数検5級 比例のグラフ—比例定数の符号と点の位置を結んで描く練習｜武蔵野個別指導塾

負の比例定数で右下がりになる理由を、原点ともう1点の座標からたどる比例のグラフです。

よくあるのは、負の比例定数がある式を見た受験者が、グラフを右上がりに描いてしまう場面です。原点を通る直線という形は覚えていても、もう1点をどこに取るかで迷うと、式と図が別々のものになってしまいます。

比例のグラフは、式に入れた x と、その結果の y を座標として表したものです。符号を含めて点を打ち、その点を通る直線を引けば、向きも式から確かめられます。描くときと読むときの両方で、座標の順序を手掛かりにしましょう。

式と直線を行き来する問題

比例のグラフに関する問題には、いくつかの出方があります。例えば、式が与えられて直線を描く問題では、原点と原点以外の1点を決めます。点を結ぶ前に、横軸と縦軸の目盛りが同じ間隔で刻まれているかを確かめます。

別の型は、原点を通る比例の直線上の点を読み、式を求める問題です。直線が通る格子点を選び、その x と y を読み取って比例定数を求めます。線が目盛りの交点を通るか判断しにくい場合は、問題で座標が指定された点を使います。目測で小数を作る必要はありません。

もう1つは、示された点がある比例のグラフ上にあるかを調べる型です。点の x を式に入れ、出た y が点の縦の値と一致すれば、その点はグラフ上にあります。一致しなければ、直線の近くに見えても条件に合いません。直線の形を見て終わらず、数の対応まで戻すことが判断の中心です。

以下の式では、特に断りがなければ x は正の数、負の数、0を取れるものとします。実際の数量に結びつく問題では、時間や長さなどが取り得る範囲を別に確認します。

原点ともう1点が決める直線

比例の式を y = ax と表すとき、a を比例定数といいます。x に0を入れると y も0です。したがって、比例のグラフは座標 (0, 0) の点、つまり原点を通ります。

図1のように、例えば y = -2x では x が1のとき y は-2です。座標 (1, -2) は、原点から右に1、下に2進んだ位置です。原点とこの点を定規で結び、両側に延ばすと直線になります。図の目盛りは横と縦でともに1目盛りを同じ長さにしています。

図1の直線は右へ進むほど下がります。x が1増えると、式の -2 によって y が2減るからです。原点の反対側でも、x = -1 なら y = 2 となり、点 (-1, 2) を通ります。右側で符号を確かめ、左側でも式に戻すと、直線の向きと位置を二重に点検できます。

a が正なら x が増えると y も増え、直線は右上がりです。a が負なら x が増えると y は減り、直線は右下がりです。a が0のときは y = 0 で、グラフは x 軸そのものになります。正負の向きの説明は a が0でないときの判断として使います。

点は (x, y) の順に書きます。例えば (1, -2) と (-2, 1) は異なる位置です。最初の数を横、次の数を縦として扱い、負の数は原点より左または下へ進みます。目盛りの数字を読まずにマスの数だけで決めると、1目盛りが2や5の場合に位置がずれます。

基本例題：負の式から描く

例題です。x と y の関係が y = -3x であるとします。x が任意の数を取るとき、座標平面にグラフを描き、原点以外に描くために使った点の座標を整数で答えてください。

まず x = 0 を代入します。

y = -3 × 0 = 0

よって原点 (0, 0) を通ります。原点だけでは直線の向きが決まらないので、次に x = 1 を選びます。

y = -3 × 1 = -3

もう1点は (1, -3) です。横に1、縦に-3の位置へ点を打ちます。原点から右へ1、下へ3の位置です。2点を定規で結び、両方に延ばした直線が答えです。

図2のように、(1, -3) を使えば右下がりの直線が決まります。左側も確かめるため x = -1 を入れると、y = -3 × (-1) = 3 です。描いた直線が (-1, 3) を通ることを確認します。この点を初めから原点以外の点に選んでも同じ直線が描けます。

答えを元の条件に戻すと、(1, -3) では -3 = -3 × 1、(-1, 3) では 3 = -3 × (-1) です。両方の座標が式を満たしています。直線を原点と (1, -3) の間だけで止めると、例えば負の x に対応する部分が表せません。任意の数を取るという条件に合わせ、両側に延ばします。

点を打つときに上下を間違えたと感じたら、線を引き直す前に代入します。右へ1進んだとき y が3になっていれば、式は -3 を返すので一致しません。線がきれいに引けたかより先に、点が式に合うかを確認します。

描いた直線を読み返すときは、原点から右に1進んだ位置で線の高さを見ます。縦の値は-3です。原点から左に1進んだ位置では3になり、2つの点は原点をはさんで反対側にあります。これは、x の符号を変えると y の符号も変わるという式の性質に対応します。

ただし、直線の角度を見ただけで係数を決める方法は、横と縦の目盛りの取り方に左右されます。横軸と縦軸で1目盛りの長さが異なる図では、同じ係数でも見た目の傾きが変わります。数を読むときは、直線上の点の横と縦の目盛りをそれぞれ確認します。点が線に近いことと、点が式を満たすことは別の確認です。

定規を置く前に、選んだ2点に小さな印を付けておくと、途中で別の目盛りにずれることを防げます。線を引いた後も印が線上に残っているかを見ます。もし片方を通っていなければ、計算を変える前に定規の位置を直します。描画のずれと計算の誤りを分けると、どの手順を修正すればよいかが見えます。

