数検準2級 確率と余事象—同様に確からしい結果をそろえて分母と分子を数える｜武蔵野個別指導塾

色の異なる玉を取り出す例で結果をそろえ、「少なくとも」の反対側から数えます。鍵は余事象です。

よくあるのは、袋から玉を取り出す問題で、受験者が色の種類だけを同様に確からしいとする場面です。赤と青の2色なら赤の確率は1/2、と決める前に、袋の中にそれぞれ何個あるかを見ます。玉を1個ずつ区別して並べると、色の種類の数と起こりうる結果の数は異なると気づけます。

確率は、分数の計算に入る前の整理が大切です。ここでは結果を同じ確からしさの単位にそろえ、目的の結果とその反対側を数えます。期待値は扱いません。

どんな結果を数えるのか

出方の型は大きく3つあります。1つ目は、色や番号のついたものを1個取り、指定された色や番号になる確率を求める型です。色の種類ではなく、それぞれの玉が取り出される可能性を基準にします。

2つ目は、複数のものを取り、和や色の組合せが条件を満たす確率を求める型です。順に取り出した結果を区別するか、同時に選んだ組を使うかを決めます。どちらを選んでも、分母と分子を同じ単位で数えれば答えは一致します。

3つ目は「少なくとも1個」のような条件です。目的に合う場合を直接数えると、1個の場合、2個の場合、と分ける必要があります。そこで、目的が起こらない場合を先に数え、全体から除く方法を考えます。反対側が数えやすいかどうかが、方法を選ぶ目印です。

分母の数を決めてから分子を探すと、何を1通りと数えたかを保ちやすくなります。答えが出た後も、条件に合う結果を具体的に指せるか確かめましょう。分数が簡単になっていても、もとの数え方が正しいとは限りません。

標本空間と余事象

試行とは、同じ条件のもとで行う操作です。1回の試行で起こりうる結果を集めたものを標本空間といい、その中で条件を満たす結果の集まりを事象といいます。たとえば区別できる赤玉2個と青玉1個から、どの玉も同じ確率で1個取り出すとします。赤玉を赤A、赤B、青玉を青Cと名づければ、標本空間は赤A、赤B、青Cの3結果です。

図1のように、同じ色の玉にも名前をつけると、赤の事象が2結果、青の事象が1結果と見えます。各玉が選ばれる確率は同じなので、赤の確率は2/3です。色だけを赤、青と並べて各1結果とすることはできますが、その2結果は同じ確からしさではありません。等しい可能性を前提とする個数の比を、そのまま使えないのです。

図1では3つの玉が等しい確率で選ばれます。この前提がなければ、個数の比だけで確率を出すことはできません。どの玉も同じように選ばれると問題に書かれているか、そこから確認します。

起こりうる結果が有限個で、それぞれが同様に確からしいとき、事象の確率は次のように求めます。

確率 = 条件を満たす結果の数 / 起こりうる結果の総数

たとえば結果の総数が5、条件を満たす結果が2なら確率は2/5です。分子が0なら不可能な事象で確率は0、分子が分母と等しければ必ず起こる事象で確率は1です。確率が0以上1以下になっているかも確認に使えます。ただし、この範囲に収まるだけでは数え漏れを見つけられません。

ある事象が起こらないという事象を、その事象の余事象といいます。「少なくとも1個が赤」の余事象は「赤が0個」です。「赤がちょうど1個」ではありません。2個以上の赤を取る結果は、元の事象に含まれるからです。

元の事象と余事象は重ならず、合わせると標本空間全体になります。そのため、元の事象の確率は1から余事象の確率を引いて求められます。余事象を文章で書いてから計算すると、引く対象を間違えにくくなります。

基本例題：2個のうち少なくとも1個

袋に赤玉2個と白玉3個があります。どの2個の組も同じ確率で選ばれるように、同時に2個取り出します。少なくとも1個が赤玉である確率を、既約分数で求めてください。

まず赤玉を A、B、白玉を C、D、E と区別します。同時に取るので、AB と BA は同じ組です。図2のように、先に選んだ玉より右にある玉と組を作ると、重複せずに数えられます。

