数検5級 比例の式と表—対応する値から比例定数を求めて変化を読む練習｜武蔵野個別指導塾

表の差が一定でも比例とは限りません。負の値を含む対応を商と代入から見極めるのが比例の式です。

よくあるのは、受験者が表の値の差だけで比例と決める場面です。横に進むたびに同じ数だけ増えると、比例らしく見えます。しかし、増え方がそろうことと、対応する2つの数の商がそろうことは別です。表の縦の組に目を戻し、どちらをどちらで割るかを決めると、比例の式と値の変化がつながります。

表と式から問われること

比例の式と表には、次のような自作の型があります。いずれも、表の列が同じときの x と y を組にして考えます。

1. y が x に比例するとわかっていて、対応する1組から比例定数と式を求める型です。x が負でも、y ÷ x の符号まで計算します。
2. 比例の式が与えられ、指定された x に対応する y や、指定された y に対応する x を求める型です。どちらを代入するのかを先に決めます。
3. 表に並んだ組が比例の式に合うかを調べる型です。商と、x が 0 のときの値を確かめます。比例かどうかを決める材料が不足する場合も考えます。

同じ数ずつ増える表でも、最初の値によっては比例ではありません。たとえば x が 0、1、2 と増えるとき、y が 3、5、7 と増える表では、x が 0 なのに y は 3 です。比例の式に 0 を入れた結果とは合いません。差を見ることは変化を読む手がかりですが、それだけで比例と決めないことが出発点です。

対応する値と比例定数

x の値を決めると y の値が決まり、いつも同じ数 a を使って y = ax と表せるとき、y は x に比例するといいます。この a を比例定数と呼びます。a は x に掛ける数であり、正でも負でもよい数です。y を x で割ると a が得られます。ただし、この割り算が使えるのは x が 0 でない組です。

図1のように、同じ列の x と y を縦に結んで見ます。式 y = -2x では x が -3、-1、0、2 のとき、y は順に 6、2、0、-4 です。0 でない列なら、6 ÷ (-3)、2 ÷ (-1)、(-4) ÷ 2 のどれも -2 です。掛け算の向きは x から y、割り算の向きは y から x へ戻る向きです。

図1の x = 0 の列では y = -2 × 0 = 0 です。一方、0 ÷ 0 で比例定数を出すことはできません。0 ÷ 0 は、掛け戻す数を1つに決められないためです。0 の列は、比例なら y も 0 になるかを確かめるのに使い、定数を求めるときは別の列を選びます。

負の比例定数では、正の x に対応する y は負、負の x に対応する y は正です。たとえば図1で x が -1 から 2 へ 3 増えると、y は 2 から -4 へ 6 減ります。変化の向きが逆でも、x の変化量に -2 を掛ける関係は保たれます。ここで見た差は、式が比例であるとわかった後に変化を読むために使っています。

表に数組が示されているだけなら、示された組が同じ比例の式に合うかは調べられます。しかし、その表にない値まで必ず同じ式で決まるとは限りません。「y は x に比例する」という条件や、関係全体を表す式があるかを確認しましょう。比例定数が 0 の式 y = 0x も成り立ちますが、以下では負の定数を中心に扱います。

比例の関係で、x を 2 倍、3 倍にすると y もそれぞれ 2 倍、3 倍になります。式の x の部分を置き換えると、掛ける数 a は変わらないからです。負の数を掛けた場合も同じように考えられます。図1で x が -1 から 2 へ -2 倍になると、y も 2 から -4 へ -2 倍です。ただし、対応を逆に見て y ÷ x ではなく x ÷ y を求めると、欲しい定数とは違う数になる場合があります。

表を埋めるときには、まず既知の組から式を作り、その後で空欄に対応する値を1つずつ求めます。x の欄が空いていれば y = ax の y に既知の数を入れて x を求めます。y の欄が空いていれば x を代入します。表を横に眺めて前の数へ何かを足す方法は、間隔が等しくない列では使いにくくなります。縦の組に式を当てる方法なら、列の間隔が変わっても手順は変わりません。

基本例題：負の組から式を作る

問題：y は x に比例し、x = -4 のとき y = 12 です。比例定数と、y を x の式で表したものを求めなさい。また、x = 5 のときの y と、y = -18 のときの x をそれぞれ整数で求めなさい。

