数検2級 等差数列と等比数列—初項と公差公比から一般項と和を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

項番号と項数の違いを整理し、有限和を求めます。公比1のときも鍵は等比数列です。

よくあるのは、受検者が途中の項から最後の項までを足すとき、最後の項の番号をそのまま項数にしてしまう場面です。第4項から第9項までなら、番号は9で終わりますが、足すのは4、5、6、7、8、9の6項です。番号と個数を区別できれば、和の公式に入れる数の意味が見えてきます。ここでは有限個の項の和を扱い、無限級数は扱いません。

初項から何を求めるか

数を順に並べたものを数列といいます。隣り合う項の差が一定なら等差数列、前の項に一定の数をかけて次の項が得られるなら等比数列です。どちらも規則を短い式で表せますが、足す規則とかける規則を取り違えると、後の項ほどずれが大きくなります。

出方の型には、初項と公差または公比から指定された項を求める型、離れた2つの項から規則を決める型、指定された範囲の項の和を求める型があります。和を求める場合は、最初から最後までの和か、途中からの和かを読み分けます。初項を含まない範囲でも、その範囲の最初の値を求めれば、そこを新たな初項と考えられます。

数列はここで学ぶ範囲として取り上げます。公式の2級の内容欄に明記された単元だと決めつけず、手元の学習範囲と合わせて練習しましょう。数字を公式に当てはめる前に、何番目の項を何個足すのかを書き出すことが出発点です。

差と比から一般項へ

初項を a、公差を d とする等差数列は、a、a + d、a + 2d、という順に進みます。第1項から第n項へ進む回数は n − 1 回なので、第n項は a + (n − 1)d です。n は1以上の整数です。第1項で n に1を入れると a に戻り、第2項では a + d になります。最初から公差を n 回足していないか、この2項で確かめられます。

初項を a、公比を r とする等比数列は、a、ar、ar²、という順です。第n項は a に r を n − 1 回かけた値です。r が負なら符号が交互に変わることがあり、r が0なら第2項以降は0です。公比は「次の項を前の項で割って求める」こともできますが、前の項が0のときは割れません。その場合は、一定の数をかけて次の項が得られるという規則に戻ります。

図1のように、第1項から第4項までの間には移動が3回あります。等差ならそのたびに d を足し、等比なら r をかけます。項の番号と操作の回数が1ずれる理由を、図の間隔で確かめてください。

和も規則から作れます。等差数列の初項から第n項までの和を S とし、最後の項を l とします。順に書いた和と逆順に書いた和を足すと、各組は a + l になり、組は n 個です。したがって 2S = n(a + l)、つまり S = n(a + l)/2 です。初項と末項の平均に項数をかける式とも読めます。

等比数列では、S = a + ar + … + ar の第n項までとします。両辺に r をかけた式を元の式から引くと、途中の項が消えて (1 − r)S = a(1 − r の n 乗) です。r が1でなければ S = a(1 − r の n 乗)/(1 − r) と求められます。r が1なら分母が0になるためこの形で割れません。各項が a なので、直接足して S = na です。式が使えないときに計算を止めるのではなく、元の並びへ戻ります。

基本例題：途中からの等差数列の和

初項が3、公差が4の等差数列について、第4項から第9項までの和を整数で求めます。

まず一般項を作ります。第1項から第n項までの移動は n − 1 回なので、次の式です。

aₙ = 3 + 4(n − 1)

aₙ = 4n − 1

第4項は n に4を入れます。

a₄ = 4 × 4 − 1 = 15

同じように第9項は次の値です。

a₉ = 4 × 9 − 1 = 35

足す項の番号を並べると、4、5、6、7、8、9です。項数は 9 − 4 + 1 = 6 です。引き算の差は端から端までの間隔の数なので、両端の項を含めるには1を足します。図2のように6個を両端から組にすると、各組の和は50です。

