高校地理総合 縮尺と距離—地図上の長さを実際の距離へ直して単位を確かめる｜武蔵野個別指導塾

センチメートルからキロメートルへの換算と、拡大後の分母の変化を例題で追うと見えてくるのが縮尺と距離です。

よくあるのは、高校生が地図上の長さに縮尺の分母を掛け、得られたセンチメートルの数にそのままキロメートルを付ける場面です。計算の数字が合っていても、単位を取り違えると実際の距離は大きく変わります。線分の長さと縮尺を練習の条件として受け取り、同じ単位にそろえてから最後に指定された単位へ直しましょう。

何を求める問題かを先に決める

定期テストでは、地図上の線分と縮尺から実際の距離を求める型が考えられます。式の出発点は地図上の長さで、分母を掛けた直後の単位は出発点と同じです。答えがkmで指定されている場合は、その後の単位換算までが必要です。

反対に、実際の距離と縮尺から地図上の長さを求める型もあります。距離を先にcmへ直し、縮尺の分母で割ります。掛け算か割り算か迷ったら、地図上の長さが実際より小さいことを手掛かりに、式の向きが合うかを確かめます。

もう1つは、地図を拡大・縮小した後の縮尺を問う型です。表す実際の距離は同じでも、紙の上の長さが変われば縮尺も変わります。元の数値だけを見て答えず、変更後の線分が何cmになるかを追います。ここで扱う距離は、条件として与えた線分に対応する距離です。道の曲がり方や移動時間は、この線分の長さだけから決められません。

縮尺の分母と単位のつながり

縮尺が1:50,000なら、地図上の1cmは実際の50,000cmに対応します。1と50,000は同じ単位で比べた数です。地図上で2cmなら、実際はその2倍の100,000cmです。1mは100cm、1kmは1,000mなので、1kmは100,000cmです。この例の100,000cmは1kmに直せます。これらの縮尺と長さは、練習のために置いた条件です。

図1のように、地図上の長さから出発するときは、分母を掛けて同じ単位の実際の長さを得ます。その後、求められた単位へ変えます。逆向きには、実際の長さをcmにそろえてから分母で割ります。

図1の矢印を逆にたどると、実際の距離から地図上の長さを求める手順になります。縮尺の分母は距離そのものではありません。地図上の長さと実際の長さを同じ単位で表したとき、前者を1とした比の後ろの数です。

同じ範囲を表すなら、分母が小さい縮尺ほど地図上の長さは長くなります。たとえば練習の条件として1:20,000と1:80,000を比べると、前者は後者より大縮尺です。大縮尺という語の「大」は分母の数字の大きさではなく、1を分母で割った比の大きさに関わります。分母が4倍になると、同じ実際の距離を表す線分は4分の1になります。

単位を書かずに数字だけで式を作ると、変換が終わったかを見失いがちです。途中の答えにもcmやkmを添え、どの量が地図上でどの量が実際かを区別してください。小数点の位置が不安なときは、まず100,000cmが1kmであることに戻り、何組分かを考えます。

基本例題：線分から実際の距離へ

練習の条件として、縮尺1:25,000の図上に、両端を結ぶ長さ6cmの線分があります。この線分に対応する実際の距離を、kmを単位として小数で答えてください。線分は直線として扱います。

まず、求めるものは実際の距離です。縮尺の1:25,000は、図上1cmに対して実際25,000cmという意味です。6cmは1cmの6倍なので、対応する実際の長さも6倍にします。

6cm × 25,000 = 150,000cm

ここで得た150,000の単位はcmです。kmではありません。1kmは100,000cmですから、150,000cmを100,000で割ります。

150,000 ÷ 100,000 = 1.5

したがって答えは1.5kmです。図2のように、掛け算の結果と単位換算後の結果を別々に置けば、途中でkmを付ける誤りに気づけます。

図2の最後から元の条件へ戻しても確かめます。1.5kmは150,000cmで、これを25,000で割ると6cmです。元の線分の長さが再現できました。答えだけを見直すのではなく、実際から図上へ戻すことで、換算の向きと単位の両方を点検できます。