まず、y = ax と置きます。問題が比例すると明示しているので、定数 a を求めれば関係が決まります。x = -4 と y = 12 は同じ組です。片方の符号を落とさず、次のように代入します。

12 = a × (-4)

a = 12 ÷ (-4)

a = -3

したがって、比例定数は -3、式は y = -3x です。図2のように、与えられた組を式に戻すと -3 × (-4) = 12 となり、もとの y に戻ります。割る順序を逆にしたり、負の符号を落としたりした場合は、ここで食い違いが現れます。

次に x = 5 を式へ入れます。y = -3 × 5 = -15 なので、答えは y = -15 です。x が正、比例定数が負なので、y が負になることも計算の見直しに役立ちます。元の関係へ戻すと、5 に -3 を掛けた値は確かに -15 です。

y = -18 の場合は、x と y の役割が逆になります。-18 = -3x と置き、両辺を -3 で割ると x = 6 です。求めた 6 を元の式に入れると、-3 × 6 = -18 となります。-18 をそのまま x に入れて y を求めるのではなく、問題が与えた位置に数を入れることが分かれ目です。

この問題では x が負でも、比例定数を求める手順は変わりません。y ÷ x を順番どおり計算してから式を書き、さらに元の組へ代入します。式ができた後の2つの問いでも、答えを元の条件に戻して確かめると、計算と立式の両方を点検できます。

もし与えられた組が x = 0、y = 0 だけなら、比例という条件があっても a の値は決まりません。どの a でも a × 0 = 0 となるためです。0 でない x とその y をもう1組使う必要があります。また、x = 0 で y が 0 以外という組があれば、どの比例定数を選んでも y = ax に合いません。割り算ができない列を飛ばすだけでなく、代入で条件を調べることが大切です。

少し難しい例題：変化から組を確かめる

問題：y は x に比例します。x が -2 のとき y は 5 です。x が -2 から 4 まで増えるとき、y の値とその変化量を求めなさい。値と変化量はそれぞれ既約分数または整数で答えなさい。変化量は「後の値 − 前の値」とします。

比例定数を a とすると、5 = a × (-2) です。したがって a = 5 ÷ (-2) = -5/2、式は y = (-5/2)x です。x = 4 のとき y = (-5/2) × 4 = -10 です。変化の前の値は 5 なので、変化量は -10 − 5 = -15 です。答えは、後の y が -10、y の変化量が -15 です。

ここでは「15 減る」という言い方もできますが、変化量としては符号を付けて -15 と書きます。x の変化量は 4 − (-2) = 6 です。これに比例定数 -5/2 を掛けても -15 になり、前後の値から求めた結果と一致します。元の条件に戻して x = -2 を式へ入れると、(-5/2) × (-2) = 5 です。後の値だけでなく、出発点にも戻して確認します。

x が負から正へ変わると、負の定数を掛けた y は正から負へ変わります。後の値 -10 と変化量 -15 は別の数です。後の値だけを答えにしたり、5 と -10 の間の距離 15 を符号なしの変化量として書いたりしないよう、何から何を引くかを先に示します。

差だけで決めた誤答を直す

次の表で、x が 1、2、3 のとき、y がそれぞれ 4、6、8 だとします。「x が 1 ずつ増えると y が 2 ずつ増えるから、y は x に比例する」という答えを考えます。差が一定という観察は合っていますが、比例という結論は誤りです。

図3のように縦の組を調べると、4 ÷ 1 = 4、6 ÷ 2 = 3、8 ÷ 3 = 8/3 です。同じ数にならないので、この3組を満たす y = ax はありません。最初の組から a = 4 と決めれば、x = 2 のとき y は 8 になるはずですが、表の値は 6 です。1組で作った式を別の組に戻すと、誤りを具体的に示せます。

原因は、横の変化と縦の対応を混同したことです。差が一定という情報は増え方について述べています。一方、比例は各組で y が x の同じ何倍かという関係です。修正するときは同じ列の y ÷ x を計算し、0 でない x の列を比べます。x = 0 の列があれば、そこでは y = 0 かどうかも見ます。

