数検3級 二次方程式の面積問題—道幅と残る面積から立式して長さを確かめる練習｜武蔵野個別指導塾

周囲の道と十字の道を題材に、辺から幅を引く回数と解の範囲をたどり、図へ戻して確かめる道幅の面積問題を扱います。

よくあるのは、長方形の土地の内側に同じ幅の道を作り、残った部分の面積から道幅を求める場面です。左右の道を横切る辺から、道幅を片側の分しか引かずに式を作ると、計算が正しくても別の図形の面積を求めてしまいます。辺をたどって、道を何回横切るかを数えるところから始めましょう。

残る場所に注目する3つの型

道幅を求める問題では、まず長方形全体の縦と横を見ます。その後、道がどこにあり、求める面積が道なのか、道以外なのかを区別します。数を式に入れる前に、問題文の条件を短い言葉で図に書き込むと、何を掛け合わせるのかを見失いにくくなります。

1つ目は、長方形の内側の周囲に同じ幅の道があり、中央に長方形が残る型です。横の両端と縦の両端にそれぞれ道があります。幅を x とすると、残る長方形の横も縦も、元の辺から x を2回引きます。

2つ目は、縦と横に1本ずつ道が通り、十字に交わる型です。道以外の部分は4つに分かれますが、縦の道を横方向へ、横の道を縦方向へそれぞれ端に寄せて考えると、残る部分の面積を1つの長方形の積で表せます。寄せても各部分の大きさは変わりません。

3つ目は、道の面積が与えられる型です。全体から道の面積を引けば残る面積が出ます。反対に、残る面積から道の面積を求めることもできます。どちらを等号の右側に置くか決めてから式を作ると、道と残りを取り違えにくくなります。

辺をたどり、幅を数える

道幅を x m と置きます。文字を置いたら、x が何を表すかと単位を必ず書きます。面積を x と置いたのか幅を x と置いたのかが曖昧なままでは、解いた数をどの量の答えにするか判断できません。

図1のように、横が a m、縦が b m の土地の内側の周囲に道があるとします。中央の横の辺を左から右へたどると、左の道と右の道を通ります。残る横は a − x − x、つまり a − 2x m です。縦も上下の道を通るので b − 2x m です。

図1の中央に残る面積は (a − 2x)(b − 2x) m² です。2x を引くのは道幅が2倍だからではなく、同じ幅の道を両側で1回ずつ通るからです。横の両端だけに道がある条件なら、縦からは幅を引きません。図の配置を見ずに常に2xを使う方法ではありません。

中央の長方形が実際に残るためには、x は正で、a − 2x と b − 2x も正です。したがって x は a の半分と b の半分の両方より小さくなります。この上限は、方程式を解いた後に使います。数式として成り立つ値でも、辺の長さが0以下ならその図には使えません。

十字の道では、道の交わりを2回数える失敗にも注意します。縦の帯と横の帯の面積を足すと、交わる正方形が重なって入ります。道の面積を帯から直接出すなら、この重なりを1回引きます。残りの面積から式を作る方法なら、4つの部分を寄せて考え、引く回数を確認します。

周囲の道を残った長方形から解く

【例題1】横 14 m、縦 10 m の長方形の土地があります。内側の周囲に同じ幅の道を作ったところ、中央に残る長方形の面積は 60 m² でした。道幅を整数で、単位を付けて求めます。中央の長方形の縦と横はともに正とします。

図2のように左右と上下の道をそれぞれ通ります。道幅を x m と置くと、中央の横は 14 − 2x m、縦は 10 − 2x m です。幅は正で、短い縦の辺が残る必要があるので、0 < x < 5 です。

図2に書いた2つの辺を掛けて、与えられた面積と等しくします。各行で何をしたかを追います。

(14 − 2x)(10 − 2x) = 60

140 − 28x − 20x + 4x² = 60

4x² − 48x + 80 = 0

x² − 12x + 20 = 0

(x − 2)(x − 10) = 0

x = 2 または x = 10

最初の行は残る長方形の横と縦の積です。次の行では括弧の各項を掛け、同じ文字の項をまとめています。右辺を0にして4で割ると、因数分解しやすい式になります。積が0なら少なくとも一方の因数が0なので、2つの数が候補です。

