高校生物 伝導速度の計算—二つの潜時の差から共通する遅れを除いて速さを求める｜武蔵野個別指導塾

同じ終点への距離差と潜時差から伝導速度を算出し、共通遅延を加えて元の記録を復元します。

よくあるのは、同じ記録点に向かう神経を別々の位置で刺激した資料を見て、刺激点から記録点までの距離を、それぞれの総潜時で割る場面です。記録までには、神経を興奮が進む時間以外の遅れが含まれる場合があります。2つの記録に共通する遅れをどう扱うかで、求める速さの意味が変わります。

要点（結論から）

• 距離差と潜時差は、同じ順序で対応させます。
• 共通遅延が一定なら、2つの潜時の差から消えます。
• msをsに直してから、距離差を時間差で割ります。

何を比べる資料か

出方の1つは、同じ終点までの距離と、刺激から応答までの潜時を2組示し、伝導速度を求めるものです。もう1つは、求めた速度を使って共通遅延を逆算し、資料に矛盾がないか確かめるものです。さらに、3点以上の記録や誤差を含む資料から、一定速度や共通遅延の仮定が支持されるかを考える問いもあります。

どの型でも、まず刺激点、興奮が進む区間、終点、時計の開始と終了を図に書き込みます。潜時は、刺激を与えてから決められた応答が記録されるまでの時間です。刺激時刻を0として測った値か、別の基準の時刻かも確認します。終点が筋の応答であれば、途中の伝達や筋の応答に要する時間も総潜時に含まれえます。伝導速度を問われていても、総潜時の全体が神経の伝導時間とは限りません。

差を取る前に置く条件

図1のように、同じ神経の経路上に近い刺激点Aと遠い刺激点Bを置き、どちらも同じ終点Rで応答を測ります。Bからの経路はAからの経路を含み、2点の間の区間が余分に加わります。矢印は興奮が記録点へ進む向きを表します。

図1でAからRまでの距離をx、BからRまでをy、速度をv、伝導以外の共通遅延をcとします。距離yがxより長く、対象区間を一定速度で進み、2回の測定でcが同じと仮定します。このとき潜時をそれぞれtA、tBとすると、tA = x/v + c、tB = y/v + cです。記号の横に単位も記入し、長さをm、時間をsでそろえれば速度はm/sになります。

遠い点の式から近い点の式を引くと、tB − tA = (y − x)/vです。両方に同じcがあるため差から消えます。したがってv = (y − x)/(tB − tA)です。ここで分子は刺激点どうしの経路に沿った距離、分母は対応する潜時の差です。直線距離と神経に沿った距離が異なる場合は、問題で指定された経路長を使います。

この式は共通遅延が存在しないと言っているのではありません。2回の値が同じなら差に現れない、という意味です。たとえば終点や記録方法が変わり、遅延も変化したなら、潜時差には伝導時間の差に加えて遅延の差が残ります。実際に遅延が一定かは、測定条件や追加の対照から検討する必要があります。

神経の途中を電気的に刺激した場合、興奮は刺激点から両方向に進みえます。ここで計算するのは、記録された応答に対応する経路の区間の速度です。伝導は軸索に沿った興奮の進行であり、細胞間のシナプス伝達とは区別します。神経束からの記録なら複数の線維の応答が重なりうるので、どの波のどの時点を潜時として読むかも資料の定義に従います。

基本例題：増えた距離と時間を対応させる

次の数値は計算のための自作条件で、実在する神経の測定値ではありません。同じ終点Rまで、刺激点Aからの距離は0.12 m、刺激点Bからの距離は0.32 mです。刺激から同じ種類の応答までの潜時は、Aで8.0 ms、Bで18.0 msでした。速度は経路全体で一定で、伝導以外の遅延は両条件で等しいとします。速度を有効数字2桁のm/sで求めてください。

図2のように、遠いBの経路にはAとRの間に加えてBとAの間があります。図中の時刻は刺激から測った潜時であり、異なる2回の記録です。2点を同時に刺激した図ではありません。

差を取ると、距離は0.32 − 0.12 = 0.20 m、潜時は18.0 − 8.0 = 10.0 msです。1 msは0.001 sなので、10.0 msは0.0100 sです。よって速度は(0.20 m)/(0.0100 s) = 20 m/sです。有効数字2桁を明示すると2.0 × 10¹ m/sです。

答えを元の場面に戻します。0.20 mを20 m/sで進む時間は0.010 s、すなわち10 msで、潜時差に一致します。Aからの伝導時間は0.12/20 = 0.0060 s、つまり6.0 msです。総潜時8.0 msとの差は2.0 msとなります。Bでは0.32/20 = 0.016 s、つまり16 msに2.0 msを加えると18.0 msです。両方に同じ遅延を置いて元の記録を復元できます。

