中1数学 正負の数の加法と減法—引く数の符号と移動の向きを数直線で確かめる｜武蔵野個別指導塾

朝と昼の気温をもとに、終点から始点を引いて変化を求めます。負の数を引く操作を、反対の数を加える移動として確かめます。

よくあるのは、気温の上昇を求める式で、引く順番が逆になる場面です。朝の気温が -3℃、昼が +4℃なら、朝から昼への変化は、昼の値から朝の値を引いて求めます。低い温度から高い温度へ移るので、変化は正です。逆の順に引けば、昼から朝へ戻る変化になり、符号も逆になります。

温度そのものと、温度の変化は別の量です。温度が負でも上昇することはあります。式の中の「引く」という操作と、引かれる数についている負の符号も別々に見ましょう。ここでは正負の数の加法と減法を扱い、掛け算や割り算には進みません。

どの数からどの数へ動くか

出方には大きく3つの型があります。1つ目は、最初の数と変化が与えられ、最後の数を求める型です。変化が +なら右、-なら左へ動き、その移動を最初の数に加えます。たとえば +2 から -5 だけ変化すると、右の +2 から左へ5進んで -3 です。

2つ目は、最初と最後の数が与えられ、変化を求める型です。「最後の数 − 最初の数」と置きます。たとえば -2 から +1 への変化は (+1) − (-2) で、右向きに3です。順番を逆にした (-2) − (+1) は、逆向きに戻る変化を表します。

3つ目は、複数の加法と減法をまとめる型です。引く操作を反対の数を加える操作に直し、正と負の項を整理します。途中で符号を落とすと別の式になるので、変形前と変形後の対応を残すことが役立ちます。

同じ負号でも、数の符号か、項の前に書いた減法の記号かで役割が違います。どちらを見ているかを言葉にできると、計算の手順が途中で止まっても、元の式に戻って直せます。

加える数と引く数の役割

数直線では、右向きを正、左向きを負とします。数の絶対値は、0からその数までの距離です。たとえば -4 の絶対値は4で、位置は0の左側です。絶対値には向きがないため、距離が4だという情報だけでは +4 と -4 のどちらかは決まりません。

図1のように、+3 を加えると右へ3、-3 を加えると左へ3進みます。出発点を0以外にしても、移動の向きと長さは同じです。位置を表す数と移動を表す数を混ぜず、出発点から移動の矢印をたどります。

図1では出発点を0にしています。+3 と -3 は0から等しい距離にあり、向きが反対です。このような2つを互いに反対の数といい、加えると0になります。0を加える場合は、位置を変えません。

同じ符号の数を加えるときは、同じ向きの移動を続けるので、距離を合わせてその符号を付けます。異なる符号なら、反対向きの移動のうち短い方が長い方の一部を打ち消します。残る距離は絶対値の差で、向きは絶対値の大きい数の向きです。絶対値が等しければ、互いに打ち消して0です。

では、なぜ負の数を引くと正の数を加えるのでしょうか。引き算の答えは、引く数を加えると元の数に戻る数です。たとえば 2 − (-3) を考えます。答えから左へ3進んで2に戻るには、答えは2より右に3ある必要があります。したがって答えは5で、2に +3 を加えた結果と一致します。

一般にも、ある数から -3 を引く操作は、その数に +3 を加える操作と同じです。引く数が +3 なら、反対の -3 を加えます。引く数が0なら反対の数も0なので、結果は変わりません。符号を機械的に変える前に、「引いた後に引く数を加えると元に戻る」と確認できます。

基本例題：朝から昼への変化

朝の気温は -3℃、昼は +4℃でした。朝から昼への気温の変化を、符号を付けた整数で何℃か求めてください。上昇を正とします。

変化は終点の気温から始点の気温を引きます。引く数 -3 の反対は +3 ですから、次のように計算します。

(+4) - (-3)
= (+4) + (+3)
= +7

答えは +7℃です。図2のように、-3 から0まで右へ3、さらに +4 まで右へ4進むので、右向きの移動は合わせて7です。気温の値が負から正へ変わるときは、0をまたぐ2つの距離を合わせます。

図2の矢印を逆にたどると、昼から朝への変化は -7℃です。求めたい向きを取り違えると、移動の長さは同じでも符号が逆になります。計算前に始点と終点を書き込むと、この違いを見つけやすくなります。

