高校物理 電流がつくる磁場—右ねじの向きと重ね合わせから磁場と力を求める｜武蔵野個別指導塾

右ねじで直線電流の磁場を決め、平行導線の間に働く力までたどる電流と磁場の道筋です。

よくあるのは、電流がつくる磁場と導線が受ける力を同じ向きに描いてしまう場面です。磁場をつくる導線と力を受ける導線を分け、後者の位置で磁場を調べると、2種類の矢印を整理できます。磁場の向きは電流の周りを巡り、力の向きは受ける導線の電流と、その場所の磁場の両方で決まります。

答案では、どの導線が磁場をつくり、どの導線に力が働くのかを記してから式を立てましょう。ここでは直線電流、円形電流、ソレノイドと電流が受ける力を扱い、荷電粒子の軌道には立ち入りません。

問題の形を見分ける

1つ目は、導線の周囲の指定点について、磁場の向きと大きさを求める問題です。右ねじの向きを決めてから距離を式に入れます。複数の電流があるときは、それぞれが指定点につくる磁場を別々に描き、向きを含めて足します。

2つ目は、円形導線の中心や十分長いソレノイドの内部で磁場を求める問題です。直線導線の距離を使う式と、円の半径や単位長さあたりの巻数を使う式は別です。どの場所について成り立つ式かを図に書き添えましょう。

3つ目は、磁場中の導線が受ける力を問う問題です。磁場を先に求め、次に力の向きと大きさを決めます。平行な2本の導線では、片方の導線が他方の位置につくる磁場を使います。自分自身がつくる磁場を、同じ導線が受ける力の計算に加えないことも区別の要点です。

右ねじと磁場の重ね合わせ

十分長い直線導線に電流 I が流れるとき、導線から垂直距離 r の点の磁束密度の大きさ B は、媒質の透磁率を μ として B = μI/(2πr) です。磁束密度は磁場の強さを表す量の1つで、単位は T です。以下では磁束密度を磁場と呼び、電流を A、距離を m で扱います。式は十分長い直線導線と一様な媒質を仮定します。

図1のように、右ねじが電流の向きに進むときの回転方向が、導線を囲む磁場の向きです。紙面の手前向きを点、奥向きを十字で示します。これらは矢の先端と羽根を正面から見た記号です。

図1では電流が上向きなので、導線の右側の磁場は紙面の奥向き、左側は手前向きです。左右で向きが逆になるため、2本の電流を足す際は、指定点が各導線のどちら側かをそれぞれ確認します。磁場が同じ向きなら大きさを足し、反対向きなら大きさを引いて、残る向きを記します。

半径 R の円形導線に電流 I が流れるとき、円の中心の磁場は B = μI/(2R) です。N 回の同じ円形巻線なら中心で各回の磁場が同方向に重なり、B = μNI/(2R) となります。円を正面から見て電流が反時計回りなら中心の磁場は手前向きです。時計回りなら奥向きです。これは円周上の電流の向きに右手の指を曲げたとき、親指が示す向きでも確かめられます。

十分長く密に巻かれたソレノイドでは、単位長さあたりの巻数を n とすると、内部の端から離れた場所で B = μnI と近似できます。全巻数を N、長さを L とすれば n = N/L です。指を巻線の電流の向きに曲げたときの親指が内部の磁場の向きです。端付近や外部の磁場にこの内部の式をそのまま適用しないようにします。

一様な磁場 B の中で、長さ l の直線部分に電流 I が流れるとき、電流の向きと磁場のなす角を θ とすれば、受ける力の大きさは F = BIl sinθ です。垂直なら sinθ = 1、平行なら sinθ = 0 です。向きは左手の人さし指を磁場、中指を電流、親指を力に対応させて決められます。磁場と力は異なる量なので、それぞれの矢印に B と F を付けます。

基本例題：2本の導線の間の磁場

真空と同様に一様な媒質中で、十分長い2本の直線導線 A、B を紙面内で上下方向に平行に置きます。A は左、B は右で、間隔は 0.30 m です。A に上向き 6.0 A、B に上向き 3.0 A の電流を流します。計算条件として μ = 4π × 10⁻⁷ N/A² とします。2本から等距離の点 P における合成磁場の向きと大きさを、T を単位に有効数字2桁で求めてください。導線の太さは無視します。

