数検2級 和の記号と階差数列—添字の範囲を確かめて一般項と和を求める｜武蔵野個別指導塾

初項を加える理由と部分和から第1項を戻す手順を具体例でたどり、添字の端を見極める鍵は階差数列です。

よくあるのは、受検者が階差の和を計算したところで、元の数列の初項を足し忘れるという場面です。変化の合計は出ていますが、それは出発点からどれだけ増減したかを表します。出発点の値とは別の量です。たとえば最初の値が0でないとき、変化の合計だけを答えにすると、どの項も初項の分だけずれます。項と項の間を指でたどり、どこから足すかを確かめてみましょう。

項と和のどちらを求めるか

数列の問題では、隣り合う項の差を使って一般項を求める型があります。初項と各段階の変化がわかれば、初項に変化を順に加えて目的の項へ進めます。差が負の場合は、負の数を加えるので元の項は小さくなります。

別の型は、Σで表された和を計算する問題です。記号の上下に相当する始まりと終わりを読み、何を何回足すかを決めます。もう一つ、初項から第n項までの和が与えられ、第n項を求める型もあります。こちらは隣り合う和を引くと最後の項が残りますが、第1項には前の和をそのまま使えません。添字の範囲を確かめることが、どの型にも共通する入口です。

ここで扱う数列は、依頼された学習範囲の内容です。数検2級の現行の内容欄に数列が明記されていると断定するものではありません。以下の問題は考え方を確かめるための自作です。

Σと階差が表すもの

Σは、決められた範囲の式を足す記号です。本文では読みやすさのため、Σ(k=1からn) f(k) と書きます。これはkを1からnまで1ずつ動かして、f(1)、f(2)、…、f(n)を足す意味です。kは和の中で順に値をとる文字で、別の文字に替えても、範囲と式を対応させれば和は変わりません。

たとえばΣ(k=1から4) (2k+1)は、3+5+7+9で24です。上端が4なので4項あります。これに対してΣ(k=2から4) (2k+1)は5+7+9で、項数は3です。始まりが1でないときは、終わりの数をそのまま項数にしません。整数を1ずつ並べる範囲の項数は、終わり-始まり+1で数えます。

数列の第n項をaₙとし、隣り合う項の差をbₙ = aₙ₊₁-aₙとおきます。bₙを階差と呼び、差を順に並べた数列を階差数列と呼びます。b₁は第1項から第2項への変化、b₂は第2項から第3項への変化です。第n項まで進むには、b₁からbₙ₋₁までのn-1個を使います。

図1のように、3つの項の間には2つの差があります。矢印の数を項数と区別すれば、上端がn-1になる理由を追えます。

図1の各矢印をたどると、a₂ = a₁+b₁、a₃ = a₁+b₁+b₂です。一般にnが2以上なら、aₙ = a₁+Σ(k=1からn-1) bₖです。nが1のときは変化を加える前なのでa₁そのものです。空の和を0と約束すれば同じ形にもできますが、まず初項を別に点検する方が安全です。

計算に使う基本公式は、nを正の整数としてΣ(k=1からn) 1 = n、Σ(k=1からn) k = n(n+1)/2、Σ(k=1からn) k² = n(n+1)(2n+1)/6です。定数倍は各項にかかるので和の外に出せ、和や差はそれぞれに分けられます。上端がn-1なら、公式のnにn-1を入れます。式の一部分にだけ代入しないよう、上端をNと置いてからN = n-1を戻す方法も有効です。

Σの範囲を変えるときは、式の中の添字も同じ動きに合わせます。途中の項から始まる和を公式で計算するなら、初めから終わりまでの和から、その直前までの和を引けます。たとえば第3項から第5項までなら、第1項から第5項までの和から第1項と第2項の和を引きます。引き算の後に残る項を一度書けば、余分な項が混ざっていないか確かめられます。

階差は元の数列の値そのものではなく、隣り合う2項の引き算です。元の項が正でも差は負になり得ますし、差が0ならその区間では隣の2項が等しくなります。増えるか減るかを言葉で確かめると、負号の付け間違いに気づきやすくなります。