全体の組を、最初に書く文字で分けて並べます。

A を含み A より後の文字と組にする: AB、AC、AD、AE の4組

B を含み B より後の文字と組にする: BC、BD、BE の3組

C を含み C より後の文字と組にする: CD、CE の2組

D を含み D より後の文字と組にする: DE の1組

全体の組の数 = 4 + 3 + 2 + 1 = 10

目的の反対側は「赤玉が0個」、つまり白玉2個の組です。白玉の名前を見て数えます。

白玉2個の組: CD、CE、DE

余事象の組の数 = 3

余事象の確率 = 3/10

求める確率 = 1 − 3/10

求める確率 = 7/10

図2の全10組のうち、白玉2個の3組を除くと7組が残ります。実際に残るのは AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE です。赤玉2個の AB も「少なくとも1個」に入っています。元の袋の5個に戻って、各組が異なる2個からできていることも確かめます。

順番をつけて数える方法もあります。1個目は5通り、残る2個目は4通りで、全体は20通りです。白玉2個を順に取るのは3通り、次に2通りで6通りです。したがって 1 − 6/20 = 7/10 となります。同時の組は順番つきの2通りに対応するので、分母と分子がともに2倍になり、確率は変わりません。

少し難しい例題：和の条件と反対側

1から6までの数字を1つずつ書いた6枚のカードから、どの2枚の組も同じ確率で選ばれるように同時に2枚取ります。2枚の数の和が少なくとも8になる確率を、既約分数で求めてください。

和が8以上の組を直接並べる方法と、和が7以下の組を引く方法があります。ここでは余事象を使います。「8にならない」は和が9以上の組も含むので、余事象の言い換えとして不十分です。8以上でない整数は7以下、と境界をはっきりさせます。

小さい数を先に書けば、全体の組は 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 組です。和が7以下の組を小さい数ごとに並べます。

1を含む組: 12、13、14、15、16 の5組

2を含み1を含まない組: 23、24、25 の3組

3を含み1、2を含まない組: 34 の1組

4以上を小さい数とする組では、最小の 45 でも和が9なので条件に合いません。余事象は 5 + 3 + 1 = 9 組です。よって求める確率は 1 − 9/15 = 2/5 です。

答えを元のカードで確かめます。和が8以上の組は 26、35、36、45、46、56 の6組です。各組は別々のカード2枚で、和は順に8、8、9、9、10、11です。6/15 = 2/5 なので、直接数えても一致します。和がちょうど8の2組が目的側に入ることが境界の確認です。

余事象がいつも短くなるとは限りません。この例では目的側の6組を直接数えるほうが少なく済みます。条件の反対側を書き出し、両方の数えやすさを見てから選ぶとよいでしょう。

誤答を直す：色の種類を分母にしない

赤玉3個と青玉1個の袋から、どの玉も同じ確率で1個取ります。赤玉の確率を「色が2種類なので1/2」とするのは誤りです。赤と青という分類はできますが、それぞれの色になる確率が等しいとは限りません。

図3のように、赤玉を A、B、C、青玉を D と区別すると、同様に確からしい結果は4つです。赤に当たるのは A、B、C の3つなので、正しくは3/4です。青は D の1つで1/4となり、2つの色の確率を足すと1に戻ります。

誤りの原因は、結果の分類と、等しい確率で起こる結果を混同したことです。図3の色別の箱の大きさを同じと考えるのではなく、中の玉を1個ずつ数え直します。分母を4に直したら、分子も同じ玉単位の3に直す必要があります。

別の失敗は、余事象を「少なくとも1個」の反対として「1個も含めない場合」と書きながら、実際には1個含む組まで引くことです。文章と数えた組を1つずつ照合しましょう。元の条件を満たす組を引いていれば、反対側の一覧を作り直します。

また、同時に取る問題で分母を順番なし、分子を順番ありで数えると、単位がそろいません。分子の各組について逆順を別に数えていないか、分母の一覧と見比べます。どちらか一方に統一したうえで、元の袋から実現できる結果か確認します。

