中3定期テスト 数学の相似な図形—小テストの対応順から証明の空欄と辺の比を埋める｜武蔵野個別指導塾

相似の証明で頂点の対応をそろえ、平行線から辺の比を作る手順を確かめます。面積比を使う例題では、全体から残りの部分を求める計算まで進みます。

よくあるのは、小テストの証明欄で対応する頂点が逆になるという場面です。角の等しさを見つけても、三角形の名前を並べる順番がずれると、その後の辺の比も違ってしまいます。範囲表の単元とページを見て、授業で扱った証明の型をワークと照合しましょう。提出条件も確かめ、小テストのどの行から対応が崩れたかを選んで解き直します。

範囲表から答案の型を選ぶ

まず、手元の範囲表を下の欄に写します。学期と単元の組み合わせは学校ごとに異なります。学期が前期と後期に分かれる学校では、学期の欄をそれに合わせて書き換えます。空欄を想像で埋めず、範囲表や授業ノートを見て記入します。

相似の範囲が入っていたら、出方を次の3つに分けて印を付けます。第1は、等しい角や辺の比から三角形の対応順と相似条件を選ぶ型です。第2は、平行線を含む図で相似を示し、対応する辺の長さを求める型です。第3は、相似比から面積比を求め、図の一部分の面積を取り出す型です。

ワークの丸が付いた問題も、答えだけでなく途中の記述を見ます。例えば三角形の名前が合っていても、角が等しい根拠を空欄にしたままなら、証明の問題で止まるかもしれません。小テストと同じ型を見つけたら、元の答案を隠して図に対応を書き直します。範囲表に含まれない型を無理に先取りせず、授業で習った条件と記述の仕方に戻りましょう。

対応順を決めてから条件を選ぶ

相似な図形は、形が同じで大きさが同じとは限らない図形です。対応する角はそれぞれ等しく、対応する辺の長さの比は一定です。三角形 ABC と三角形 DEF で A と D、B と E、C と F が対応するなら、△ABC∽△DEF と書きます。順番が対応を表すため、△ABC∽△DFE と書けば別の対応になってしまいます。

図1のように、頂点を縦にそろえると、辺 AB は辺 DE、辺 BC は辺 EF、辺 CA は辺 FD に対応します。比も AB:DE と BC:EF のように、左に ABC 側、右に DEF 側を置きます。逆向きの比を混ぜると、同じ倍率を表せません。

図1の対応は、見た目の向きだけで決めるものではありません。図形を回したり裏返したりしても、等しい角や辺の比を手掛かりに対応を決めます。書いた相似の式から、各辺の両端が同じ位置の文字に移るかを確認してください。

三角形の相似条件は、3組の辺の比がそれぞれ等しいこと、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいこと、2組の角がそれぞれ等しいことです。2組の辺の比を使うときは、その2辺にはさまれた角が等しい必要があります。条件名を先に書いて図から合う部分を探すより、わかっている等しさを並べてから条件を選ぶと誤りに気づきやすくなります。

平行線がある図では、同位角や錯角が等しいことが角を探す手掛かりです。ただし、平行という条件が示されていないとき、図が平行に見えるだけで等しい角の根拠にしてはいけません。共通の角も、どの三角形のどの角かを名前で明記します。

基本例題：空欄から辺の長さへ

三角形 ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE は BC に平行です。AD は 4 cm、DB は 2 cm、AE は 6 cm です。△ADE と△ABC の相似を証明し、AC の長さを分数または整数で求めましょう。D、E はそれぞれ辺の端点以外にあります。

まず、仮定は D が AB 上、E が AC 上にあり、DE と BC が平行ということです。示したい結論は △ADE∽△ABC です。図2のように A は共通し、D と B、E と C がそれぞれ対応するかを角で確かめます。

証明は次の順に書けます。

△ADE と△ABC において、

∠DAE = ∠BAC（共通の角）

DE と BC は平行なので、同位角は等しく、

∠ADE = ∠ABC

2組の角がそれぞれ等しいので、△ADE∽△ABC。

共通の角を A と書くだけでは、どの2つの角を比べているかが答案から読み取りにくくなります。また、平行から等しい角を書く行には、同位角という根拠を添えます。相似条件を書く前に、等しい角が2組そろったかを見直しましょう。

