数検2級 対数方程式と不等式—真数条件と底の大小を先に調べて解を絞る｜武蔵野個別指導塾

真数が正となる範囲を最初に書き、底が1より小さい場合の不等号の逆転を例題で確かめます。

よくあるのは、受検者が対数を含む式を二次方程式に直し、出てきた2つの数をそのまま答えにする場面です。計算の途中は合っていても、一方を元の式に入れると対数の中が負になることがあります。答えの候補を得る操作と、元の式で使えるかを調べる操作は別です。最初に真数の条件を書き、最後に候補をそこへ戻すと、どこで解が消えるかを説明できます。

何を決める問題か

対数方程式では、対数を含む等式を満たす実数を求めます。不等式では、大小関係が成り立つ実数の範囲を求めます。どちらも、式の中の対数が定義される範囲で考えることが出発点です。常用対数を使う桁数の問題はここでは扱いません。

例えば、同じ底の対数をまとめて方程式に直す型があります。また、対数の値と定数を比べ、指数の形に直して不等式を解く型もあります。さらに、対数の値を文字に置き換え、二次不等式を解いてから元の文字へ戻す型も考えられます。それぞれ計算の見た目は違いますが、真数の条件を記録し、最後に共通部分を取る点は同じです。

答えは数値や範囲だけでなく、その数が元の対数に入る理由まで説明できると確かです。負の数や0は真数に使えないため、等号が境界に付くかどうかも丁寧に見ます。

真数と底が決める範囲

logₐM は、a を何乗すると M になるかを表します。底 a は正で1ではなく、真数 M は正です。例えば log₂8 = 3 は、2³ = 8 という関係です。底が1だと何乗しても1になり、指数を一意に決められません。真数が0や負の場合も、正の底の実数乗では得られません。

文字を含む真数が複数あれば、それぞれが正である条件を同時に満たします。log₂(x − 1) と log₂(5 − x) があれば、x − 1 > 0 と 5 − x > 0 から 1 < x < 5 です。積をまとめた後に積が正かどうかを見るだけでは不足します。2つとも負でも積は正になり得るからです。

底が1より大きい場合、指数が増えるとその累乗も増えます。このため同じ底の対数の大小と真数の大小は同じ向きです。一方、底が0より大きく1より小さい場合、指数が増えると累乗は減ります。対数の大小を真数の大小に直すと不等号の向きが逆になります。図1のように、最初の条件と底の大小は別々に確認します。

図1の右側は、いずれも比べる真数が正であることを前提とします。等式なら底がどちらの範囲でも、同じ底の対数が等しいことと真数が等しいことは同値です。不等式では向きを確認する一手間が加わります。

基本例題：候補を真数条件へ戻す

次の方程式を解き、答えを整数で表してください。

log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3

図2のように、まず両方の真数が正になる条件を並べます。x − 1 > 0 かつ x + 1 > 0 なので、共通範囲は x > 1 です。この範囲を余白に残してから変形します。

正の真数について、同じ底の対数の和は積の対数です。したがって次の順に変形します。

log₂((x − 1)(x + 1)) = 3

(x − 1)(x + 1) = 2³

x² − 1 = 8

x² = 9

x = 3 または x = -3

2行目では対数の定義を使いました。ここで得た2つは二次方程式の候補です。図2に戻ると、x > 1 を満たすのは 3 です。-3 では元の2つの真数がどちらも負となり、元の式は実数の範囲で定義されません。よって答えは x = 3 です。

元の問題に戻しても確かめます。x = 3 のとき真数は2と4で、左辺は log₂2 + log₂4 = 1 + 2 = 3 です。右辺と一致します。積が8になるだけを確かめるのではなく、2つの真数がそれぞれ正で、元の和が3になることまで見届けます。

この例で条件を先に書かなかったとしても、最後に両候補を元の式へ入れれば判断できます。ただし、式の変形を同値な範囲で行うためにも、先に x > 1 と明示する方が筋道を追いやすくなります。候補の一方が不適でも、二次方程式の計算が間違いだったとは限りません。

底が小さいときの分かれ目

次の不等式を解き、答えを x の範囲で表してください。

log₁/₂(x − 1) > log₁/₂(5 − x)