答えを場面に戻すと、朝の -3℃に +7℃の変化を加えて +4℃です。昼の値に戻るので、順番と計算が合っています。単に式をもう一度計算するだけでなく、変化を始点に加えて終点になるかを見ます。

標準例題：下がった後に上がる

ある地点の気温は初め +2℃でした。その後 -6℃変化し、さらに +3℃変化しました。最後の気温を符号を付けた整数で何℃か求めてください。また、初めから最後までの変化も符号を付けた整数で答えてください。

初めの温度に、それぞれの変化を順に加えます。最初の変化が -6℃とは、温度が6℃下がるという意味です。変化後の温度が負になるかどうかは、出発点を含めて計算してから判断します。

(+2) + (-6) + (+3)
= (-4) + (+3)
= -1

最後の気温は -1℃です。初めから最後までの変化は、最後の -1℃から初めの +2℃を引きます。

(-1) - (+2)
= (-1) + (-2)
= -3

変化は -3℃です。途中の2つの変化を合わせても、(-6) + (+3) = -3 です。初めの +2℃から -3℃変化すると -1℃に戻るため、場面にも合います。

途中で6℃下がったことだけを見て、全体の変化を -6℃とすると、後の上昇を見落とします。一方、最後の温度 -1℃をそのまま変化とするのも誤りです。位置に当たる温度と、移動に当たる変化をそれぞれ別に書いておきましょう。

発展例題：変化の記録から出発点を戻す

ある日の気温は、初めの値から -5℃変化し、その後 +2℃変化して、最後に -4℃になりました。初めの気温を符号を付けた整数で何℃か求めてください。さらに、初めから最後までの変化も符号を付けた整数で答えてください。

最後の値から順に操作を戻します。最後に +2℃変化したのですから、直前の温度は最後の温度から +2℃を引きます。

(-4) - (+2)
= (-4) + (-2)
= -6

その前には -5℃変化しています。初めの温度は -6℃から -5℃を引いて求めます。

(-6) - (-5)
= (-6) + (+5)
= -1

初めの気温は -1℃です。全体の変化は最後から初めを引いて求めます。

(-4) - (-1)
= (-4) + (+1)
= -3

全体では -3℃の変化です。元の順に戻すと、-1℃から -5℃変化して -6℃、そこから +2℃変化して -4℃となります。変化を合わせた (-5) + (+2) も -3 で、初めの -1℃に加えると最後の -4℃です。

分かれ目は、記録を進めるのか、さかのぼるのかです。進めるときは与えられた変化を加えます。戻るときは、最後に起きた変化から逆順に引きます。-5℃の変化を戻す際にさらに -5 を加えると、下がる操作をもう一度行うことになり、出発点へ戻れません。

誤答を移動に戻して直す

基本例題で、変化を (-3) − (+4) = -7℃とした場合を考えます。計算自体はその式に対して正しいものの、昼から朝への移動を求めています。図3のように矢印が求めたい向きと逆です。朝から昼なら始点が -3、終点が +4 なので、(+4) − (-3) = +7℃と直します。

別の誤りは、(+4) − (-3) を (+4) + (-3) とするものです。引く記号だけを加える記号に変え、引く数の符号をそのまま残しています。しかし引き算を加法に直すときは、引く数を反対の数に変えます。したがって加えるのは +3 です。図3の右向きの移動と照合すると、+1℃という結果は終点に届きません。

逆に、減法の記号と負号をまとめて消すだけで覚えると、(+4) − (+3) のように正の数を引く場面で迷います。この式では反対の -3 を加えるので +1 です。引く数を丸ごと括弧で囲み、その反対を別に書いてから加える方法なら、正・負・0のどの場合も同じ手順で扱えます。

項の和として整理する

加法と減法が続く式では、まず減法を加法に直します。たとえば次の式では、引く数ごとに反対の数を確かめます。

(-8) - (-2) + (+5) - (+1)
= (-8) + (+2) + (+5) + (-1)
= (-8) + (+7) + (-1)
= (-1) + (-1)
= -2

