中2数学 多項式の加減—引く式を一つのまとまりとして符号を正しく処理する｜武蔵野個別指導塾

引く括弧の各項を反対符号にする理由を、縦式と分数係数の例からたどり、多項式の加減に迫ります。

よくあるのは、引く式の先頭だけ符号を変えている場面です。括弧を外した後の式は見慣れた形なので、そのまま同じ文字の項をまとめると、途中からは正しく計算しても答えがずれてしまいます。どこでずれたのかを探すには、引く相手が最初の項なのか、括弧の中の式全体なのかを見直します。符号を変えるのは暗記の合図ではなく、式全体を引く操作を各項に分けた結果です。

式のどこを見るか

出方の1つは、2つの多項式を横に並べて足す問題です。足す括弧なら中の各項をそのまま並べ、同じ文字の部分を持つ項をまとめます。もう1つは、一方の多項式から他方を引く問題です。こちらは引く式全体を反対符号にしてから足します。さらに、分数の係数を含む場合は、符号を処理した後に分母をそろえて係数を計算します。

必要なのは正負の数の加減と、同類項をまとめる考え方です。例えば 3a と -2a は同じ文字の部分を持つので、係数の和から a とできます。一方、3a と 2b は文字が違うため 5ab とはできません。定数項も文字のない同類項としてまとめます。式の計算は中学校第2学年の学習範囲に含まれます。

この先では多項式の和と差を扱い、文字を含む式どうしの積は扱いません。括弧の前の記号を見てから、項ごとの符号を決める順番を守ります。途中式を一度多く書くことは、符号を直す範囲を見えるようにするためです。

引くまとまりを項に分ける

多項式は、単項式の和として表した式です。たとえば 4x − 3y + 2 は、4x、-3y、2 という項の和として見られます。項には直前の符号を含めて考えます。先頭に符号が書かれていなければ正です。文字が同じで、その文字の指数も同じ項を同類項といいます。

図1のように、引く式が 2x − 3y + 4 なら、まずその反対の式を -2x + 3y − 4 と作ります。引くことは反対の数を足すことなので、括弧内の各項が反対になります。負の項を引けば正の項を足すことになり、最後の正の定数も負になります。

図1の各項の対応を確かめると、先頭から順に正、負、正だった符号が負、正、負に変わっています。たとえば x = 1、y = 1 なら元の式は 3、反対の式は -3 です。値の確認は間違い探しに役立ちますが、1組の値で合っただけでは常に等しいことの証明にはなりません。各項の反対を足して元の式と合わせると 0 になることが理由です。

足す括弧と引く括弧は区別します。A、B、C を式とすると、A + (B − C) は A + B − C、A − (B − C) は A − B + C です。後者では、B を引くだけでなく、負の C を引くため C を足します。括弧の中のマイナスがそのまま残るとは限りません。

縦式も同じ操作を別の配置で表します。同類項が縦に並ぶように書き、引く式の各項を反対符号にして加えます。項のない列は 0 と考えると、定数や文字を別の列にずらして計算する失敗を防げます。縦に並べること自体が符号を変える操作ではない点に注意します。

基本例題：横式から縦の対応を見る

(5x + 2y − 3) − (2x − 4y + 1) を計算し、x、y、定数の順に整理してください。

引く括弧の中の 2x、-4y、1 のそれぞれを引きます。図2のように各項を反対にしてから、同じ列の項を足します。

(5x + 2y - 3) - (2x - 4y + 1)
= 5x + 2y - 3 - 2x + 4y - 1
= (5x - 2x) + (2y + 4y) + (-3 - 1)
= 3x + 6y - 4

図2の上段は引かれる式、中段は引く式の反対です。x の列は 5x − 2x、y の列は 2y + 4y、定数の列は -3 − 1 です。特に -4y を引くことは +4y を足すことなので、y の係数は 2 − 4 ではありません。

確かめとして x = 2、y = 1 を元の式に戻します。最初の括弧は 10 + 2 − 3 = 9、引く括弧は 4 − 4 + 1 = 1 なので差は 8 です。答えの式も 6 + 6 − 4 = 8 です。値の一致は計算の点検であり、括弧の各項の対応も別に確認します。