基本例題：初項から変化を積み重ねる

問題。数列の初項がa₁ = 4、階差がbₖ = aₖ₊₁-aₖ = 2k+1です。nを正の整数として、一般項aₙをnの式で求めてください。また第4項を整数で求め、与えられた差に戻して確かめてください。

まず差を具体的に出します。b₁ = 2×1+1 = 3、b₂ = 2×2+1 = 5、b₃ = 2×3+1 = 7です。初項4から順に加えると、a₂ = 4+3 = 7、a₃ = 7+5 = 12、a₄ = 12+7 = 19です。図2のように、4から19に至る3回の変化と初項を分けて見ます。

次に一般のnを考えます。nが2以上のとき、第1項から第n項までの変化はn-1個です。

1. aₙ = 4+Σ(k=1からn-1) (2k+1) と書きます。
2. 和を分けて、aₙ = 4+2Σ(k=1からn-1) k+Σ(k=1からn-1) 1 とします。
3. 整数の和はΣ(k=1からn-1) k = (n-1)n/2です。
4. 1の和は、項がn-1個なのでΣ(k=1からn-1) 1 = n-1です。
5. よってaₙ = 4+2×(n-1)n/2+(n-1)です。
6. 整理するとaₙ = 4+n(n-1)+(n-1) = n²+3です。

この式にn = 1を代入すると4で、指定された初項にも一致します。したがって正の整数nについてaₙ = n²+3と表せます。n = 4なら16+3 = 19で、順に進めた結果とも一致します。

さらに、得られた式から差を戻します。aₖ₊₁-aₖ = {(k+1)²+3}-(k²+3) = 2k+1となり、与えられた階差と一致します。初項の確認と差の確認を両方行うと、出発点と各段階の変化が問題の条件に合っていると確かめられます。差だけを確認すると、定数を足し忘れた式も通ってしまうので注意します。

部分和から項へ戻す分かれ目

問題。数列の初項から第n項までの和をSₙとします。正の整数nに対してSₙ = 2n²+3nのとき、一般項aₙをnの式で求めてください。得られた項を初項から足し直し、和が与えられた式に戻ることも確かめてください。

ここでの分かれ目はn = 1です。nが2以上なら、Sₙにはa₁からaₙまで、Sₙ₋₁にはa₁からaₙ₋₁までが入っています。前者から後者を引くとaₙだけが残ります。ところが第1項ではS₀がもとの条件に与えられていないため、まずa₁ = S₁として直接求めます。

a₁ = S₁ = 2×1²+3×1 = 5です。nが2以上では、次のように計算します。

Sₙ₋₁ = 2(n-1)²+3(n-1)

= 2n²-4n+2+3n-3 = 2n²-n-1

aₙ = Sₙ-Sₙ₋₁

= 2n²+3n-(2n²-n-1) = 4n+1

n = 1をこの式へ入れると5です。別に求めた初項と一致するので、答えは正の整数nについてaₙ = 4n+1です。一致しなければ、nが2以上の式と初項を分けて答えます。式がたまたま初項にも合うかどうかを、計算してから判断します。

答えを元の和に戻しましょう。Σ(k=1からn) (4k+1) = 4×n(n+1)/2+n = 2n²+3nです。これは問題のSₙに一致します。たとえば第1項と第2項は5と9で、その和14もS₂ = 2×4+3×2 = 14に一致します。和の式を引く向きや、かっこの前の負号に誤りがないかを、具体的な項でも点検できます。

初項を落とした答えを直す

基本例題の条件で、誤ってaₙ = Σ(k=1からn-1) (2k+1) = n²-1とする解答を考えます。和の計算自体は合っていますが、この式が表すのは初項からの変化の合計です。初項4を含む第n項ではありません。n = 1を入れると0になり、条件のa₁ = 4に合わないことからも誤りが見つかります。

図3のように、変化の合計に出発点を加えて修正します。第4項なら階差の合計は3+5+7 = 15で、これに4を加えて19です。15と19の差が初項4に当たります。

別の誤りとして、Σの上端をnにしてしまう場合があります。その和には第n項から第n+1項への差まで含まれます。例えば第4項に向かうときにb₄まで足せば、第5項へ進んでしまいます。求める項の直前で矢印を止め、差の最後の番号を確認してください。