図2のように P はそれぞれの導線から 0.15 m です。A から見た P は右側なので、A がつくる磁場は紙面の奥向きです。B から見た P は左側なので、B がつくる磁場は紙面の手前向きです。

図2の位置関係を使い、まず A の磁場の大きさを求めます。

B_A = (4π × 10⁻⁷ × 6.0)/(2π × 0.15)

= 8.0 × 10⁻⁶ T

同様に B の寄与は次のとおりです。

B_B = (4π × 10⁻⁷ × 3.0)/(2π × 0.15)

= 4.0 × 10⁻⁶ T

2つは反対向きなので、合成は 8.0 × 10⁻⁶ − 4.0 × 10⁻⁶ = 4.0 × 10⁻⁶ T、向きは大きい A の磁場と同じ紙面の奥向きです。中点では距離が等しく、電流が2倍の A の寄与が B の2倍になることでも確かめられます。

電流の値だけを先に足して 9.0 A とするのは誤りです。2本の電流は同じ方向でも、中点に生じる磁場の向きは逆だからです。合成の前に各導線を別々に見て、P での向きを決めます。

発展例題：平行電流が及ぼす力

一様な媒質中に十分長い平行な直線導線 C、D を 0.20 m 離して置きます。C は D の左側で、どちらも紙面内で上下方向に伸びています。C に上向き 5.0 A、D に上向き 8.0 A を流します。μ = 4π × 10⁻⁷ N/A² とし、D の長さ 0.40 m の部分が C の磁場から受ける力を、N を単位に有効数字2桁と方向で答えてください。導線は固定され、端の影響と太さは無視します。

まず C が D の位置につくる磁場を求めます。距離は導線の間隔ですから、B = (4π × 10⁻⁷ × 5.0)/(2π × 0.20) = 5.0 × 10⁻⁶ T です。D は C の右側にあるので、磁場は紙面の奥向きです。

D の電流は上向きで、磁場と垂直です。左手の対応から D が受ける力は左向き、つまり C に近づく向きです。大きさは F = BIl = 5.0 × 10⁻⁶ × 8.0 × 0.40 = 1.6 × 10⁻⁵ N です。

反対に C の同じ長さの部分が D から受ける力を考えると、C の位置で D の磁場は手前向きです。上向きの電流に働く力は右向きで、D に近づきます。その大きさも 1.6 × 10⁻⁵ N となり、互いに引き合うことと一致します。単位長さあたりの力は μI_C I_D/(2πd) ですが、この式も一方がつくる磁場に他方の電流を掛けて得られます。

分かれ目は電流の相対的な向きです。D の電流を逆にすると、D に働く力は右向きに反転し、2本は反発します。C の磁場は C の電流が変わらないので、その時点では変わりません。磁場を生む側と力を受ける側を入れ替えずに追うと、どちらの矢印が変化したか説明できます。

誤答から矢印を直す

図3のように、上向きの電流が流れる導線の右側で磁場が奥向きだとわかった後、その場所の別の上向き導線に働く力も奥向きと答える誤りがあります。磁場の向きを求めたところで作業を止め、力の向きと取り違えたことが原因です。

図3では、右の導線の位置にある奥向きの磁場と、右の導線の上向き電流を左手に対応させます。親指が示す力は左向きです。力の矢印は力を受ける導線に描き、磁場の記号はその位置の空間に描くと区別できます。

別の誤りは、2本の磁場を大きさの式だけで足し、向きを最後に考えることです。たとえば2つの寄与が等しい大きさで逆向きなら、合成磁場は 0 です。その点で向きを指定することはできません。一方、どちらかの距離が変われば大きさが変わり、残る向きが決まります。計算結果が 0 の場合も失敗とせず、各寄与の向きを図に戻して確認します。

円形導線では、中心の磁場の向きを円周の接線方向に描く誤りもあります。中心では円の面に垂直な方向です。円の電流を正面からたどり、右手の指をその向きに曲げて親指を確かめます。ソレノイドでは見えている手前側の電流の向きと奥側の向きを取り違えることがあるので、巻線を一周たどれる図にしてから判断します。

式を選ぶ前の確認

直線導線の式に入れる r は、導線に沿った長さではなく、導線から観測点へ下ろした垂線の長さです。距離を2倍にすると磁場は半分になり、電流を逆にすると大きさは同じで向きが逆になります。この変化を式と右ねじの両方で確かめると、距離や符号の取り違えを見つけやすくなります。