標準例題：項が欠けた縦式

(7a − 5) + (3b − 2a + 8) − (a + 4b − 6) を計算し、a、b、定数の順に整理してください。

まず足す括弧は符号を保ち、引く括弧の3項はそれぞれ反対にします。最初の式に b の項はありませんが、0b と考えることで縦にそろえられます。

(7a - 5) + (3b - 2a + 8) - (a + 4b - 6)
= 7a - 5 + 3b - 2a + 8 - a - 4b + 6
= (7a - 2a - a) + (3b - 4b) + (-5 + 8 + 6)
= 4a - b + 9

縦式で確かめる場合、加える3行を順に「7a、0b、-5」「-2a、3b、8」「-a、-4b、6」と並べます。3行目は元の引く式ではなく、その反対の式です。列ごとに係数を足すと 4、-1、9 となり、横式と一致します。元の式のまま縦に並べて各列を引く方法もありますが、負の項を引く列で符号が二重に混乱しやすいため、何を引いているかを明記します。

a = 1、b = 2 では、元の3つの括弧はそれぞれ 2、12、3 です。したがって 2 + 12 − 3 = 11 で、答えも 4 − 2 + 9 = 11 です。項が欠けた列を 0 とする見方は位置をそろえるためで、存在しない項を勝手に増やして値を変える操作ではありません。

発展例題：分数係数を引く

(3/4 x − 2/3 y + 1/2) − (5/6 x + 1/3 y − 3/4) を計算し、係数を既約分数にして x、y、定数の順に整理してください。

符号の処理と分数の計算を同時に暗算せず、まず各項を並べます。括弧の最後は負なので、それを引くと正になります。その後に同類項の係数をそれぞれ通分します。

(3/4 x - 2/3 y + 1/2) - (5/6 x + 1/3 y - 3/4)
= 3/4 x - 2/3 y + 1/2 - 5/6 x - 1/3 y + 3/4
= (3/4 - 5/6)x + (-2/3 - 1/3)y + (1/2 + 3/4)
= (9/12 - 10/12)x - y + (2/4 + 3/4)
= -1/12 x - y + 5/4

x の係数は分母を 12 にそろえると 9/12 − 10/12 です。分母どうしを引いてはいけません。y の係数は -3/3 なので -1、定数は 5/4 です。係数が -1 の項は -y と書けます。分数の正確な値のまま計算し、丸めた小数に置き換えないことが点検にも役立ちます。

別の順序として、引く括弧の反対を先に -5/6 x − 1/3 y + 3/4 と書き、それを最初の式に足しても同じです。この方法は引く式が長いとき、各項を対応させやすくなります。ただし、括弧の外が足し算なら反対にする必要はありません。どの記号が括弧全体にかかるかが方法を選ぶ分かれ目です。

x = 12、y = 0 で点検すると、元の最初の括弧は 19/2、引く括弧は 37/4 です。差は 38/4 − 37/4 = 1/4 となります。答えの式も -1 + 5/4 = 1/4 です。これは1組での確認なので、各係数の符号と通分も上の行で確かめます。

間違えた行から戻る

図3のように (6x + 1) − (2x − 3) を 6x + 1 − 2x − 3 とすると、先頭の 2x は引けていますが、-3 を引く操作が抜けています。正しくは 6x + 1 − 2x + 3 です。元の式で x = 0 とすると 1 − (-3) = 4 ですが、誤った行は -2 です。反対の式を -2x + 3 と一度書き出すと、どちらの項も処理したか見直せます。

図3では、誤りの行と直した行の定数に注目します。最初の項に手を加えたことで処理が終わったと思い込むと、後ろの項が取り残されます。括弧の中の項を数え、外した後にも同じ数の対応先があるか確認すると、項の落とし忘れも見つけやすくなります。

別の誤りは、足す括弧まで反対符号にすることです。たとえば (4p − 1) + (-2p + 5) では、後ろの括弧を -2p + 5 のまま足して 2p + 4 とします。+2p − 5 に直すと、足すはずの式を引いたことになります。先頭の負号だけに注目せず、括弧の外側が + か − かを先に指でたどります。

さらに、符号は正しくても異なる文字をまとめる失敗があります。2x + 3y は 5xy ではなく、そのままです。計算が終わったかは項の数だけで判断せず、同じ文字の部分を持つ項が残っていないかで判断します。定数も独立した列として確認します。

