数検準2級 条件付き確率—条件で残る結果を表に絞って分母を作り直す｜武蔵野個別指導塾

赤い札だとわかった後の偶数の確率を、残る4枚から計算します。条件を逆にした場合と、条件に合う結果がない場合も区別して考えます。

よくあるのは、受験者が条件を付けても全体の個数で割る場面です。例えば、箱から取り出した札について「赤いとわかったとき」と言われたのに、赤以外の札も分母に残してしまいます。先に得た情報は、結果を数える範囲を変えます。条件に合う札を囲み、その中で目的に合う札を数えると、何で割るかが見えてきます。

条件付き確率では、ある出来事が起こったとわかったうえで、別の出来事が起こる割合を求めます。ここでは有限個の結果を表に並べ、等しく起こりやすい結果を基準に考えます。条件の向きを取り違える場合や、条件に合う結果がない場合も扱います。

どの範囲を分母にするか

出方の型には、色と番号が付いた札から1枚を選び、色を条件に番号を問う型があります。もう1つは、2個のさいころの目の組を表にし、和についての情報から片方の目を問う型です。さらに、戻さずに続けて取り出すとき、1回目の結果を条件にして2回目を考える型もあります。いずれも、まず結果を区別し、条件に合うものを残す点は同じです。

問題の文を読むときは「何がわかったのか」と「残った中で何を問うのか」を別々に線で囲みます。条件を満たした結果の個数が分母、条件と目的の両方を満たした結果の個数が分子です。ただし、個数で割る方法は、並べた各結果が同様に確からしい場合に使います。色の種類が2つでも、それぞれの枚数が異なれば色を2通りとして等しく扱うことはできません。

結果の並べ方によっては、同じ結果を重複して数えたり、順番の違いを落としたりします。取り出す順を問う問題なら、1回目と2回目を区別した組を作ります。表を作る前に、1つのマスが何を表すか決めると、分子と分母が同じ単位で数えられます。

条件と重なりを区別する

全部の結果の集まりを全体、ある性質を持つ結果の集まりを事象と呼びます。条件となる事象を A、求めたい事象を B とします。A が起こったとわかったときの B の確率は、A の中で B も起こる割合です。図1のように、全体の中から A を残し、その中の重なりを数えます。

図1では、青い枠が条件 A、緑の部分が A と B の重なりを表します。B のうち A の外にある部分は、B を満たしていても、条件 A が起こったという情報に合いません。そのため分子にも分母にも入りません。A の中で B を満たさない部分は分母に残りますが、分子には入りません。

同様に確からしい結果が N 個あり、A の結果が a 個、A と B の両方に入る結果が c 個なら、a が 0 でないとき、求める確率は c/a です。全体に対する割合で書けば、P(A) = a/N、P(A と B) = c/N なので、条件付き確率は P(A と B) ÷ P(A) となります。分母と分子をともに N で割っているため、個数の比と同じ値です。

条件を B に変えて A の確率を問うと、重なりは同じでも分母は B の個数に変わります。したがって一般には、A のもとでの B と B のもとでの A は等しくありません。言葉の順序を確かめずに、重なりの個数だけを見て答えると、逆向きの問いに答えてしまいます。

条件に合う結果が 0 個なら、その中での割合は 0 で割ることになり、この定義では求められません。目的に合う結果が 0 個で、条件に合う結果がある場合は、確率は 0 です。この2つは異なります。反対に、条件に合う結果がすべて目的にも合う場合は、分子と分母が等しいので確率は 1 です。

基本例題：色で札を絞る

赤い札が4枚、青い札が2枚あります。赤い札にはそれぞれ 1、2、3、4、青い札にはそれぞれ 1、2 が書かれています。よく混ぜて1枚を無作為に取り出したところ、赤い札でした。書かれた数が偶数である確率を、約分した分数で求めます。各札は同様に確からしく取り出されるものとします。