部分和の問題では、Sₙ-Sₙ₋₁の代わりにSₙ₊₁-Sₙとすると第n+1項が出ます。また、引く式のかっこを外す際に一部の符号だけを変えると、差が崩れます。項を並べて消える部分を示し、引く側全体に負号を配ると修正できます。公式の名前を思い出せないときも、S₃ = a₁+a₂+a₃とS₂ = a₁+a₂を書けば、差がa₃になる理由に戻れます。

練習問題

次の問題は、まず4問とも自分で式を立ててから、後の解答を見てください。各問題のnとkは正の整数です。答えは指定された形で表します。

1. Σ(k=2から5) (3k-1) の値を整数で求めてください。項を並べ、項数も示してください。
2. 初項a₁ = -2、階差aₖ₊₁-aₖ = 4kの数列について、一般項aₙをnの式で求めてください。第3項も整数で求め、条件に戻して確かめてください。
3. 初項から第n項までの和がSₙ = n²+2である数列について、一般項を初項とnが2以上の場合に分けて求めてください。第2項までの和を確かめてください。
4. 初項a₁ = 10、階差aₖ₊₁-aₖ = 5-2kの数列について、一般項aₙをnの式で求めてください。第5項を整数で求め、初項から各差を加えて確かめてください。

練習問題の答えと確かめ

1. 答えは38、項数は4です。k = 2、3、4、5を順に代入し、5+8+11+14 = 38となります。項数は5-2+1 = 4です。別の確かめ方として、両端から組むと5+14 = 19、8+11 = 19で、19が2組です。始まりの項を落としたり、k = 1の項を加えたりしていないことを、列に戻して確認します。

2. nが2以上のとき、aₙ = -2+Σ(k=1からn-1) 4k = -2+4×(n-1)n/2 = 2n(n-1)-2です。n = 1を代入すると-2なので、この式は初項にも合います。答えはaₙ = 2n(n-1)-2、第3項は10です。実際、階差は最初から4、8なので、-2+4+8 = 10です。また一般項の隣同士の差をとると4kとなり、問題の規則に戻ります。

3. a₁ = S₁ = 1+2 = 3です。nが2以上なら、aₙ = Sₙ-Sₙ₋₁ = (n²+2)-{(n-1)²+2} = 2n-1です。この式に1を入れると1で、初項3には合いません。したがって答えはa₁ = 3、nが2以上でaₙ = 2n-1です。第2項は3なので初項からの和は6となり、S₂ = 2²+2 = 6に一致します。定数2が隣り合う和の差では消える一方、初項には残ることが分かれ目です。

4. nが2以上なら、aₙ = 10+Σ(k=1からn-1) (5-2k)です。1の和とkの和に分けると、aₙ = 10+5(n-1)-n(n-1) = -n²+6n+5です。n = 1でも10となるため、正の整数nについてこの式が使えます。第5項は-25+30+5 = 10です。差は順に3、1、-1、-3なので、初項から10+3+1-1-3 = 10となり、与えられた変化に戻ります。途中で差が負になることを、減少としてそのまま反映します。

覚えておくこと

• Σは始まりと終わりを見て、項数と各項を決めます。
• 第n項へ進む階差は第1差から第n-1差までです。
• 元の項は初項に階差の和を加えて求めます。
• 和から項を出すときは第1項を別に調べます。
• 結果を初項と差、または元の和に戻して確かめます。

どこで止まったかを見分ける

個別指導で確認するときは、まず第4項までを書いてもらい、項と項の間に差を記入できるかを見ます。差は書けるのに答えが一定だけずれるなら、初項を足した行に戻ります。第5項の差まで使っているなら、最後の矢印がどの項に到着するかを一緒に追います。

部分和から項を出す場面では、S₃とS₂を項の和として展開し、どの項が残るかを説明できるか確かめます。その後で第1項を直接求め、一般式への代入結果と比べます。保護者がお子さまの途中式を見るときも、答えの数値だけでなく、出発点と最後に足した差に印を付けると、戻る場所を見つけやすくなります。出発点と変化の区別が、階差数列の式を支えます。