数検2級 微分係数と接線—変化率から導関数を作り接点と傾きを結ぶ｜武蔵野個別指導塾

平均変化率の極限で傾きを求め、曲線上の接点を代入して接線の方程式を組み立てます。

よくあるのは、受検者が曲線の接線の傾きを正しく求めた後、接点の座標を接線の式に入れ忘れるという場面です。傾きが同じ直線は平行に何本も引けるため、それだけでは位置が決まりません。傾きと通る点を別々に確認してから結びつけると、式の意味が見えてきます。微分係数を単なる計算結果にせず、曲線上の点での傾きとして使う練習をしましょう。

傾きから何を問われるか

多項式で表された曲線について、2点間の平均変化率を求め、片方の点を近づけて微分係数を求める型があります。また、接点の x 座標が与えられ、そこでの接線の方程式を求める型もあります。さらに、接点が未知で、曲線外の点を通る接線を探す場合には、接点の座標を文字で置いて条件を立てます。

これらは、傾きを計算して終わる問題と、直線の位置まで決める問題との違いに注意します。後者では、答えにした直線が指定された点を通り、接点で曲線と同じ傾きを持つことまで確認します。ここでは多項式の微分と接線を扱い、合成関数の微分や多項式以外の関数には立ち入りません。

平均変化率から接線の傾きへ

関数 y = f(x) で、x が a から a + h まで変化するとき、y の変化量は f(a + h) − f(a) です。h は 0 でないとして、平均変化率は次の式で表します。

(f(a + h) − f(a))/h

これは曲線上の2点を結ぶ直線の傾きです。h を 0 に限りなく近づけたとき、この値が一定の値に近づけば、その値を x = a における微分係数と呼び、f′(a) と書きます。h = 0 を初めから分母に代入することはできません。先に分子を整理して h で割り、残った式で近づけます。

図1のように、2点を結ぶ直線の傾きから、1点での接線の傾きへ移ります。図は関係を示した模式図で、点を近づける向きは左右のどちらからでも考えます。

図1の接点の x 座標を a として、a を変数 x に置き換え、各点での微分係数を表す関数が導関数 f′(x) です。例えば f(x) = x² なら、差の商は ((a + h)² − a²)/h = 2a + h となります。h を 0 に近づけると f′(a) = 2a ですから、導関数は f′(x) = 2x です。

多項式では、x の n 乗の導関数は n に x の n − 1 乗を掛けたものです。定数の導関数は 0 で、各項をそれぞれ微分して足し合わせます。たとえば x³ − 2x + 5 の導関数は 3x² − 2 です。元の式に a を入れると高さ f(a)、導関数に a を入れると傾き f′(a) が得られます。

接点 (a, f(a)) を通り、傾き f′(a) の直線は y − f(a) = f′(a)(x − a) です。この形では接点を代入したとき左右が 0 になることをすぐに確認できます。右辺の傾きだけを y の式にするのでは、通る点を指定できません。

変化量の符号も確認しましょう。h が負なら、2点目は a の左側にあります。このとき分母は負ですが、分子も y の変化に応じて符号が決まります。分子と分母の順序をともに「後の値 − 前の値」にそろえることが必要です。片方だけ順序を逆にすると、直線の傾きの符号が反対になります。

例えば f(x) = x² で a = 1 とし、h = -1/2 とすると、2点目の x 座標は 1/2 です。平均変化率は (1/4 − 1)/(-1/2) = 3/2 です。一方、h = 1/2 なら平均変化率は (9/4 − 1)/(1/2) = 5/2 です。どちらも接点での傾き 2 そのものではありませんが、h を小さくすると差の商 2 + h は 2 に近づきます。左右の点で計算した値の違いと、極限の値とを混同しないようにします。

傾きが 0 の場合も、接線の式は同じ形から作れます。f′(a) = 0 なら y − f(a) = 0、つまり高さ f(a) を通る水平な直線です。傾きが 0 だから接線が存在しない、と判断する必要はありません。逆に接点が原点でない限り、水平な接線の式が必ず y = 0 になるわけでもありません。