図2のように札を1枚ずつ区別します。赤い札だったという情報があるため、青い札は取り除いて考えます。赤の 1 と赤の 2 は、数字が違う別の結果です。

条件を A、偶数であることを B として、順に書きます。

1. 全体は赤1、赤2、赤3、赤4、青1、青2 の6枚です。
2. 条件 A に合うのは赤1、赤2、赤3、赤4 の4枚です。
3. そのうち B にも合うのは赤2、赤4 の2枚です。
4. 求める確率は 2/4 = 1/2 です。

全体から赤かつ偶数になる確率は 2/6 ですが、これは条件が付く前の割合です。赤だったとわかった後は、赤以外の2枚を分母から外します。式で確認しても、P(A と B) ÷ P(A) = (2/6) ÷ (4/6) = 1/2 となります。分子の 2/6 と分母の 4/6 は、どちらも元の6枚を基準にした確率です。

答えを札の場面に戻すと、残った4枚のうち2枚が偶数で、残り2枚は奇数です。偶数と奇数の割合の和も 1 になります。これは答えが条件に合う札を過不足なく分けているかの確認です。単に分数を約分するだけでは、最初の分母に6を選んだ誤りは見つけにくいので、残した札を指さして確認します。

同じ札について「偶数だったとき赤である確率」を問われた場合はどうでしょうか。偶数の札は赤2、赤4、青2 の3枚です。そのうち赤は2枚なので 2/3 です。先ほどと重なりの2枚は同じですが、条件により分母が4枚から3枚に変わりました。

少し難しい例題：和から目の組を絞る

区別できる2個のさいころを同時に投げます。出た目の和が5以下であったとき、少なくとも一方が1である確率を、約分した分数で求めます。各さいころの目はそれぞれ 1 から 6 まで同様に確からしく、2個の目の組も同様に確からしいものとします。

まず1個目、2個目の順に目を並べます。和が5以下になる組は次の10通りです。

• 1個目が1: (1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)
• 1個目が2: (2,1)、(2,2)、(2,3)
• 1個目が3: (3,1)、(3,2)
• 1個目が4: (4,1)

1個目が5以上なら、2個目の最小の目を足しても和は6以上です。したがって条件を満たしません。各行で2個目の目を1から順に増やしているので、条件内の組を漏れなく数えられます。

この10通りのうち少なくとも一方が1であるのは、(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(3,1)、(4,1) の7通りです。よって確率は 7/10 です。(1,1) は両方が1ですが、1つの組として1回数えます。1個目が1の4通りと2個目が1の4通りを足すなら、重複した (1,1) を1回引いて 4 + 4 − 1 = 7 とします。

場面に戻して、目的に合わない組も調べます。どちらも1でないものは (2,2)、(2,3)、(3,2) の3通りです。7通りと合わせて条件の10通りに戻ります。この補う側からは 1 − 3/10 = 7/10 とも求められます。条件を無視して36通りから引くと、和が6以上の組まで混ざるため、補う範囲も10通りに限定します。

誤答から分母を直す

基本例題で、赤かつ偶数の札が2枚だから 2/6 = 1/3 と答える誤りを考えます。2枚という分子は合っていますが、6枚という分母は条件を付ける前の全体です。図3のように、赤という条件に合わない青の2枚を分母から除く必要があります。

修正すると、赤の4枚の中に偶数が2枚あるので 2/4 = 1/2 です。誤答の 1/3 は、何も知らない状態で赤かつ偶数を引く確率としては正しい値です。どの問いの答えになっているかを言葉に戻せば、計算自体と問いの読み違いを区別できます。

もう1つの誤りは、条件に合う札の中で目的に合わない枚数を数え、それをそのまま答えることです。基本例題では奇数も2枚なので偶然同じ値ですが、いつも一致するわけではありません。問題が「偶数」か「偶数でない」かを確認し、反対の事象を数えたなら 1 から引きます。

分母が0の場合にも注意します。例えば基本例題の札に「緑である」という条件を付けても、緑の札はありません。0枚の中の割合はこの方法では定義できず、確率0と決めてはいけません。一方、「赤で、数が5である」札は0枚ですが、赤は4枚あるため、赤という条件のもとで数が5である確率は 0/4 = 0 です。条件が起こらない場合と、条件のもとで目的が起こらない場合を分けます。

