絶対値は2なので、原点から遠い点はPです。Pの数が小さいことと、Pが原点から遠いことは両立します。絶対値の大きさをそのまま数の大小に使うと、負の範囲では結論が逆になります。

確認として、-5から右へ1ずつ数えると-4、-3、-2です。3目盛りでQに着き、答えが元の2点の位置に戻ります。同じ側の2点で距離を足すと、原点までの重なった部分を余計に数えるので、この場合は差を取ります。

発展例題：基準を動かしても場所は動かない

ある直線上で、もとの基準Oを0、右向きを正とします。地点Rは-4、地点Sは+2にあります。新しい基準を、もとの数で-1の地点に移し、右向きを正、単位の長さをそのままとします。新しい基準でのRとSの数を符号付き整数で答え、2地点間の距離を整数で求めてください。もとの基準でも距離を確かめてください。

最初に、もとの数直線上に-4、-1、0、+2を順に置きます。新しい基準は-1の地点なので、Rはそこから左へ3、Sは右へ3です。したがって新しい位置はRが-3、Sが+3です。新しい0をどこに置いたかを見ずに、もとの数へ同じ符号を付け直すだけでは答えられません。

新しい基準から見ると、RとSは0をはさんでいます。左側の3と右側の3を合わせるので、距離は次の通りです。

3 + 3
= 6

もとの基準でもRから0まで4、0からSまで2です。

4 + 2
= 6

どちらも距離は6です。基準を変える操作は、地点を動かすことではなく、同じ地点に付ける数を付け替えることだからです。新しい0はもとの0より左へ1です。各地点について新しい0から右へ何単位かを読み直すと、もとの数より1大きい数になります。

答えを場面に戻すと、新しい基準からRへ左に3進めばもとの-4、Sへ右に3進めばもとの+2に着きます。RからSまでは左側から右側へ6進むので、新旧どちらの読み方も同じ2地点を表しています。新しい基準自体を右へ1動かしたと誤読すると、付け直した数の向きが反対になるため、基準の位置から先に点を置きます。

間違いの起点を探す

図3のように、-4と-1を比べて「4は1より大きいから、-4 > -1」とする誤答を考えます。数字の部分を比べた時点で、数の位置ではなく絶対値を比べています。絶対値は原点からの距離なので、大小の判断に必要な左右の情報が落ちています。

図3では-4が-1の左です。したがって正しい比較は-4 < -1です。まず各点を原点から何単位、どちら側に置くかを決め、次に左右を比べれば、距離の数字だけで判断した誤りを修正できます。

もう1つの誤りは、絶対値を符号を消す操作として覚え、0からの距離という意味を忘れることです。符号を消す手順は負の数には使えますが、距離を考えれば0にも正の数にも同じ説明が通ります。たとえば-4の絶対値は4であって、-4ではありません。距離に負の符号を付けない理由も、出発点と到着点の間の長さを答えているからです。

位置と移動の取り違えも、言葉を補って直せます。「-2」と書かれていても、それが基準からの位置か、ある地点から負の向きへ2進む移動かは、符号だけでは決まりません。出発点を確認し、「どこからどこへ」を矢印で描いてから終点を読みます。出発点が0のときに限って、移動を表す数と到着位置の数は一致します。

練習：基準と求める量を言葉にする

次の5問では数直線の単位の長さを1とし、横の右向きを正とします。位置を問われた場合は符号付き整数で、距離を問われた場合は整数で答えてください。

1. 点Aは0から左へ7の位置、点Bは0から左へ3の位置です。AとBの数を不等号で比べ、それぞれの絶対値を答えてください。
2. 点Cは+4の位置にあります。Cから左へ6移動した点Dの位置と、CからDまでの距離を答えてください。
3. 点Eは-6、点Fは+1の位置です。EとFの間の距離を答え、0を使った数え方を説明してください。
4. もとの0を基準に、点Gは-2、点Hは+5です。もとの+1の地点を新しい0とし、向きと単位を変えないとき、GとHの新しい位置と2点間の距離を答えてください。
5. 「-8と-6では、絶対値が大きい-8の方が大きい」という説明を直してください。正しい不等号と、その理由を位置に触れて書いてください。

練習の答えと読み戻し

1. Aは-7、Bは-3です。左にあるAの数が小さいので、-7 < -3です。絶対値は順に7と3です。0から左へ7、左へ3と置き直すとAがBより左にあり、条件と一致します。距離が長いことは、数が大きいことを意味しません。

2. Cの+4から左へ4で0、さらに左へ2で-2です。Dの位置は-2、距離は6です。式でも次のように終点を表せます。

+4 + (-6)
= -2

終点-2から右へ2で0、さらに右へ4で+4に戻るので、出発点までの距離も6です。負の移動をそのまま終点として-6とすると、出発点+4を使っていません。

3. Eから0まで6、0からFまで1です。0をはさんでいるため、2つの距離を合わせます。

6 + 1
= 7

答えは7です。Eから右へ6進めば0、さらに1進めばFの+1に着くため、元の位置に戻しても7と確かめられます。

4. 新しい0はもとの+1の地点です。そこからGへは左に3、Hへは右に4なので、新しい位置はGが-3、Hが+4です。間の距離は3 + 4 = 7です。もとの位置でも、-2から0まで2、0から+5まで5で、距離は7です。新しい0から左へ3で-2、右へ4で+5に戻り、場所も一致します。

5. 正しくは-8 < -6です。-8は0から左へ8、-6は左へ6なので、-8の方が左にあります。絶対値は8と6で、前者の方が大きいという部分は正しいものの、それは0からの距離の比較です。数の大小は右にあるか左にあるかで決めます。0から各点へ目盛りを数え直して、位置の条件も確かめられます。

手元に残す要点

• 0と正の向きを決め、位置と移動を区別します。
• 数直線では右にある数ほど大きくなります。
• 絶対値は原点からの距離で、向きを付けません。
• 基準を変えると位置の数は変わっても、同じ2地点の距離は変わりません。

お子さまが符号を見てすぐ答えを出すときは、「その数は位置か移動か」「0はどこか」を先に言葉にしてもらうと、読み違いの場所が見えます。個別指導で確かめるなら、同じ2点の大小、原点からの距離、2点間の距離を別々に尋ね、答えの根拠を図に戻してもらいます。基準を移した後も同じ地点を指せるかまで見ると、符号の操作と位置の理解を区別できます。

数直線の0は、位置を読むための基準です。