加法だけになった式を項の和として見れば、各項は符号を含んだ数です。正の項は右向き、負の項は左向きの移動です。正の項を合わせて +7、負の項を合わせて -9 としても、結果は -2 になります。順に動く方法とまとめる方法が一致するのは、右向きと左向きの移動をそれぞれ合わせても、出発点からの正味の移動が変わらないからです。

検算として元の順に動くと、0から左へ8、右へ2、右へ5、左へ1で -2 に着きます。項を並べ替える際には、符号を項と一緒に移します。数字だけを移して符号をその場に残すと、元とは違う移動を計算することになります。

練習：向きと式を対応させる

次の5問を解いてから、下の解答を読んでください。温度の上昇は正、下降は負とし、答えは指定された形で書きます。

1. 夜の気温が -6℃、翌朝が -2℃でした。夜から翌朝への変化を、符号を付けた整数で何℃か求めてください。
2. 初めの気温が +3℃で、そこから -8℃変化しました。最後の気温を符号を付けた整数で何℃か求めてください。
3. (+6) − (-4) + (-9) を計算し、符号を付けた整数で答えてください。
4. 気温が -7℃から +2℃になりました。「-7 から +2 を引けば上昇の変化が出る」という考えの誤りを説明し、正しい変化を符号を付けた整数で何℃か答えてください。
5. 気温が初めの値から +4℃変化し、次に -7℃変化して +1℃になりました。初めの気温と、初めから最後までの変化をそれぞれ符号を付けた整数で何℃か求めてください。

解答と確かめ

1. 終点から始点を引きます。

(-2) - (-6)
= (-2) + (+6)
= +4

答えは +4℃です。夜の -6℃に +4℃を加えると -2℃となり、翌朝の値に戻ります。両方とも負の温度でも、右向きの変化なので上昇です。

2. 初めの温度に変化を加えます。

(+3) + (-8)
= -5

答えは -5℃です。+3℃から左へ8進むと -5℃です。最後から初めを引くと (-5) − (+3) = -8 となり、与えられた下降に戻ります。

3. 負の数を引く部分を、反対の正の数を加える形に直します。

(+6) - (-4) + (-9)
= (+6) + (+4) + (-9)
= (+10) + (-9)
= +1

答えは +1 です。0から右へ6、さらに右へ4、左へ9進んでも +1 に着きます。引く -4 を加える -4 のままにしないことが要点です。

4. 示された式は、+2℃から -7℃へ戻る変化を表しています。求める向きは逆なので、最後の +2℃から初めの -7℃を引きます。

(+2) - (-7)
= (+2) + (+7)
= +9

正しい変化は +9℃です。初めの -7℃に +9℃を加えると +2℃になります。逆順の式の -9℃は、最後から初めに戻る変化としては正しい値です。

5. 最後の -7℃の変化から逆に戻します。

(+1) - (-7)
= (+1) + (+7)
= +8
(+8) - (+4)
= (+8) + (-4)
= +4

初めの気温は +4℃です。+4℃に +4℃の変化を加えると +8℃、そこに -7℃を加えると +1℃になり、記録と一致します。初めから最後までの変化は次のとおりです。

(+1) - (+4)
= (+1) + (-4)
= -3

変化は -3℃です。2つの変化を合わせた (+4) + (-7) も -3℃で、初めの +4℃から最後の +1℃へ移れます。

覚えておきたいこと

• 変化は「最後の値 − 初めの値」です。
• 加える正の数は右、負の数は左への移動です。
• 引く数の反対の数を加えると、同じ結果になります。
• 項を動かすときは符号も一緒に扱います。
• 初めの値に変化を加え、最後の値へ戻して確かめます。

お子さまが答えの符号を間違えたときは、すぐ計算規則を覚え直す前に、始点と終点を指してもらうと原因を分けられます。矢印の向きが逆なら引く順番、向きは合っていて式が違うなら引く数の符号、式が合っていて答えが違うなら絶対値の計算を見直します。

個別指導で確かめるなら、同じ2つの温度について往路と復路をそれぞれ式にし、互いに反対の変化になる理由を言葉で説明できるかを見る方法があります。途中で止まった場合も、0を通る必要があるか、どの操作を逆に戻すかを一段ずつ尋ねれば、どこから考え直すかが明らかになります。温度の値と変化を区別すると、負の数を引く向きまで自分で確かめられます。