Aの距離を総潜時で割ると0.12/0.0080 = 15 m/sです。これは伝導以外の2.0 msまで分母に含めた値で、条件にある伝導速度とは一致しません。Bについて同じ操作をしても異なる値になります。計算自体より、割る時間がどの区間に対応するかが問題です。

標準例題：速度と共通遅延を分ける

ある自作資料では、共通の記録点までの経路長が0.15 mの刺激で潜時9.0 ms、0.39 mの刺激で潜時21.0 msでした。伝導速度は一定、伝導以外の遅延は一定とします。速度を有効数字2桁のm/sで、共通遅延を小数第1位までのmsで求めてください。

距離差は0.24 m、潜時差は12.0 ms = 0.0120 sです。したがって速度は0.24/0.0120 = 20 m/s、すなわち2.0 × 10¹ m/sです。短い経路での伝導時間は0.15/20 = 0.0075 s = 7.5 msです。総潜時から引くと共通遅延は9.0 − 7.5 = 1.5 msです。

長い経路でも確かめます。0.39/20 = 0.0195 s = 19.5 msであり、1.5 msを加えると21.0 msです。短い経路でも7.5 + 1.5 = 9.0 msとなります。共通遅延を負の値としてしまった場合は、単位、差を取る順序、資料の読み取り、仮定を点検します。単なる計算ミスとは限らず、測定誤差やモデルの不適合も考えられます。

別解として、横軸を距離m、縦軸を潜時msに取ったグラフを考えます。2点を結ぶ直線の傾きは12.0/0.24 = 50 ms/mです。これは速度ではなく、1 m進むのに要する時間です。50 ms/mを0.050 s/mに直し、その逆数を取ると20 m/sです。縦軸との交点は1.5 msで、距離0に外挿した共通遅延に対応します。ただし2点が直線上に並ぶのは当然なので、2点だけでは全区間で速度が一定という仮定を独立に証明できません。

発展例題：3点目で仮定を吟味する

次は別の自作資料です。同じ終点への経路長が0.10 m、0.30 m、0.50 mのとき、潜時は順に7.0 ms、17.0 ms、29.0 msでした。測定値は表示値どおりとし、全区間で同じ速度かつ共通遅延が一定というモデルに適合するか答えてください。適合しない場合は、原因を1つに決められるかも説明してください。

最初の2点では距離差0.20 m、時間差10.0 msなので、区間の速度は20 m/sです。後の2点では距離差は同じ0.20 mですが、時間差は12.0 msです。速度は約16.7 m/sとなり、前の区間と一致しません。一定速度と共通遅延の両方を置いた直線モデルは、この表示値には適合しません。

同じ結論は、グラフの傾きを比べても得られます。距離が等しく増えたのに潜時の増分が異なるため、3点は一直線上にありません。最初の2点から予想される3点目は、さらに10.0 msを加えた27.0 msです。実際の29.0 msとの差が2.0 msあります。逆に後の区間の時間差を先の区間に当てると、最初の記録を再現できません。

この不一致だけでは、速度が位置によって違ったのか、刺激位置によって伝導以外の遅延が変わったのか、記録や距離の測定に誤差があったのかを一意に決められません。記録の波形に複数の成分があり、別の成分を潜時として読んだ可能性も資料だけでは残ります。単一軸索の一定の応答を測ったのか、神経束の複合的な応答を測ったのかも区別します。

追加の検討では、同じ位置の繰り返し測定で潜時のばらつきを調べ、同じ波形の基準点を読みます。記録点、刺激から時計を始める方法、温度など、結果に影響しうる条件をそろえます。距離の測り方も経路に沿って統一します。複数の位置で繰り返した値が誤差の範囲内で直線に並ぶかを調べれば、モデルを使う根拠が増えますが、共通遅延の一定性をそれだけで完全に証明することはできません。

差が小さいほど誤差の影響も考えます。2つの潜時の読み取りがそれぞれ少しずれると、差ではそのずれが逆向きに重なることがあります。距離差を大きくできれば相対的な影響を減らせる場合がありますが、長い区間が同じ速度とは限りません。区間の選択と条件の維持を両方考える必要があります。ここでの資料は考察用であり、動物実験の実施手順を示すものではありません。

誤答を区間から直す

「遠い点からの距離を遠い点の総潜時で割れば速度になる」という答えは、共通遅延が0であると別途わかっている場合を除き、根拠が足りません。図3のように、総潜時は伝導の時間と共通遅延を合わせた長さです。2つの帯の差は、余分な距離の伝導時間に対応します。