練習問題

次の問題では、指定された結果がそれぞれ同じ確率で起こるものとします。答えは既約分数で求めてください。まず3問を解き、後の解答と比べましょう。

1. 黄玉4個と緑玉2個の入った袋から、どの玉も同じ確率で1個取ります。緑玉を取る確率を求めてください。
2. 1から5までの数字を1つずつ書いた5枚の札から、どの2枚の組も同じ確率で選ばれるように同時に2枚取ります。和が偶数になる確率を求めてください。
3. 星印のついた札1枚と丸印のついた札4枚から、どの2枚の組も同じ確率で選ばれるように同時に2枚取ります。少なくとも1枚が星印である確率を求めてください。

練習の答えと解き方

1の答え

黄玉を A、B、C、D、緑玉を E、F とすると、全結果は A、B、C、D、E、F の6つです。緑は E、F の2つなので、確率は 2/6 = 1/3 です。元の袋には黄4個と緑2個があり、一覧の6個はその個数と一致します。黄の4結果と緑の2結果を合わせると、取り出される玉を漏れなく表せます。

2の答え

全体は 12、13、14、15、23、24、25、34、35、45 の10組です。和が偶数になるのは、奇数同士または偶数同士の組です。該当するのは 13、15、24、35 の4組なので、確率は 4/10 = 2/5 です。

逆に、奇数と偶数の組は 12、14、23、25、34、45 の6組です。2つの一覧は重ならず、合わせて元の10組に戻ります。たとえば 24 は異なる2枚で和が6なので条件を満たし、同じ札を2回使う 22 は候補に入りません。

3の答え

星を A、丸を B、C、D、E とします。全体は AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE の10組です。星が0枚の余事象は BC、BD、BE、CD、CE、DE の6組なので、求める確率は 1 − 6/10 = 2/5 です。

直接確かめると、星を含むのは AB、AC、AD、AE の4組で、4/10 = 2/5 です。星は元の札に1枚しかないため、星2枚の組はありません。星を含む4組と含まない6組を合わせると、全体の10組に戻ります。

覚えておくこと

• 同様に確からしい結果を単位にして、分母と分子を数えます。
• 「少なくとも1個」の余事象は「0個」です。
• 余事象の確率を1から引くと、元の事象の確率になります。
• 同時に選ぶ組と順番つきの結果は、分母と分子で統一します。
• 答えを元の品物に戻し、重なりと漏れを調べます。

数え方を選ぶとき

一覧が短いときは、公式に代入する前に実際の組を書く方法が有効です。数が増えたときは、最初の要素ごとに分けるなど、漏れない規則を決めてから個数をまとめます。その際も、境目の数組を書き出すと、同じ組を二度数えていないか調べられます。

答えを点検する順番

計算の後には、まず分子が分母以下かを見ます。分子のほうが大きければ、同じ結果を重複して数えたか、分母と異なる単位で数えた可能性があります。たとえば順番を考えない組 AB と BA を別々に分子へ入れていないかを調べます。

次に、余事象で引いた結果と残した結果が重ならず、両方を合わせて全体に戻るかを見ます。境界上の結果を1つ選び、元の条件に入るか言葉にしてみましょう。どちらにも入らない結果があれば条件の反対の書き方を直し、両方に入る結果があれば一覧の分類を見直します。

つまずいた行から戻る

個別指導で確かめるときは、まず最初の分母の行を見ます。色の種類を数えていたら、個々の玉に名前をつけて、各玉が同じ確率で選ばれるかに戻ります。分母が正しくても分子が違えば、条件に合う組を一覧で指してもらい、境界や重複を調べます。

余事象の式で迷った場合は、引き算の前に反対の条件を日本語で書きます。その条件を満たす具体例と満たさない具体例を1つずつ挙げ、元の事象と合わせて全体を覆うかを確かめます。確率の分数は、結果の置き方と条件の境界がそろって初めて意味を持ちます。