数検2級 不定積分と定積分—積分定数と上下端の代入を区別して計算する｜武蔵野個別指導塾

下端の代入結果を括弧でまとめて引き、初期条件で積分定数を決める計算を微分で点検します。

よくあるのは、受検者が定積分の下端を代入した後、最初の項だけに引く符号をつけてしまう場面です。原始関数までは合っているのに、最後の引き算で答えが変わります。下端の値をひとかたまりとして書き、括弧の外に引く符号を置けば、どこで符号が変わるかを追えます。積分定数が必要な式と、上下端の値の差を出す式も区別して練習しましょう。

積分の問題で求めるもの

多項式の積分では、微分すると指定された式になる関数を探します。たとえば、微分すると 2x になる関数として x² が見つかります。さらに x² に定数を足しても微分結果は 2x です。このような関数全体を表すのが不定積分です。

一方、定積分では区間の始めと終わりが指定され、原始関数の値の差を計算します。答えは数であり、原始関数に選んだ定数は差を取ると消えます。別の型として、導関数と関数のある点での値を使い、積分定数を決める問題もあります。3つの型では、最初に何を答えるのかを読み分けることが出発点です。

ここでは多項式の計算と初期条件を扱います。曲線で囲まれた面積を求めるときの区間分けは扱いません。定積分の値が負になることもあるので、計算結果を根拠なく正に変えないようにします。

微分を逆向きにたどる

関数 F(x) を微分した結果が f(x) になるとき、F(x) を f(x) の原始関数といいます。微分で定数は 0 になるため、F(x) + C も原始関数です。C は任意の定数で、問題の条件が与えられるまでは1つの数に決められません。

たとえば x³ を微分すると 3x² です。そのため 3x² の不定積分は x³ + C となります。一般に、0以上の整数 n について xⁿ の不定積分は xⁿ⁺¹/(n + 1) + C です。指数を1増やし、その新しい指数で割ると覚えた後、微分して元の項に戻るかを確認します。定数項も x の0乗の項として考えると、積分後はその定数に x をかけた項になります。

図1のように、不定積分では原始関数の集まりを表し、定積分では上下端の値の差を取ります。積分の記号の後ろの dx は、x について積分することを示します。足し算や引き算からなる多項式は、各項をそれぞれ積分してまとめられます。

図1の C は不定積分の答えに付ける定数です。定積分でも F(x) + C を使えますが、上端と下端の両方に同じ C が現れるため、引き算で消えます。原始関数の微分を確かめてから端の代入に進めば、積分の誤りと代入の誤りを切り分けられます。

基本例題: 下端を括弧で囲む

次の定積分を計算し、整数で答えましょう。

∫₋₁² (2x + 1) dx

まず 2x の原始関数は x² です。x² を微分すると 2x に戻るからです。次に 1 の原始関数は x です。x を微分すると 1 になります。したがって、被積分関数 2x + 1 の原始関数として F(x) = x² + x を選べます。

F(x) を微分すると 2x + 1 となり、問題の式と一致します。ここまでで、上下端の計算に使う式が正しいと確かめられました。定積分は F(2) − F(-1) で求めます。下端が負なので、代入する数にも括弧を付けます。

上端を代入すると、

F(2) = 2² + 2

= 4 + 2

= 6

です。下端を代入すると、

F(-1) = (-1)² + (-1)

= 1 − 1

= 0

です。それぞれの値が出てから、上端の値から下端の値を引きます。

F(2) − F(-1) = 6 − (0)

= 6

よって答えは 6 です。図2のように、上端と下端を別々に計算してから差を取ると、下端の符号を見失いにくくなります。

図2の下端の値は 0 です。式 x² + x の両方に -1 を代入して初めて 0 と出ます。上端でも同様に両方の項へ 2 を入れています。最後に定積分の条件へ戻ると、区間の始め -1 の値から終わり 2 の値へ、原始関数の値が 0 から 6 に変わっているので、差の 6 と一致します。

原始関数を x² + x + C としても、上端は 6 + C、下端は C です。その差は (6 + C) − C = 6 となります。定積分の計算途中で C を書かずに1つの原始関数を選べるのは、この差が同じだからです。