別の誤りは、距離を遠い点から近い点の順で引き、時間を近い点から遠い点の順で引くことです。符号が逆になり、負の速度が出ます。距離と潜時を同じ順序で引き、長い経路が長い潜時に対応するか確認してください。反対に、長い経路の潜時が短い資料では、正の一定速度と同じ遅延というモデルをそのまま当てはめず、条件やデータを見直します。

msをsに直さずmを割ると、数値はm/msという別の単位に対応します。数だけを答え欄へ移すのではなく、単位を式の中に残します。計算後は速度に時間差を掛け、元の距離差に戻るか確かめます。総潜時に戻すには、さらに共通遅延を加える必要があります。

練習問題

以下の数値はすべて自作の条件です。問1〜3は同じ経路の同じ終点を用い、伝導速度と伝導以外の遅延を一定とします。問4ではこのモデルが表示値に合うかを検討し、問5では明示された遅延の差を計算に入れます。計算結果の速度は有効数字2桁のm/s、遅延は小数第1位までのmsで答えてください。

1. 距離0.08 mと0.26 mに対し、潜時はそれぞれ6.0 msと15.0 msでした。速度を求めてください。
2. 距離0.10 mと0.34 mに対し、潜時はそれぞれ6.0 msと14.0 msでした。速度と共通遅延を求めてください。
3. 速度が25 m/sの経路で、2つの刺激点の距離差は0.15 mです。共通遅延は同じとします。潜時差を小数第1位までのmsで求めてください。
4. 同じ記録点に対し、距離0.20 m、0.40 m、0.60 mで潜時が順に8.0 ms、13.0 ms、19.0 msでした。表示値どおりなら一定速度と共通遅延のモデルに適合するか答え、原因を特定できるか2文程度で説明してください。
5. 2つの刺激点を比べるとき、遠い点では記録装置の設定も変え、伝導以外の遅延が近い点より3.0 ms長くなりました。距離差0.20 m、総潜時差13.0 msです。速度を求め、遅延の差を無視した場合の問題点も説明してください。

練習の答えと道筋

1. 距離差は0.18 m、潜時差は9.0 ms = 0.0090 sです。0.18/0.0090 = 20 m/sなので、答えは2.0 × 10¹ m/sです。20 m/sで0.0090 s進むと0.18 mに戻ります。短い経路の伝導時間4.0 msに共通遅延2.0 msを加えると6.0 ms、長い経路では13.0 + 2.0 = 15.0 msです。

2. 差は0.24 mと8.0 msです。0.24/0.0080 = 30 m/sより、速度は3.0 × 10¹ m/sです。短い経路の伝導時間は0.10/30 s、約3.33 msなので、共通遅延は約2.67 ms、指定に従い2.7 msです。丸める前の値を使うと、長い経路の約11.33 msに約2.67 msを加えて14.0 msに戻ります。途中で丸めた2.7 msをそのまま使うと小さな丸め差が生じます。

3. 時間差は0.15/25 = 0.0060 s = 6.0 msです。25 m/sに0.0060 sを掛けると0.15 mとなり、距離差に戻ります。共通遅延の具体的な長さは与えられていませんが、両条件で同じなら差の計算に不要です。

4. 等しい0.20 mの増分に対し、潜時の増分は5.0 msと6.0 msです。一定速度と共通遅延のモデルには適合しません。速度の変化、遅延の変化、測定誤差などが候補であり、この資料だけで原因は特定できません。最初の増分をもう一度加えると3点目は18.0 msと予想され、表示値19.0 msと異なります。

5. 総潜時差13.0 msから遅延の差3.0 msを引くと、距離差に対応する伝導時間は10.0 msです。0.20/0.0100 = 20 m/sより、答えは2.0 × 10¹ m/sです。復元すると、伝導時間差10.0 msと遅延差3.0 msの合計は13.0 msです。遅延差を無視して13.0 msで割ると約15 m/sとなり、伝導時間以外を分母に混ぜてしまいます。

要点

• 距離差と潜時差は、同じ順序で対応させます。
• 共通遅延が一定なら、2つの潜時の差から消えます。
• msをsに直してから、距離差を時間差で割ります。
• 3点以上の資料では、傾きと誤差を調べます。
• 答えを時間差や総潜時に戻して点検します。

どこで判断が止まったかを見つける

答案が合わないときは、まず本人の図に刺激点、終点、潜時の始点と終点を書き込み、距離と時間の対応を確かめます。次に共通遅延を文字で置いて2式を書き、差を取ると何が消えるかを説明してもらいます。個別指導では、単位換算の前後と、求めた速度から元の潜時差を復元する箇所を見ます。計算が合っても、遅延が変わる条件で同じ式を使うなら、仮定を変えた資料で結論を言い直します。速度の値は、対応する距離と時間の区間を定めて初めて意味を持ちます。