練習問題

各結果は問題文に書かれた範囲で同様に確からしいものとします。答えは約分した分数、または必要に応じて整数で表します。解答を見る前に、条件の範囲と目的との重なりを書き出してください。

1. 白いカードに 1、2、3、4、5、黒いカードに 1、2、3 が1枚ずつ書かれています。1枚を無作為に選び、奇数だとわかりました。白である確率を求めます。
2. 区別できる2個のさいころを同時に投げ、目の和が8だとわかりました。1個目の目が2以上4以下である確率を求めます。目の組は同様に確からしいものとします。
3. 袋に異なる緑の球3個と異なる黄の球2個があります。無作為に1個取り出して戻さず、もう1個取り出します。1回目が緑だったとき、2回目が黄である確率を求めます。
4. 1から6までの整数を1つ無作為に選びます。6の倍数だとわかったとき、奇数である確率を求めます。また、7の倍数だとわかったとき、奇数である条件付き確率をこの定義で求められるか答えます。

練習問題の答えと解き方

1. 条件の奇数のカードは白1、白3、白5、黒1、黒3 の5枚です。そのうち白は3枚なので 3/5 です。残りの黒は2枚で、白の3枚と合わせて奇数の5枚に戻ります。白という色を条件にした問いではないため、白の5枚を分母にしないことが要点です。

2. 和が8の組は (2,6)、(3,5)、(4,4)、(5,3)、(6,2) の5通りです。1個目が2以上4以下なのは最初の3通りなので 3/5 です。残る2通りも和が8で、1個目が範囲外です。6以下の目を順に試すと、1個目が1のとき必要な2個目は7となり、さいころの目にありません。

3. 1回目が緑なら、残る球は緑2個と黄2個の計4個です。2回目は残った4個から同様に確からしく選ぶので、黄の確率は 2/4 = 1/2 です。元の球を区別して確かめると、条件に合う順序付きの組は 3 × 4 = 12 通りで、そのうち緑の後に黄となる組は 3 × 2 = 6 通りです。6/12 も 1/2 となり、最初にどの緑を取っても残りの内訳が同じだと確認できます。

4. 6の倍数という条件に合うのは6の1個で、奇数は0個です。したがって 0/1 = 0 です。1から6までには7の倍数がないため、もう一方の条件に合う結果は0個です。分母を作れず、この定義では条件付き確率を求められません。目的に合う結果がないことと、条件に合う結果そのものがないことを区別します。

条件付き確率を式から読む練習として、分母の確率が何を示すかも確認します。例えば条件に合う結果が全体の半分しかなくても、その条件の中で目的が必ず起こるなら答えは1です。条件そのものの起こりやすさと、条件が起きた後の割合は別の量です。逆に、条件が起こりやすくても、その中に目的の結果が少なければ条件付き確率は小さくなります。分数の値だけを見るのではなく、各部分がどの集合に対応するかを説明してから計算します。

覚えておくこと

• 条件に合う結果を先に残し、その個数を分母にします。
• 分子には条件と目的の両方に合う結果を数えます。
• 個数の比は、結果が同様に確からしいときに使います。
• 条件が逆になると、通常は分母も変わります。
• 条件に合う結果が0個なら、この定義では求められません。

つまずいた行から戻る

個別指導で確かめるなら、まず分母を書いた行を見ます。全体の個数が残っていれば、問題文の条件に線を引き、その条件に合う結果を1つずつ囲むところに戻ります。分母が正しく分子だけが違う場合は、囲んだ結果の中で目的を満たすものに印を付け、重複と数え漏れを調べます。

表を作る前に答えを急いだ場合は、1マスが何を表すかを言葉で説明します。順序のある2回の取り出しなら、順序を入れ替えた結果を区別するかも確認します。条件で残した範囲が定まれば、確率の分母はその範囲から決まります。