条件から積分定数を決める

関数 f(x) が f′(x) = 3x² − 4x + 1、f(1) = 5 を満たすとします。f(x) を求め、さらに f(3) − f(1) を整数で求めましょう。

分かれ目は、関数そのものを求めるのか、2点の値の差だけを求めるのかです。前者には積分定数を決める条件が必要です。後者は定数が引き算で消えるので、導関数の定積分から直接求めることもできます。ここではまず関数を作り、後で差を別の方法でも確かめます。

各項を積分すると、f(x) = x³ − 2x² + x + C です。微分すれば 3x² − 4x + 1 に戻ります。まだ C は決まっていません。条件 f(1) = 5 に x = 1 を入れます。

1³ − 2 × 1² + 1 + C = 5

0 + C = 5

C = 5

したがって f(x) = x³ − 2x² + x + 5 です。この式へ 1 を戻すと 1 − 2 + 1 + 5 = 5 となり、与えられた点の値に合います。導関数と点の値の両方に戻して確かめると、定数の入れ忘れも見つかります。

次に f(3) = 27 − 18 + 3 + 5 = 17 です。よって f(3) − f(1) = 17 − 5 = 12 です。差だけなら、原始関数 x³ − 2x² + x を使い、x = 3 で 12、x = 1 で 0 と求めても 12 − 0 = 12 になります。関数の値自体は 17 と 5、差は 12 という違いを区別して読み取ります。

条件を代入する前に C を 0 と決めると、導関数は合っても f(1) = 5 を満たしません。また、条件の数を導関数に入れて C を探しても、導関数には C が現れません。条件を入れる先は、積分後に作った f(x) です。

誤答: 下端の途中で引き算を止める

原始関数 F(x) = x² − 3x について、上端 2、下端 1 の定積分を考えます。F(2) = 4 − 6 = -2、F(1) = 1 − 3 = -2 なので、正しくは (-2) − (-2) = 0 です。ところが下端を「- 1 − 3」と書くと、下端の第2項まで引けず、結果を -6 としてしまいます。

図3のように、下端の式全体を括弧に入れ、その前に引く符号を置きます。式のまま計算するなら (-2) − (1 − 3) です。括弧を外すときは -1 + 3 となり、最初の項も次の項も符号が変わります。

図3の修正では、下端の値を先に -2 としても同じ答えに着きます。計算後に上端と下端の原始関数の値がどちらも -2 であることに戻れば、その差が 0 だと確認できます。値が負でも、差を取る順序は上端から下端のままです。

不定積分で C を忘れるのも別の誤りです。1つの原始関数が見つかったことと、条件を満たす関数を漏れなく表したことは同じではありません。答えが関数全体なのか、条件で決まった1つの関数なのか、数としての定積分なのかを問題文に戻って判断します。

練習問題

次の4問は、問題を読んでから自分の手で式を作り、後の解答と比べてください。積分する変数は x です。分数は約分した形で表します。

1. ∫ (6x² − 4x + 7) dx を、不定積分として求めてください。
2. ∫₀³ (x² − 2) dx を計算し、整数で答えてください。
3. g′(x) = 4x − 3、g(2) = 1 を満たす関数 g(x) を求めてください。
4. ∫₋₂¹ (3x² + 2x − 1) dx を計算し、整数で答えてください。

練習問題の答えと確かめ方

1. 6x² の原始関数は 2x³、-4x の原始関数は -2x²、7 の原始関数は 7x です。したがって答えは 2x³ − 2x² + 7x + C です。微分すると 6x² − 4x + 7 になり、問題の被積分関数に戻ります。C は任意の定数です。定数を微分すると 0 なので、C が残っていることと元の式に戻ることは両立します。

2. 原始関数を x³/3 − 2x とします。微分すると x² − 2 です。上端 3 で 27/3 − 6 = 3、下端 0 で 0 です。よって 3 − 0 = 3 です。区間の始めと終わりで原始関数の値が 0 と 3 であることに戻すと、求めた差は 3 と合います。各項を積分する際に定数 -2 を -2x にすることにも注意します。