ここで x = 10 を採用すると、縦は 10 − 2 × 10 = -10 m となり、長方形の辺として使えません。0 < x < 5 を満たすのは x = 2 です。答えは 2 m です。

答えを土地に戻します。横は 14 − 2 × 2 = 10 m、縦は 10 − 2 × 2 = 6 m なので、面積は 10 × 6 = 60 m² です。2つの辺が正で、問題の面積にも戻りました。解を方程式に入れるだけでなく、元の図の辺を計算して確認することが大切です。

十字の道では重なりを1回引く

【例題2】横 18 m、縦 12 m の長方形の土地の中に、辺に平行な縦の道と横の道を1本ずつ端から端まで作ります。どちらも幅は同じで、道以外の面積は 160 m² です。道幅を整数で、単位を付けて求めます。道の両側に土地が残るものとします。

道幅を x m とすると、縦の道を除いた横方向の長さの合計は 18 − x m です。横の道を除いた縦方向の長さの合計は 12 − x m です。4つの残りの長方形を隙間なく寄せると、その積が道以外の面積になります。道はそれぞれ1本なので、ここでは各方向から x を1回引きます。

(18 − x)(12 − x) = 160

216 − 30x + x² = 160

x² − 30x + 56 = 0

(x − 2)(x − 28) = 0

x = 2 または x = 28

道の両側に土地が残るには、幅は正で縦の辺 12 m より小さくなります。28 m はこの条件に合いません。答えは 2 m です。残りを寄せた長方形の辺は 16 m と 10 m で、面積は 160 m² に戻ります。

別の確かめ方もあります。全体は 18 × 12 = 216 m²、道の面積は 216 − 160 = 56 m² です。幅 2 m の縦の道は 12 × 2 = 24 m²、横の道は 18 × 2 = 36 m² です。重なりの 2 × 2 = 4 m² を1回引くと 24 + 36 − 4 = 56 m² になります。

計算の分かれ目は、道を直接数えるか、道以外を寄せるかです。前者は重なりを引く必要があります。後者は残る辺の合計を作るため、道が各方向に何本あるかを取り違えないことが必要です。どちらも面積を同じ条件に戻せるかで確かめます。

片側しか引かなかった式を直す

例題1で、中央の辺を 14 − x と 10 − x として (14 − x)(10 − x) = 60 と書いたとします。式を解くと x = 4 または x = 20 です。しかし、この式は横と縦からそれぞれ道を1本分しか引いていません。周囲の道の図では左右と上下の両方に道があります。

図3のように、横の辺を左端から右端まで指で追います。左の幅 x、中央、右の幅 x を順に通ります。中央だけの長さを出すには2つの幅を引くので、14 − 2x が正しい表し方です。縦も同様に 10 − 2x と直します。

図3で間違いを見つけたら、答えの候補 4 m を元の土地に戻してみます。上下左右から 4 m ずつ引くと、中央は横 6 m、縦 2 m です。面積は 12 m² で、指定の 60 m² にはなりません。方程式の解として正しい値でも、最初の式が図に合っていなければ問題の答えにはならないとわかります。

もう1つの失敗は、両側を引く式は正しく作っても、解を2つとも幅として答えることです。面積の式では、2つの辺がともに負になっても積は正になります。そのため、面積の等式だけでは図の長さとして使えるとは限りません。正の幅と残る辺の上限を、計算前に書いてから候補を選びます。

式を作る前に条件を並べる

面積の問題で急いで数字を掛けると、どの長方形を表した式なのかが途中で見えなくなります。最初に「全体」「道」「残り」の3つを書き、それぞれが何を指すかを図と対応させます。全体の面積から道を除いたものが残りです。たとえば道の面積が与えられているとき、その値をそのまま中央の2辺の積と等しくしてはいけません。まず全体との差を求め、残りの面積に直します。

幅の上限は、図の種類で決まります。周囲の道では向かい合う2本の道が短い辺の中に入るため、幅の2倍が短い辺より小さくなければなりません。十字の道では短い辺の方向に横切る道は1本なので、幅がその辺より小さいことが必要です。道の両側に残る部分があるという条件も確認します。上限と等しい場合は残る長さが0になり、面積が正の土地を作れません。