次に長さを求めます。AB は AD と DB を合わせた辺なので、4 + 2 = 6 cm です。相似の順から AD と AB、AE と AC が対応します。AC を x cm とすると、AD:AB = AE:AC ですから、4:6 = 6:x です。内側と外側の積が等しいので 4x = 36、x = 9 となります。答えは 9 cm です。

答えを図の条件に戻すと、AD:AB は 4:6、AE:AC は 6:9 で、どちらも 2:3 です。さらに AC は AE の 6 cm より長く、E が辺の途中にある条件にも合います。小さい三角形と大きい三角形の比を途中で逆にしていないか、最後にこの2方向から確認します。

少し難しい例題：残った部分の面積

三角形 PQR の辺 PQ 上に点 S、辺 PR 上に点 T があり、ST は QR に平行です。PS は 6 cm、SQ は 3 cm、△PQR の面積は 54 cm² です。四角形 SQRT の面積を整数または分数で求めましょう。S、T はそれぞれ辺の端点以外にあります。

共通の角 ∠SPT と ∠QPR は等しく、ST と QR が平行なので同位角 ∠PST と ∠PQR も等しくなります。したがって、2組の角がそれぞれ等しいことから △PST∽△PQR です。ここでの対応は P と P、S と Q、T と R です。

PQ = PS + SQ = 9 cm なので、小さい三角形と大きい三角形の相似比は PS:PQ = 6:9 = 2:3 です。相似な図形では対応する長さが 2:3 なら面積は 2×2:3×3、つまり 4:9 です。例えば対応する底辺の比と高さの比がともに 2:3 となり、三角形の面積を底辺と高さの積から求めるためです。

△PST の面積を y cm² とすると、y:54 = 4:9 です。9y = 216 から y = 24 です。問われた四角形は小さい三角形を大きい三角形から除いた部分ですから、54 − 24 = 30 cm² です。24 cm² は途中の三角形の面積で、求める四角形の面積ではありません。

戻してみると、24 + 30 = 54 で全体の面積に合い、24:54 = 4:9 で相似比から求めた面積比にも合います。長さの比 2:3 をそのまま面積の比にした場合は、この照合で区別できます。大きい図形全体を問うのか、切り取られた部分を問うのかを問題文で囲んでから計算しましょう。

誤答を直す：比の向きをそろえる

基本例題で、△ADE∽△ABC と正しく書いた後に、4:6 = x:6 と置く誤答を考えます。左側は小さい三角形の辺 AD と大きい三角形の辺 AB の比ですが、右側は大きい辺 AC と小さい辺 AE の比です。対応する辺を選べていても、比の向きが逆になっています。

図3のように、小さい側を左、大きい側を右にそろえて書き直します。AD:AB = AE:AC ですから、数を入れると 4:6 = 6:x です。辺の名前で式を作ってから数字を入れると、逆向きになった箇所を見つけやすくなります。

別の誤りとして、AB を 2 cm として立式する場合もあります。2 cm は DB の長さであり、AB 全体ではありません。図に求めた AB = 6 cm を書き足してから、どの線分の両端を使うかを指で追いましょう。

証明の空欄で止まったときは、長さの計算に進まず、まず等しい角の根拠を確認します。平行を使っている行に同位角や錯角が書かれていなければ、その行を補います。角は合っているのに相似の式だけ間違う場合は、等しい角の頂点を左右で同じ位置に置き直します。

練習問題

次の問題をまとめて解いてから、下の解答と比べましょう。長さと面積は整数または分数で答え、証明は根拠と結論を書いてください。図は条件を読んで自分で描きます。

1. △GHI と△JKL で、∠G = ∠L、∠H = ∠J です。対応する頂点をそろえて相似を表し、相似条件を書きましょう。
2. △MNO の辺 MN 上に U、辺 MO 上に V があり、UV は NO に平行です。MU = 3 cm、UN = 5 cm、MV = 6 cm のとき、MO を求めましょう。U、V は辺の端点以外にあります。
3. 相似な2つの三角形の対応する辺の比が小さい方から 3:5 です。大きい方の面積が 75 cm² のとき、小さい方の面積を求めましょう。
4. △XYZ の辺 XY 上に K、辺 XZ 上に L があり、KL は YZ に平行です。XK = 5 cm、XY = 15 cm、△XYZ の面積は 81 cm² です。四角形 KYZL の面積を求めましょう。K、L は辺の端点以外にあります。