基本例題：接点を通る式を作る

曲線 y = x² − 2x + 3 の x = 2 における微分係数と接線の方程式を求めます。微分係数は整数で、接線は y = mx + n の形で答えます。

まず f(x) = x² − 2x + 3 と置き、変化後の値を展開します。

f(2 + h) = (2 + h)² − 2(2 + h) + 3

= 4 + 4h + h² − 4 − 2h + 3

= 3 + 2h + h²

変化前の値は f(2) = 4 − 4 + 3 = 3 です。したがって、h が 0 でないとき、平均変化率は次のようになります。

(f(2 + h) − f(2))/h = (2h + h²)/h

= 2 + h

h を 0 に近づけると 2 + h は 2 に近づくので、求める微分係数は 2 です。導関数でも確認すると f′(x) = 2x − 2 なので、f′(2) = 2 です。差の商と導関数は同じ点の傾きを示します。

次に接点の高さを元の関数から求めます。f(2) = 3 なので接点は (2, 3) です。傾き 2 の直線で、この点を通る条件を入れます。

y − 3 = 2(x − 2)

y − 3 = 2x − 4

y = 2x − 1

図2のように、曲線と直線は (2, 3) で接しています。接点の座標は元の曲線へ、傾きは導関数へ戻して確かめます。

図2の直線に x = 2 を代入すると y = 3 で、指定された点を通ります。直線の傾きは 2 で、曲線の x = 2 における傾きにも一致します。さらに曲線と直線の差は x² − 2x + 3 − (2x − 1) = (x − 2)² です。差が 0 になる位置は x = 2 で、図の接点とも合います。

接点が与えられない場合

曲線 y = x² 上の接線のうち、点 (0, -4) を通るものをすべて求めます。直線はそれぞれ y = mx + n の形で答えます。点 (0, -4) は曲線上にないので、これを接点として微分係数を計算することはできません。

接点の x 座標を t と置くと、接点は (t, t²) です。導関数は 2x なので、そこにおける傾きは 2t です。接線は次の式になります。

y − t² = 2t(x − t)

y = 2tx − t²

この直線が点 (0, -4) を通るという条件を代入すると、-4 = -t² です。よって t² = 4、t = 2 または t = -2 です。それぞれを接線の式に戻すと、答えは y = 4x − 4、y = -4x − 4 です。

条件の分かれ目は、接点が最初からわかっているかどうかです。接点を与えられた基本例題では座標をそのまま使えますが、ここでは t の候補を求める必要があります。t を求めずに、指定された点の x 座標 0 を接点の座標だと決めると、曲線上にない点での接線を作ることになります。

検算では、どちらの直線も x = 0 で y = -4 となります。接点はそれぞれ (2, 4)、(-2, 4) で、曲線上にあります。導関数 2x の値は順に 4、-4 となり、直線の傾きと一致します。接点の候補を定める t² = 4 の実数解はこの2つなので、他の接線もありません。

接点を文字で置く方法は、候補の抜けを点検する際にも役立ちます。曲線上の任意の点を t で表してから、通る点の条件を方程式にしたため、求める接線があればその接点の t は必ず方程式の解です。反対に、方程式の解を見つけた後も、その t で作った直線が本当に指定点を通るか確認して初めて答えとして確定します。必要な条件を作る段階と、候補を元へ戻す段階は別です。

例えば同じ曲線 y = x² の接線が点 (0, 1) を通ると仮定すると、1 = -t² が必要です。実数 t の2乗は負にならないので、この条件を満たす接線はありません。計算途中で実数解が出ないときは、無理に接点を作らず、なぜ候補がないかを述べます。一方、点 (0, 0) を通る場合は t² = 0 となり、t = 0 から y = 0 の1本です。方程式の解の個数を確かめることで、2本ある場合と1本もない場合を区別できます。

誤答を接点から直す

基本例題で、傾きが 2 と出た後に y = 2x と答える誤りを考えます。この直線は傾きこそ正しいものの、x = 2 で y = 4 となり、接点 (2, 3) を通りません。図3のように、傾きが同じでも通る位置が異なる平行な直線があります。

図3では、誤った直線を接点へ移すと正しい接線になります。式で直すには、傾き 2 と点 (2, 3) を y − 3 = 2(x − 2) に入れます。傾きだけが合っていても、点を代入して一致しなければ答えを戻します。