逆に、示された組の商が一致した場合にも、表の外まで比例と決める条件があるかを読みます。たとえば一部の組が式に合っても、ほかの x に対する規則が書かれていなければ、表の外の値は確定しません。計算の失敗だけでなく、問題文の条件の読み落としも点検します。

もう1つ気をつけたいのは、負の定数で変化の向きを判断するときです。x が増えるなら y は減りますが、x が減るなら y は増えます。差の符号を確かめずに「負だから必ず減る」と覚えると、x が減る場合に間違えます。後の x から前の x を引いて、その変化量に定数を掛ければ向きを含めて判断できます。

答えが表の一部に合わなかったときは、まず計算の符号と列の読み違いを調べます。それでも一致しなければ、合わない組を示して結論を修正します。問題文が比例を条件として与え、表の数値がそれと食い違う場合には、その条件のままでは両方を満たす式を作れません。都合のよい列だけを採用して穴埋めを続けず、どの組が合わないかを示します。

練習：式と表を行き来する

次の4問は、先に問題をまとめて解いてから答えを見てください。分数は既約分数で表し、整数で表せる場合は整数で答えます。

1. y は x に比例し、x = 6 のとき y = -9 です。比例定数と y を x の式で表したものを求めなさい。さらに x = -4 のときの y を求めなさい。
2. y = 4x です。x = -3 のときの y と、y = 28 のときの x をそれぞれ整数で求めなさい。
3. 表で x が -2、1、3 のとき、y は順に -6、3、10 です。この3組をすべて満たす y = ax があるか答え、理由を示しなさい。
4. 長さが1 m あたり 80 g のひもがあります。ひもの重さ y g は長さ x m に比例します。長さが 2.5 m のときの重さを整数の g で求めなさい。また、重さが 360 g のときの長さを小数の m で求めなさい。

練習の答えと解き方

1. a = (-9) ÷ 6 = -3/2 です。式は y = (-3/2)x、x = -4 のとき y = 6 です。元の組へ戻すと (-3/2) × 6 = -9 で、求めた組でも (-3/2) × (-4) = 6 です。負を負で割ったわけではないので、定数の符号に注意します。
2. x = -3 を入れると y = 4 × (-3) = -12 です。y = 28 を入れると 28 = 4x、よって x = 7 です。戻して 4 × (-3) = -12、4 × 7 = 28 となり、両方とも指定した値に合います。
3. ありません。最初の2組では (-6) ÷ (-2) = 3、3 ÷ 1 = 3 です。しかし最後の組では 10 ÷ 3 = 10/3 で一致しません。最初の組から y = 3x とすると、x = 3 で y = 9 となり、表の 10 に戻らないことでも確かめられます。最初の2組だけで判断を終えないようにします。
4. 比例定数は 80 なので、式は y = 80x です。x = 2.5 では y = 80 × 2.5 = 200、重さは 200 g です。y = 360 では 360 = 80x より x = 4.5、長さは 4.5 m です。1 m あたり 80 g に戻すと、2.5 m では 200 g、4.5 m では 360 g となり、どちらも問題の量に合います。長さも重さも負にならない場面なので、その条件にも合っています。

覚えておくこと

• 比例の式は y = ax、比例定数は x に掛ける数です。
• x が 0 でない組では a = y ÷ x です。
• x = 0 の組は y = 0 かを見て、0 では割りません。
• 差が一定なことと比例することは別です。
• 求めた式と値は、もとの組へ戻して確かめます。

つまずきを見分けるには

お子さまが表を見てすぐ「比例」と答えたら、どの列の何を何で割ったかを説明してもらいます。横の差だけを挙げるなら、同じ差でも商が異なる表を並べ、縦の組を指しながら計算し直します。商が合っていても、0 の列を割ろうとした場合は、式に 0 を代入する確認へ切り替えます。

個別指導で確かめたいのは、答えの符号だけでなく、対応する組の選び方と割る順序です。与えられた y を x と取り違えたときは、問題の条件と式の文字を線で結び、どの値が指定されているかを本人に言葉で判断してもらいます。最後に式をもとの組へ戻せれば、比例定数を求めた理由も見えるようになります。