解答と解き方

1. 残る頂点 I と K も対応します。よって △GHI∽△LJK です。2組の角がそれぞれ等しいことが相似条件です。順番を戻して読むと G と L、H と J が問題の等しい角と一致します。見た目で頂点を並べず、与えられた等式を先に対応表に移します。

2. 平行線の同位角と共通の角から、△MUV∽△MNO です。MN = 3 + 5 = 8 cm とし、MO を x cm とおくと 3:8 = 6:x です。3x = 48 なので x = 16、答えは 16 cm です。3:8 と 6:16 はともに 3:8 で、16 cm は MV より長いため、元の辺の位置にも合います。5 cm を MN 全体に使わないようにします。

3. 面積比は 3×3:5×5 = 9:25 です。小さい方の面積を z cm² とすると z:75 = 9:25 なので、25z = 675、z = 27 です。答えは 27 cm² です。27:75 は 9:25 に等しく、与えられた大きい方の面積に対して条件を満たします。辺の比をそのまま面積に使うと、この面積比に戻りません。

4. 共通の角と平行線の同位角から △XKL∽△XYZ です。相似比は 5:15 = 1:3、面積比は 1:9 です。小さい三角形の面積は 81 ÷ 9 = 9 cm² で、四角形の面積は 81 − 9 = 72 cm² です。9 + 72 = 81 で全体に戻り、小さい三角形と全体の面積比も 9:81 = 1:9 です。答えの 72 cm² が残りの部分を表していることも確かめます。

覚えておくこと

• 等しい角から頂点の対応を決め、相似の式を同じ順に書きます。
• 平行線による角の等しさには、同位角や錯角の根拠を添えます。
• 対応する辺の比は、2つの図形の順序をそろえます。
• 面積比は相似比の各項を2乗し、必要なら全体から部分を引きます。

解き直しで迷ったときの分岐

角が1組しか見つからないときは、図の共通部分を丁寧に見ます。共通の頂点があっても、そこに集まる辺が異なれば同じ角とは限りません。辺が同じ直線上にあるという条件を確認し、角の両側をたどってから共通の角と書きます。残りの角には平行線と横切る直線を探し、どの位置の角を比べているかを確かめます。

辺の長さが途中で求まらなくなった場合は、相似を示した順番を書き直し、その真下に対応する辺を並べます。未知の長さが全体なのか一部分なのかも図に印を付けます。答えが辺の途中の点を越えない長さになったときは、計算を繰り返す前に比の向きと辺の合計を調べましょう。

時間が足りず最後まで進めなかった答案にも、次の練習の手掛かりがあります。相似条件まで書けたなら、次はその式から対応する辺を取り出す練習をします。条件を書く前に止まったなら、等しい角とその理由を対にして書く練習に戻ります。空欄を残した場所を特定すると、解き直す問題を選びやすくなります。

提出前に答案のどこを見るか

ワークを閉じて解き直したら、元の答案と比べて、等しい角の根拠、相似の式、辺の比、答えの単位を順に点検します。提出条件に途中式や直しの指定があれば、それに合わせて記入します。答えが合わないときは、図に与えられた長さと合計した辺の長さを別々に書き、式に入れた値の場所を確かめます。

証明が書き出せない場合は、どの2つの三角形を比べるかを図で囲むところから戻ります。相似は示せても数が合わない場合は、相似の式から対応する辺を拾い、比の向きを検査します。面積で迷う場合は、長さの比と面積の比を別の行に書いて区別します。

個別指導で答案を確認するときは、空欄の正誤だけでなく、角の根拠から対応順へ移る行と、文字の辺の比から数の比へ移る行を見ます。保護者がお子さまの答案を見る場合も、正解を先に伝える代わりに、どの頂点が対応するかを指で示してもらうと、詰まった場所を共有できます。対応を言葉と式の両方で確かめれば、証明と計算がつながります。