3. 積分して g(x) = 2x² − 3x + C とします。条件に x = 2 を入れると 8 − 6 + C = 1、したがって C = -1 です。答えは g(x) = 2x² − 3x − 1 です。微分して 4x − 3、x = 2 で 8 − 6 − 1 = 1 と、問題の2つの条件に戻ります。点の条件を先に導関数へ入れても、元の関数の定数は求まりません。

4. 原始関数は x³ + x² − x です。上端 1 の値は 1 + 1 − 1 = 1 です。下端 -2 の値は (-2)³ + (-2)² − (-2) = -8 + 4 + 2 = -2 です。差は 1 − (-2) = 3 となります。原始関数を微分すると 3x² + 2x − 1 であり、端の値も 1 と -2 に戻るので、答えの 3 は指定区間での差と一致します。負の数を3乗した結果が負になる点と、下端の負の値を引く点を別々に確認します。

計算の途中で迷ったときの戻り方

指数を増やす操作と係数の割り算を一度に行うと、どちらを間違えたか見えにくくなります。たとえば 8x³ の原始関数を探すなら、まず x の4乗を考えます。x⁴ を微分すると 4x³ なので、元の係数 8 に合わせるには 2x⁴ とします。微分結果が 8x³ であることを確かめてから次の項へ進めます。係数を新しい指数で割る理由も、この微分に戻れば説明できます。

負の係数は符号ごと残して計算します。たとえば -9x² は、原始関数の項を -3x³ とすれば微分して元に戻ります。符号を後でまとめて付けようとすると、隣の項にまで影響させることがあります。項ごとに書き出し、最後に足し合わせると、符号と係数を同時に点検できます。式が長いときほど、計算の途中を行に残す意味があります。

定積分では、原始関数が合っていても、上端と下端を逆にすると答えの符号が反対になります。積分記号に書かれた上側の数と下側の数を見て、先に F(上端) − F(下端) の形を作りましょう。下端が負なら、代入する数の括弧と、下端の値全体を引く括弧の2種類が必要になることがあります。それぞれの括弧が何を囲むかを意識すると整理できます。

上端と下端が同じときは、同じ原始関数の値から同じ値を引くため、定積分は 0 です。また、端の順序を入れ替えれば差の順序も入れ替わり、値の符号が反対になります。これらは計算結果を振り返る手がかりになりますが、元の式の積分や代入を省略してよいという意味ではありません。両端の値を記録しておけば、答えの符号を自分で説明できます。

初期条件は原始関数の候補から1つを選ぶための情報です。微分すると消える定数は、導関数の式だけでは区別できません。条件を入れて求めた C が負の場合も、そのまま関数に戻して指定された値を計算します。微分の確認では定数の誤りを発見できないため、条件への代入を別に行います。逆に、指定点の値が合っていても導関数が違えば、求める関数ではありません。2つの確認は異なる役割を持ちます。

式を見直すときは、答えの数だけを消して書き直さず、どの行で元の条件との対応が失われたかを探します。たとえば上端の値が違えば上端への代入に戻り、上下端の値がともに合っていれば最後の引き算に戻ります。確かめる場所を絞ると、正しい部分まで崩さずに修正できます。

覚えておくこと

不定積分は原始関数に任意の定数 C を付けます。
定積分は上端の原始関数の値から下端の値を引きます。
下端の式全体を括弧で囲んでから符号を処理します。
初期条件は積分後の関数に代入して C を決めます。
微分と条件への代入で、答えを問題の式へ戻します。

つまずいた位置を見分ける

個別指導では、最初に答案の原始関数を微分し、各項が元の式へ戻るか確かめます。戻らなければ、指数を増やした後に何で割ったか、定数項をどう積分したかに戻ります。微分が合っているのに値が違う場合は、上下端の代入を別々に書き、下端の括弧を外した行を見直します。

初期条件の問題では、お子さまが C を含む式に条件を代入できているかを確かめます。答えの式を微分する確認と、指定された点に代入する確認を並べると、どちらの条件で食い違ったかが見えます。原始関数を作る段階と値の差を取る段階を分ければ、積分計算の誤りをたどれます。