この問題で150,000kmと答えた場合、掛け算までは合っていても、cmをkmに直す操作が抜けています。また、6を25,000で割った場合は、図上から実際へ進む向きが逆です。縮尺が表す1cmと25,000cmの対応を書き直してから、6cmなら何倍になるかを考え直します。

拡大したときは線分の長さから考える

練習の条件として、縮尺1:40,000の図に4cmの線分があります。この図を縦横ともに2倍に拡大しました。拡大後の縮尺を1:nの形で、線分に対応する実際の距離をkmを単位として小数で答えてください。拡大は均一で、表す両端は変わらないものとします。

元の線分に対応する距離は、4cm × 40,000 = 160,000cmです。これは1.6kmです。拡大後の線分は4cm × 2 = 8cmですが、表す実際の距離は160,000cmのままです。紙の線分を伸ばしても、両端の実際の間隔を変えたことにはならないからです。

拡大後は8cmが160,000cmに対応します。両方を8で割れば、図上1cmが実際20,000cmに対応します。したがって縮尺は1:20,000、実際の距離は1.6kmです。元の縮尺より分母が半分になり、大縮尺になりました。

逆に戻して確かめると、160,000cm ÷ 20,000 = 8cmです。拡大後の線分に一致し、8cmを2で割れば元の4cmも再現します。距離だけ変えて線分が元のままだと考える誤りと、線分だけ変えて実際の距離まで2倍にする誤りを区別しましょう。

均一に縮小する場合も考え方は同じです。線分が短くなっても対応する実際の距離は変わらず、図上1cmに対応する距離は長くなります。そのため分母は大きくなります。ただし縦横で倍率が異なる場合は方向によって長さの変化が異なるため、1つの縮尺で扱うことはできません。問題に均一な倍率が示されているかも見ます。

誤答から戻る場所を見つける

図3のように、基本例題で「150,000km」と書いたら、掛け算直後の単位を見直します。6cmに25,000を掛けた量は150,000cmです。100,000cmが1kmなので、答えは1.5kmと直します。数字を消す前に、どの操作が抜けたのかを特定します。

図3の後半では、正しい単位に直した答えを元の線分へ戻します。逆算して6cmに戻らなければ、計算だけでなく元の比の読み方も確認します。戻ったとしても、問題が求める単位で答えているかを最後に見ます。

拡大の問題で「2倍にしたので分母も2倍」と書く誤答もあります。拡大後の図上の長さが長くなる一方、実際の距離は同じです。図上1cmあたりに対応する距離は短くなるため、分母は小さくなります。元の線分と拡大後の線分を書き並べ、同じ実際の距離に対応させると修正できます。

逆向きの問題で、実際のkmの数に分母をそのまま掛けることもあります。地図上の長さを求めるなら実際の距離より短くなるはずです。まずkmをcmに直し、分母で割ってから、元の縮尺を掛けて実際の距離に戻してください。問題文の「図上」と「実際」に印を付けると、数量の取り違えを防げます。

自分で解く4問

いずれも練習の条件として与えた線分と縮尺です。地図の伸縮は、指定がある場合を除きないものとします。

1. 縮尺1:30,000の図上で線分が5cmです。対応する実際の距離をkmを単位として小数で答えてください。
2. 縮尺1:20,000の図で、実際の距離が2.4kmの線分を表します。図上の長さをcmを単位として整数で答えてください。
3. 縮尺1:60,000の図を縦横ともに3分の1に縮小します。縮小後の縮尺を1:nの形で答え、分母が変わる理由を「実際の距離」と「図上の長さ」を使って1文で書いてください。
4. 同じ実際の距離を、縮尺1:15,000の図では8cmの線分で表します。縮尺1:40,000の図では何cmになるか、小数で答えてください。