式を解いた後の確認には、順序があります。まず候補の幅が正で、図の中に入るかを見ます。次に図の条件に沿って残る辺を計算し、最後に面積を掛け直します。道の面積を尋ねられたときは、掛け直した残りを全体から引き、求める量まで戻します。この順序なら、計算の途中で求めた幅と、最終的に聞かれた面積や辺を混同しにくくなります。

十字の道を寄せる説明が難しい場合は、残る横方向の長さを左と右に分け、縦方向の長さを上と下に分けてみましょう。4つの長方形の面積を足すと、横の長さの合計と縦の長さの合計の積になります。道の位置が中央からずれていても、道が端から端まで続き、幅が一定なら、この合計は変わりません。図でどの部分を移したかを確かめると、積の意味が明確になります。

自分で確かめる問題

次の4問は、いずれも道の幅が一定です。答えは整数で、単位を付けて書きます。問題ごとに道の位置を簡単な図に写し、幅を引く回数と、残る辺が正になる範囲を書いてから解きます。

1. 横 16 m、縦 12 m の長方形の花壇の内側の周囲に道を作ると、中央に 96 m² の長方形が残りました。道幅は何 m ですか。中央の縦と横は正とします。

2. 横 20 m、縦 14 m の長方形の土地の内側の周囲に道を作ります。道の面積が 120 m² のとき、道幅は何 m ですか。中央の縦と横は正とします。

3. 横 15 m、縦 11 m の長方形の広場を端から端まで、辺に平行な縦の道と横の道が1本ずつ通ります。道以外の面積が 140 m² のとき、道幅は何 m ですか。道の両側には土地が残ります。

4. 横 13 m、縦 9 m の長方形の畑を端から端まで、辺に平行な縦の道と横の道が1本ずつ通ります。道の面積が 40 m² のとき、道幅は何 m ですか。道の両側には土地が残ります。

答えと解き方

1. 道幅を x m とすると、(16 − 2x)(12 − 2x) = 96 です。整理すると x² − 14x + 24 = 0、因数分解すると (x − 2)(x − 12) = 0 です。0 < x < 6 なので答えは 2 m です。中央は 12 m と 8 m で、12 × 8 = 96 m² と条件に戻ります。12 m を選ぶと縦が負になり使えません。

2. 全体は 20 × 14 = 280 m² です。中央の面積は 280 − 120 = 160 m² なので、(20 − 2x)(14 − 2x) = 160 とします。整理して x² − 17x + 30 = 0、(x − 2)(x − 15) = 0 です。0 < x < 7 から答えは 2 m です。中央は 16 m と 10 m で 160 m²、道は 280 − 160 = 120 m² です。

3. 残りを寄せると (15 − x)(11 − x) = 140 です。整理して x² − 26x + 25 = 0、(x − 1)(x − 25) = 0 です。0 < x < 11 なので答えは 1 m です。残りの辺の合計は 14 m と 10 m で、14 × 10 = 140 m² と条件に戻ります。25 m は辺の長さを超えるため使えません。

4. 全体は 13 × 9 = 117 m²、道以外は 117 − 40 = 77 m² です。(13 − x)(9 − x) = 77 から x² − 22x + 40 = 0、(x − 2)(x − 20) = 0 です。0 < x < 9 なので答えは 2 m です。残りは 11 × 7 = 77 m²、道は 117 − 77 = 40 m² と確かめられます。

覚えておくこと

• 道幅に文字を置き、単位と図の位置を記す。
• 残る辺から、実際に通る道の幅を引く。
• 面積の積を条件に等しくして方程式を解く。
• 幅と残る辺が正になる範囲で解を選ぶ。
• 答えを元の図に戻し、与えられた面積を確かめる。

どこで迷っているかを見分ける

式を作れないときは、まず横の辺を指でたどり、どの部分が道でどの部分が残る土地かを言葉にします。左右に道があるのに1回しか引いていなければ、もう片方の幅を図に書き足します。計算が合っているのに答えが合わないときは、道の面積と残る面積を等号のどちらに置いたかを見直します。

個別指導では、お子さまが書いた式について、それぞれの括弧が図のどの辺を表すかを確かめます。解が2つ出たときは、数の大小だけで選ばず、残る縦と横を実際に計算してもらいます。図に戻して辺の正しさと面積の両方が合えば、道幅の答えを説明できます。