求める和を T とすると、初項15、末項35、項数6の等差数列の和として次のように計算できます。

T = 6 × (15 + 35)/2

T = 6 × 50/2

T = 150

答えは150です。元の並びに戻すと、対象は15、19、23、27、31、35です。直接足しても150になり、6項という数え方も確かめられます。第9項までの和から第3項までの和を引く方法でも、9 × (3 + 35)/2 − 3 × (3 + 11)/2 = 171 − 21 = 150 です。第4項を残すために引くのは第3項までである点を確認します。

第4項から第9項までを、初項15、公差4の新しい等差数列と見てもかまいません。ただし新しい第6項が元の第9項であることを忘れずに、末項が 15 + 5 × 4 = 35 になると確かめます。和の式に元の番号9を項数として入れると、指定されていない項まで足した値になります。

範囲が1項だけの場合も同じ考え方です。たとえば第4項から第4項までは、4 − 4 + 1 = 1 項で、和はその項自身です。番号の差だけを使うと0項になってしまいます。逆に、初項から第9項までなら 9 − 1 + 1 = 9 項となり、普段の数え方と一致します。式を覚えるときは両端を含むという条件も一緒に覚えましょう。

途中からの和を差で求めるときにも端の確認が必要です。第9項までの和から第4項までの和を引くと、第4項も消えて第5項から始まります。引く側の最後の項が、残したい最初の項の1つ前かどうかを見れば、このずれを防げます。両端を使う方法と差を使う方法は、同じ6項を足していることが確認できたときに同じ答えになります。

条件から公比を決める

初項が2の等比数列で、第3項が8です。公比は実数とします。第1項から第4項までの和を、ありうる場合ごとに整数で求めます。

第3項に至るまで公比を2回かけるので、2r² = 8 です。両辺を2で割ると r² = 4 となり、r = 2 または r = -2 です。平方が4になる実数は正負の2つあるため、正の公比だけに決めてはいけません。

r = 2 の場合、並びは2、4、8、16です。和は 2 + 4 + 8 + 16 = 30 です。r = -2 の場合、並びは2、-4、8、-16です。和は 2 − 4 + 8 − 16 = -10 です。どちらも第3項が8で、隣の項へ進むたびにそれぞれ同じ公比をかけています。答えは公比2のとき30、公比-2のとき-10です。

この問題では4項を書き出すと符号と条件を同時に点検できるため、直接足す方法を選びました。項数が多いときは有限和の式が便利です。ただし、公比が1かどうかを割る前に確認します。たとえば初項が2で第3項も2なら r² = 1 です。r = 1 と r = -1 の両方を調べ、r = 1 には分母が0になる式を使わず、同じ値が並ぶことから和を求めます。

また、求まった公比の候補は元の条件に戻して点検します。第3項の条件だけでは符号を選べない一方、別に第2項が正という条件があれば、初項2に公比をかけた値の符号から候補を絞れます。条件を途中で付け足さず、問題に書かれた条件で判断することが大切です。

項数を間違えた答えを直す

基本例題で「第9項までだから9項」として、9 × (15 + 35)/2 = 225 とする誤答を考えます。15と35は指定範囲の両端ですが、その間にあるのは6項です。両端を使う和の式に、別の範囲の項数9を混ぜたことが誤りです。

図3のように、番号4から9を数え直し、9 − 4 + 1 = 6 として置き換えます。初項から第9項までなら9項ですが、その場合の初項は15ではなく3です。どの範囲の初項、末項、項数なのかをそろえれば、式の各部分が同じ並びを指します。

もう一つの誤りは、公比1の等比数列に和の式をそのまま代入して0で割ることです。0による割り算は定義されません。公比1では項が変化しないため、1項の値に項数をかけて求めます。式を使えない場合にも答えが存在することを、具体的な並びで確認しましょう。