ここで log₁/₂ の底は 1/2 です。まず x − 1 > 0、5 − x > 0 より、定義域は 1 < x < 5 です。底は0より大きく1より小さいので、対数の大小と真数の大小は逆向きになります。よって定義域内で元の不等式は x − 1 < 5 − x と同値です。

これを解くと 2x < 6、すなわち x < 3 です。定義域との共通部分を取り、答えは 1 < x < 3 です。1では左側の真数が0となり、3では両辺が等しいので、どちらも含めません。

向きに迷ったら、真数が 1/2 と 1 の場合を見ます。底が 1/2 ならそれぞれの対数は1と0で、真数が小さい方の対数が大きくなります。例えば答えの範囲内の x = 2 では真数が1と3で、左辺は0、右辺は負です。逆に x = 4 では真数の大小が逆になり、不等式は成り立ちません。境界と内外の点を調べると、向きの取り違えを見つけやすくなります。

底が1より大きければ、同じ形でも不等号の向きは保たれます。まず底の範囲を判断し、その後で真数を比較します。底の大小と真数の正負を一度に処理せず、別々の行に書くと、説明を読み返すときに判断の根拠を追えます。

誤答を直す：積が正でも元の真数を見る

基本例題で x = -3 を答えに含める誤りを考えます。x² = 9 から -3 が候補になるところまでは正しい計算です。しかし、-3 を入れると x − 1 = -4、x + 1 = -2 です。積は8でも、元の2つの対数は定義されません。図3のように、積の符号ではなく元の各真数の符号へ戻ります。

図3で -3 を除いた後も、もう一方の 3 が実際に条件と等式を満たすことを確認します。候補を除くだけでは、残ったものが正しいと示したことにならないためです。対数をまとめる公式も、元の真数が正という条件の下で使います。

別の誤りとして、logₐ(M + N) を logₐM + logₐN とすることがあります。積についての公式を和に適用することはできません。例えば底2で M = N = 2 とすると、左側は2、右側もこの場合は2ですが、M = N = 1 なら左側は1、右側は0です。たまたま一致する数値があっても公式にはなりません。変形する前に、真数を結ぶ記号が積か和かを見てください。

練習問題

次の問題は、それぞれ実数 x について解きます。答えは問題1では根号、問題3では整数、問題2と4では x の範囲で表してください。先に4問に取り組んでから、下の解答と比べます。

1. log₃(x − 2) + log₃(x + 2) = 2
2. log₂(x + 3) ≤ 2
3. log₅(x + 1) = log₅(9 − x)
4. log₁/₃(x + 2) ≥ -1。ただし底は 1/3 とします。

解答と確認

1. 真数条件は x − 2 > 0、x + 2 > 0 なので x > 2 です。この範囲で積の公式を使うと (x − 2)(x + 2) = 3²、つまり x² = 13 です。候補は x = √13 と x = -√13 で、条件を満たすのは x = √13 です。元の真数は √13 − 2 と √13 + 2 で、どちらも正、その積は9です。対数の和は2に戻ります。

2. 真数条件は x > -3 です。底2は1より大きいので、x + 3 ≤ 2² = 4 となり、x ≤ 1 です。共通部分は -3 < x ≤ 1 です。x = 1 では左辺が2となり等号が成り立ちます。x = -3 は真数が0なので含めません。例えば x = 0 では真数3が4より小さく、左辺は2より小さいため、向きも合っています。

3. 両方の真数が正という条件は -1 < x < 9 です。同じ底の対数が等しいので x + 1 = 9 − x、2x = 8、x = 4 です。4は条件内です。元の真数はどちらも5となり、両辺はともに1です。真数が等しいことに加え、元の式が定義されることも確かめます。

4. 真数条件は x > -2 です。-1 は log₁/₃3 と表せます。底 1/3 は1より小さいため、対数の不等号を真数の比較に直すと x + 2 ≤ 3 となります。したがって x ≤ 1 で、共通部分は -2 < x ≤ 1 です。x = 1 では真数3、左辺は -1 なので等号を含みます。x = -2 は真数0のため含みません。x = 0 では真数2が3より小さく、対数は -1 より大きいので範囲に合います。