練習：5つの式を整理する

いずれも同類項をまとめ、文字は問題に示した順に、定数は最後に書いてください。分数の係数は既約分数にします。

1. (8m − 3) + (2m + 7) を計算してください。文字の順は m です。
2. (9u − 2v + 4) − (5u + 3v − 2) を計算してください。文字の順は u、v です。
3. (6r + 5s) − (2r − 3s + 7) + (r − 4) を計算してください。文字の順は r、s です。
4. (2/3 c + 1/4 d − 1/2) − (1/6 c − 3/4 d + 1/3) を計算してください。文字の順は c、d です。
5. 多項式 P は 3h − 2k + 5、Q は -4h + k − 1 です。P − Q と Q − P をそれぞれ計算してください。文字の順は h、k です。

練習の答えと確認

1. 答えは 10m + 4 です。足す括弧の符号はそのままなので、8m − 3 + 2m + 7 = 10m + 4 です。m = 1 を元の式へ戻すと 5 + 9 = 14、答えも 14 です。

2. 答えは 4u − 5v + 6 です。引く式の反対は -5u − 3v + 2 なので、9u − 2v + 4 − 5u − 3v + 2 とします。u = 1、v = 1 なら元の括弧は 11 と 6、差は 5 です。答えも 4 − 5 + 6 = 5 です。

3. 答えは 5r + 8s − 11 です。引く括弧を外し、足す括弧はそのままにすると 6r + 5s − 2r + 3s − 7 + r − 4 です。r = 1、s = 1 なら元の3つの括弧は 11、6、-3 で、11 − 6 + (-3) = 2 です。答えも 5 + 8 − 11 = 2 です。

4. 答えは 1/2 c + d − 5/6 です。反対符号にしてから、係数を 2/3 − 1/6、1/4 + 3/4、-1/2 − 1/3 と計算します。c = 6、d = 0 なら元の括弧は 7/2 と 4/3 で、差は 21/6 − 8/6 = 13/6 です。答えも 3 − 5/6 = 13/6 です。

5. 答えは P − Q = 7h − 3k + 6、Q − P = -7h + 3k − 6 です。P − Q では Q の反対を足し、Q − P では P の反対を足します。h = 1、k = 2 なら P = 4、Q = -3 なので、元の順の差は 7 と -7 です。答えの式もそれぞれ 7 と -7 です。引く順番を入れ替えると、各項が反対になることも照合できます。

操作の順番を逆から点検する

整理した答えが元の差と同じかを、加法に戻して見る方法もあります。基本例題の答え 3x + 6y − 4 に、引いた式 2x − 4y + 1 を足すと 5x + 2y − 3 です。引いたものを戻した結果が最初の式に一致します。この確認は特定の値を入れる方法と違い、各文字の係数と定数をそれぞれ比較できます。

ただし、戻す式も写し間違えれば確認になりません。元の括弧を見ながら正負を含めて書き、x の項、y の項、定数の順に照合します。どの列が合わないかで、直す場所を絞れます。分数の場合も係数を正確に通分して戻し、途中で小数に丸めないようにします。

手元に残す要点

• 引く式は括弧全体を一まとまりとして扱います。
• 各項の反対を足してから同類項をまとめます。
• 分数係数は符号を決め、通分して正確に計算します。
• 縦式では文字の列と定数の列をそろえます。
• 元の式への代入と項ごとの対応の両方で点検します。

つまずきの位置を見つける

お子さまの答えが合わないときは、最後の数字だけでなく、括弧を外した行を見ます。最初の項だけ反対なら、引く対象を式全体として読めているかを尋ねます。各項は正しいのに答えが違うなら、同類項の選択と係数の正負の計算を分けて確かめます。分数で止まる場合は、符号を変えた後の係数を数直線上の数として読み、通分の行へ進みます。

個別指導で確かめる箇所は、引く式とその反対の式を項ごとに結べるか、縦式で空いた列をどう扱うか、負の項を引いた理由を言葉で説明できるかです。値を入れた確認が合わないときは、答えを消して最初からやり直す前に、元の括弧の値と外した行の値を比較します。差が生じた最初の行に戻れば、直すべき操作が見えます。引くまとまりを保つことが、符号をそろえる出発点です。