公差が0の等差数列も同じ値が並びますが、等差数列の和の式には公差による割り算がありません。公比1の注意を、公差0では公式が使えないという誤解につなげないようにします。また、負の公比の場合は和が負になることもあります。和の符号を見た目で決めず、各項の符号を追います。

練習問題

まず問題をまとめて解き、解答では範囲や条件に戻して確認してください。各答えは整数で示します。

1. 初項7、公差3の等差数列の第12項と、初項から第12項までの和を求めます。
2. 初項5、公比-2の等比数列の第5項と、初項から第5項までの和を求めます。
3. 第3項が11、第7項が27の等差数列について、第5項から第8項までの和を求めます。
4. 初項6、第4項6の等比数列で、公比は実数です。公比と初項から第10項までの和を求めます。

練習問題の答えと確かめ方

1. 第12項と和

第12項までの移動は11回です。したがって第12項は 7 + 11 × 3 = 40 です。初項から第12項までは12項なので、和は 12 × (7 + 40)/2 = 282 です。

初項7から3ずつ増える並びの第2項は10です。第12項40から1つ戻ると37で、初項から11回の増加と一致します。両端の平均は47/2であり、12項分にすると282です。12回ではなく11回足したことを、番号と対応させて確かめます。

2. 負の公比の符号

第5項は 5 × (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 80 です。並びは5、-10、20、-40、80なので、和は 5 − 10 + 20 − 40 + 80 = 55 です。

各項に-2をかけると次の項が得られ、5項目も80に戻ります。有限和の式でも、5 × (1 − 16)/(1 − (-2)) = -75/3 = -25 としたくなるかもしれませんが、これは指数を4にした誤りです。5項の和では5乗を使い、5 × (1 − (-32))/3 = 55 です。一般項の指数と和の式の指数はそれぞれ意味を持つので、混同したら並びへ戻ります。

3. 離れた項から公差を求める

第3項から第7項までは4回進むので、4d = 27 − 11 = 16 です。よって公差 d = 4 です。第5項は第3項から2回進み 11 + 2 × 4 = 19、第8項は第7項から1回進み 27 + 4 = 31 です。

第5項から第8項までは 8 − 5 + 1 = 4 項です。求める和は 4 × (19 + 31)/2 = 100 です。対象を並べると19、23、27、31で、直接足しても100です。第3項から4回進むと27になり、与えられた2つの値とも一致します。番号の差を項数として使うのは、ここでは移動回数を数える段階です。

4. 公比1を別に扱う

第4項は初項に公比を3回かけた値なので、6r³ = 6 です。6で割ると r³ = 1 です。実数では r = 1 です。r が1より大きいと3乗も1より大きく、1より小さいと3乗も1より小さいため、ほかの実数はありません。

公比1では各項が6です。10項の和は 6 × 10 = 60 です。並びの第4項が6に戻り、10個の6を足した値も60です。一般の有限和の式に r = 1 を代入すると分母が0になるため、割る前の並びから計算します。

覚えておくこと

• 第n項までの操作は n − 1 回です。
• 第p項から第q項までの項数は q − p + 1 です。
• 等差の和は項数と両端の平均から求めます。
• 等比の和は公比1を分け、1なら同じ項を直接足します。
• 求めた値は元の項と指定範囲に戻して確かめます。

つまずきを見分けるには

一般項の最初の式が違う場合は、公式の暗記をやり直す前に、第1項から第2項、第3項へ進む操作を声に出して確認します。第1項に公差を1回足しているなら、番号と移動回数の区別に戻ります。和だけが合わない場合は、使った初項・末項・項数を問題文の範囲に線で対応させます。

個別指導では、たとえば途中からの和で「なぜ1を足すのか」を、番号を並べて説明できるかを確かめます。公比の候補を正負に分けられるか、1のときに割り算を避けて並びへ戻れるかも見ます。お子さまが式を正しく書けても、どの項を足しているか説明しにくければ、具体的な項を数えるところからやり直せます。数列の式は、並んだ項とその間の操作を正確に表すための道具です。