置き換えた値から x へ戻す

対数が2乗されている場合は、対数全体を別の文字に置くと見通しが立ちます。例えば log₂x を t と置いたとき、t² − 3t + 2 < 0 という条件になったとします。まず x > 0 が必要です。左辺を因数分解すると (t − 1)(t − 2) < 0 なので、積が負になるのは 1 < t < 2 です。

ここで t の範囲をそのまま x の範囲にしてはいけません。t は x ではなく log₂x だからです。底2は1より大きいので、1 < log₂x < 2 を指数の形に戻すと 2 < x < 4 です。この範囲は x > 0 に含まれます。例えば x = 2√2 なら log₂x = 3/2 で、置き換えた不等式の左辺は -1/4 です。端の x = 2 と x = 4 では左辺が0になるので、厳密な不等号には入りません。

置き換えは新しい未知数についての計算を整理する道具です。元の変数へ戻す行を書き、底による向きを調べてから、もとの定義域と重ねます。もし置き換えた二次不等式に解がない場合は、その時点で元の条件を満たす x もありません。一方、置き換えた値に候補があっても、問題に別の条件が付いていれば、それと合わせる必要があります。

範囲の端と解がない場合

不等式では、境界の値を含むかが答えを変えます。例えば log₂(x − 4) ≥ 0 なら、真数条件は x > 4 です。0 = log₂1 なので、底の大小から x − 4 ≥ 1、すなわち x ≥ 5 です。5を入れると真数は1で、対数の値が0になるため等号を含みます。真数条件の境界4とは異なる点が、答えの境界になっています。

また、条件と計算結果が重ならないこともあります。例えば log₂(x − 4) < log₂(2 − x) では、左の真数が正なら x > 4、右の真数が正なら x < 2 です。両方を同時に満たす実数はありません。この場合は真数を比較する前に、元の不等式が定義される x がないと判断できます。答えは解なしです。無理に不等号を移項して得た範囲だけを書くと、元の式を読むことができない数を答えに混ぜてしまいます。

答えが空になる別の経路もあります。真数条件自体は満たせても、その範囲で等式が成り立たない場合です。例えば log₂x = log₂(x + 1) では x > 0 が条件ですが、真数を等しいと置くと x = x + 1 となり、成り立つ実数はありません。定義域が空なのか、定義域内で等式を満たす数がないのかを分けると、どの段階で解なしになったか説明できます。

答案の点検の順序

答案を見直すときは、最初に元の式の対数を一つずつ指で追い、その真数に対応する条件があるか調べます。次に、積の公式を使った行では、和の中身が本当に積に変わっているかを見ます。不等式なら底を囲み、大小を真数へ移した行の不等号を確認します。最後に、計算から得た範囲と最初の条件が重なる部分を照合します。

解が数の場合は、代入して真数が正になることと、両辺の値が等しいことを確かめます。範囲の場合は境界を元の式へ入れられるか、等号を許すかを分けて調べます。さらに範囲の内側と外側から点を選ぶと、向きを誤った答えを見つける手掛かりになります。ただし点をいくつか試すことは、範囲全体についての式変形の代わりにはなりません。

覚えておくこと

• 元の各真数を正とする条件を先に書きます。
• 底が1より大きければ真数との大小は同じ向きです。
• 底が0と1の間なら真数との大小は逆向きです。
• 計算で得た候補や範囲と真数条件の共通部分を取ります。
• 残った答えを元の式に戻し、境界の扱いも確かめます。

どの判断から確かめるか

個別指導では、答えが合わなかったときに最初の条件の行を見ます。真数が2つある式で積だけを正としたなら、それぞれの真数に正の条件を付け、共通部分を数直線上で確認します。条件が正しくても範囲が逆なら、底が1より大きいか小さいかを尋ね、指数を2つ選んで累乗の大小を比べます。

計算後に候補を戻せない場合は、元の式の各真数に候補を代入するところまで戻ります。保護者がお子さまの答案を見る際も、正誤だけでなく、条件と最後の共通部分が書かれているかを手掛かりにできます。真数が正である範囲に戻れば、式変形で生じた余分な候補を見分けられます。