別の間違いは、接点の y 座標を f′(2) = 2 から取ることです。導関数の値は高さではなく傾きなので、高さを求める際は元の f(2) に戻ります。微分で係数を落とした疑いがある場合は、差の商を展開して確かめると、計算と意味のどちらで迷ったかを区別できます。

また、差の商で h を約分する前に h = 0 を代入すると、分母が 0 になり計算できません。差の商は h が 0 でない範囲で変形し、その後で近づいた先を調べます。近づける操作と代入できる式への変形を分けて書けば、途中式のどこで値を扱っているかが明確になります。

接点を文字 t で置く問題では、求まった t をそのまま直線の傾きと読む誤りにも注意します。傾きは f′(t) です。接点の位置と傾きは別の量であり、たまたま同じ数になる例があっても一般には一致しません。最後に求めるものが座標なのか直線の方程式なのかを問題文で確かめます。

練習問題

次の問題は、各問を解いてから後の解答で確認します。直線の式は y = mx + n の形、数値は整数または分数で答えます。

1. f(x) = x² + 3x の x = 1 における微分係数を、平均変化率から求めてください。
2. 曲線 y = x² + 1 の x = -1 における接線の方程式を求めてください。
3. 曲線 y = x³ − 3x の x = 2 における接線の方程式を求めてください。
4. 曲線 y = x² 上の接線のうち、点 (0, -9) を通るものをすべて求めてください。

解答と確かめ

1. f(1 + h) = (1 + h)² + 3(1 + h) = 4 + 5h + h²、f(1) = 4 です。h が 0 でないとき平均変化率は (5h + h²)/h = 5 + h です。h を 0 に近づけると微分係数は 5 です。導関数 2x + 3 に 1 を代入しても 5 となり、指定点での傾きに戻せます。

2. 導関数は 2x、x = -1 での傾きは -2 です。元の式から接点は (-1, 2) なので、y − 2 = -2(x + 1)、答えは y = -2x です。この直線に x = -1 を入れると y = 2 となり、曲線上の指定点を通ります。導関数の値も -2 なので傾きも一致します。

3. 導関数は 3x² − 3、x = 2 での傾きは 9 です。接点の高さは 2³ − 3・2 = 2 なので、y − 2 = 9(x − 2) です。答えは y = 9x − 16 です。x = 2 を直線に代入すると y = 2 に戻り、傾き 9 も指定点での導関数の値と合います。

4. 接点を (t, t²) とすると、傾きは 2t、接線は y = 2tx − t² です。(0, -9) を通る条件から t² = 9 となり、t = 3 または -3 です。答えは y = 6x − 9、y = -6x − 9 です。どちらも指定点を通り、接点 (3, 9)、(-3, 9) は曲線上にあります。それぞれの傾きも導関数の値と一致し、t の実数解を両方使っています。

練習の後は、各問の接点と傾きを別の欄に書き出し、直線の式に両方が反映されているか比べてみましょう。微分の計算と直線の立式を分けて点検できます。

覚えておくこと

平均変化率は2点間の傾き、微分係数は点を近づけたときの傾きです。
元の関数で接点の高さを、導関数で接線の傾きを求めます。
接線は y − f(a) = f′(a)(x − a) に点と傾きを入れます。
接点が未知なら文字で置き、与えられた点を通る条件を使います。
最後に点と傾きをそれぞれ元の条件に戻します。

どの行に戻ればよいか

傾きは合っているのに直線が接点を通らないときは、y − f(a) = f′(a)(x − a) の左辺と括弧の中に、接点の2つの座標を入れたか確かめます。接点そのものが違う場合は、導関数ではなく元の関数に x 座標を代入したかを見直します。

個別指導で確認するときは、まず式を隠さず、どの数が高さでどの数が傾きかを声に出して説明してもらいます。接点が未知の問題で手が止まるなら、接点を (t, f(t)) と置く行に戻り、指定点を通る条件と区別します。保護者がお子さまの途中式を見る場合も、答えの数字だけでなく、接点への代入と傾きの照合が書かれているかを手がかりにできます。接点と傾きの両方がそろって初めて、求める接線が定まります。