力の式では、磁場中にある導線の長さを使います。導線全体が長くても、一様な磁場の中にある部分について問われていれば、その部分の長さを代入します。電流と磁場が斜めに交わるときは垂直な成分が力に寄与し、平行なときは力が0です。したがって、力が0という結果が出たときも、直ちに磁場がないとは判断できません。

練習問題

各問題は一様な媒質を考え、透磁率を計算条件 μ = 4π × 10⁻⁷ N/A² とします。導線の太さと端の影響は無視します。数値は各問題の条件であり、実測値ではありません。

1. 十分長い直線導線に上向き 4.0 A が流れています。導線の右側 0.10 m の点に生じる磁場の大きさを T で有効数字2桁、向きを紙面に対して答えてください。
2. 半径 0.20 m の円形導線を正面から見たとき、2.0 A が反時計回りに流れています。中心の磁場を T で有効数字2桁、向きとともに答えてください。π は残してください。
3. 十分長いソレノイドの長さは 0.50 m、巻数は 500 回で、電流は 0.50 A です。内部の端から離れた場所の磁場の大きさを T で有効数字2桁、π を残して答えてください。
4. 左右に 0.40 m 離れた十分長い平行導線に、それぞれ上向き 2.0 A、下向き 6.0 A を流します。右の導線の 0.50 m の部分が左の導線から受ける力を N で有効数字2桁、左右の向きとともに答えてください。

練習の答えと確かめ方

1. B = μI/(2πr) = (4π × 10⁻⁷ × 4.0)/(2π × 0.10) = 8.0 × 10⁻⁶ T です。右ねじから右側では紙面の奥向きです。答えを式に戻すと、2πrB/μ = 4.0 A となり、与えた電流と一致します。

2. B = μI/(2R) = (4π × 10⁻⁷ × 2.0)/(2 × 0.20) = 2.0π × 10⁻⁶ T です。反時計回りに指を曲げると親指は手前を向くので、磁場も紙面の手前向きです。逆算すると 2RB/μ = 2.0 A です。半径が2倍なら中心の磁場が半分になる式の関係も確認できます。

3. 単位長さあたりの巻数は n = 500/0.50 = 1000 m⁻¹ です。B = μnI = 4π × 10⁻⁷ × 1000 × 0.50 = 2.0π × 10⁻⁴ T です。B/(μI) から n = 1000 m⁻¹ に戻り、長さ 0.50 m で 500 回という条件に合います。巻数そのものを n とする誤りに注意します。

4. 左の電流が右の位置につくる磁場は B = (4π × 10⁻⁷ × 2.0)/(2π × 0.40) = 1.0 × 10⁻⁶ T で、紙面の奥向きです。右の電流は下向きなので、力は右向きです。F = BIl = 1.0 × 10⁻⁶ × 6.0 × 0.50 = 3.0 × 10⁻⁶ N です。逆向き電流が反発することに合い、F/(Bl) から右の電流 6.0 A に戻ります。

答案に残す要点

右ねじで各電流が指定点につくる磁場を描きます。
磁場は向きを含めて重ね合わせます。
力は受ける導線の電流と、その位置の磁場から決めます。
平行電流は同方向なら引力、逆方向なら斥力です。

自分の答案を点検する

学校のノートで磁場の強さ H を使っている場合は、媒質中の磁束密度 B と B = μH の関係を確認します。問題が求める量と単位を先に書いておくと、式の係数を取り違えにくくなります。

磁場の式は合っているのに向きを間違えた場合は、右ねじをどの導線に沿わせ、どの点を見たかを答案の図で確認します。合成後の値が違う場合は、各寄与を別々に記し、同方向か逆方向かを言葉にしてから計算し直します。力の式で電流を取り違えた場合は、磁場をつくる導線と力を受ける導線に別の印を付けてみてください。

個別指導で確かめるなら、完成した答えだけでなく、ねじの向きから力の矢印までを本人が説明した途中を見ます。円の中心とソレノイド内部で使った式の条件もノートと照らせば、公式を選んだ理由が明確になります。矢印の役割を分けると、電流と磁場の関係を式と図の両方で追えます。