解答と確かめ方

1. 答えは1.5kmです。5cm × 30,000 = 150,000cmで、100,000cmを1kmとして換算します。逆に1.5kmを150,000cmに戻して30,000で割ると5cmになり、条件に合います。

2. 答えは12cmです。2.4kmは240,000cmなので、240,000 ÷ 20,000 = 12です。12cm × 20,000 = 240,000cm、つまり2.4kmとなり、実際の距離を再現します。2.4を直接20,000で割ると、kmとcmが混ざってしまいます。

3. 答えは1:180,000です。理由は「実際の距離が同じで図上の長さが3分の1になるため、図上1cmに対応する実際の距離が3倍になるから」です。たとえば元の図上3cmは実際180,000cmに対応し、縮小後は1cmです。新しい縮尺で1cmに180,000を掛ければ元の実際の距離に戻り、1cmを3倍すれば元の図上3cmにも戻ります。理由には、実際の距離が変わらないことと、図上の長さが短くなることの両方を含めます。

4. 答えは3.0cmです。最初の図の8cm × 15,000 = 120,000cmが共通の実際の距離です。120,000 ÷ 40,000 = 3.0cmと求めます。3.0cm × 40,000 = 120,000cmで、さらに15,000で割ると元の8cmに戻ります。2つの縮尺の分母を直接比べる前に、共通の実際の距離を置くと対応を追えます。

答えの大きさを見積もる視点

計算を始める前に、地図上の1cmに対応する実際の長さを、求める単位で言い換えてみます。たとえば練習の条件として縮尺1:10,000なら、1cmは10,000cm、つまり0.1kmです。図上が7cmなら、その7倍なので0.7kmになるはずです。計算後に7kmや70kmという答えが出た場合は、桁と単位のどちらかをたどり直せます。これは正確な式を省くためではなく、答えの大きな食い違いを見つける手掛かりです。

実際から図上へ戻す場合も同じ対応を使えます。別の練習の条件で1:10,000の図が実際の0.3kmを表すなら、0.1kmに対応する図上1cmが3つ分なので3cmです。0.3kmを30,000cmにして10,000で割る方法でも同じ結果になります。3cmに10,000を掛けると30,000cmとなり、0.3kmを再現します。単位を先にそろえる方法と言葉による対応を比べれば、割る向きに自信を持てます。

倍率を使うときは、面積ではなく線分の長さの倍率に注目します。縦横ともに同じ倍率でコピーした図でも、線分の長さが何倍かを確認してから比を作ります。縮小後の分母を求めるとき、倍率を分母に掛けるだけで済ませると、3分の1倍の場合に分母を小さくしてしまうことがあります。元の線分を3cmと仮に置けば縮小後は1cmです。両者が同じ実際の距離を表すという関係から、図上1cmに対応する距離が元の3倍になると判断できます。この確認用の3cmは実測値ではなく、比を読み取るために置いた長さです。

手元に残す要点

• 縮尺の比は地図上と実際を同じ単位にそろえて読む。
• 図上から実際へは分母を掛け、実際から図上へは割る。
• 100,000cmは1kmで、換算後に指定単位を書く。
• 均一な拡大では実際の距離は同じで、分母は小さくなる。
• 答えを元の線分と縮尺に戻して点検する。

どこで止まったかを見分ける

式が作れないときは、求める量に印を付け、縮尺の1cmが実際の何cmかを言葉にします。式は作れても答えの大きさが合わないときは、掛けた直後の単位とkmへの換算をたどります。拡大後に迷うときは、同じ両端の実際の距離を固定し、図上の線分だけを倍率に従って変えます。

個別指導で確かめるなら、途中式を隠さずに説明し、分母の意味、単位の変換、逆算のどこで食い違うかを見ます。学校の範囲表と授業ノートにある答え方に照らし、線分から実際へ進む場合と逆向きの場合をそれぞれ口に出すと、次に戻る場所がはっきりします。縮尺と距離は、対応する長さと単位をそろえると追えます。