少し難しい例題：直線上の点から式へ

例題です。y は x に比例し、そのグラフは原点と点 (-4, 6) を通ります。比例の式を、比例定数を既約分数で表して答えてください。また、点 (2, -3) がこのグラフ上にあるか答えてください。

式から点を作る場合とは反対に、ここでは点から比例定数を探します。y = ax に x = -4、y = 6 を入れます。

6 = a × (-4)

a = 6 ÷ (-4) = -3/2

したがって式は y = (-3/2)x です。割る順番は y ÷ x です。逆に x ÷ y を計算すると、与えられた点に合う係数とは限りません。なお、原点では x が0なので、この割り算には使えません。原点以外の x が0でない点を使います。

次に点 (2, -3) を調べます。x = 2 を得られた式に入れると、y = (-3/2) × 2 = -3 です。点の縦の値と一致するので、この点はグラフ上にあります。

元の条件にも戻します。x = -4 のとき y = (-3/2) × (-4) = 6 です。また x = 0 なら y = 0 ですから、与えられた2点に対応します。比例定数が負であり、左上の (-4, 6) と右下の (2, -3) を結ぶ向きとも一致します。符号、割る順番、もとの点の3つがそろえば、式と図の対応を確かめられます。

右上がりの誤答を直す

同じ y = -2x を描くとき、原点と (1, 2) を結ぶとどうなるでしょうか。右上がりの直線になり、これは誤答です。x = 1 のとき、式が指定する y は -2 であって 2 ではありません。

図3のように、間違えた点と正しい点は横の値がどちらも1ですが、縦の値の符号が違います。数字の2だけに注目すると、原点から上にも下にも2進めてしまいます。負の符号を位置の指示として読み、下へ進む必要があります。

修正するときは、まず点 (1, 2) を消す前に、x = 1 を式に入れて y = -2 と書きます。その値を座標 (1, -2) に移し、原点と結び直します。左側の (-1, 2) も式に合うので、線の向きをもう一度確かめられます。

別のつまずきは、原点と (2, -1) を結ぶことです。この点では、正しい点 (1, -2) の横と縦の大きさを取り違えています。式へ戻すと x = 2 のとき y = -4 なので、縦が-1の点は条件に合いません。値が合っているかを代入で調べれば、符号の誤りと座標の順の誤りのどちらも発見できます。

また、直線上に見える点から式を求めるとき、原点を使って 0 ÷ 0 を計算しようとすることがあります。0で割ることはできません。原点以外の、横の値が0でない点に移って y ÷ x を計算します。原点を通るという条件の確認と、比例定数を求める計算は役割が異なります。

グラフから比例定数を読む際にも、横の値が負なら符号に注意します。原点の左上の点では x が負、y が正なので、y ÷ x は負です。右下の点では x が正、y が負で、やはり商は負です。どちらの側を選んでも同じ係数になることは、描いた直線を調べる手掛かりです。

一方、縦の値が0の原点以外の点を通る比例のグラフは、比例定数が0です。この場合、横の値が0でない点から 0 ÷ x を計算できます。線は横軸と重なるので、右上がりか右下がりかを無理に選ばず、式 y = 0 に戻して判断します。

自分で描き、読み取る練習

次の問題では、座標平面の横軸を x、縦軸を y とし、x は任意の数を取るものとします。式の係数は整数または既約分数で答えてください。グラフを描く問題は、原点以外に使った点の座標も整数で書きます。

1. y = 2x のグラフを描き、使った原点以外の点を1つ答えてください。
2. y = -x/2 のグラフを描き、使った原点以外の点を1つ答えてください。
3. y は x に比例し、そのグラフは点 (3, -6) を通ります。比例の式を答えてください。
4. y は x に比例し、そのグラフは点 (-2, -6) を通ります。比例の式を答え、点 (2, 6) がグラフ上にあるか答えてください。

答えと解き方

1. 原点と (1, 2) を通る直線です。x = 1 のとき y = 2 × 1 = 2 なので、原点から右に1、上に2の点を打ちます。2点を結んで両側に延ばします。確認として x = -1 なら y = -2 となり、直線は (-1, -2) も通ります。原点に戻しても 2 × 0 = 0 です。別の整数の点を使っても、同じ直線なら正解です。

2. 原点と (2, -1) を通る直線です。x = 2 のとき y = -2/2 = -1 となります。分数の係数でも、計算しやすい x を選べば整数の点を打てます。x = -2 のとき y = 1 なので、直線が (-2, 1) を通ることも確かめます。もとの式に x = 2 を戻して縦の値が-1となるため、選んだ点は条件に合います。

3. 答えは y = -2x です。y = ax に (3, -6) を入れると -6 = 3a、したがって a = -6 ÷ 3 = -2 です。元の条件に戻すと、x = 3 のとき y = -2 × 3 = -6 で、指定された点を通ります。係数が負なので、直線は右下がりです。式だけでなく、点の位置とも照合できます。

4. 答えは y = 3x で、点 (2, 6) はグラフ上にあります。比例定数は y ÷ x から (-6) ÷ (-2) = 3 です。元の点では 3 × (-2) = -6 となり、与えられた条件に戻ります。さらに x = 2 では y = 3 × 2 = 6 なので、調べる点の縦の値とも一致します。負の数同士の割り算で係数が正になることに注意します。

描く前と描いた後に残すこと

原点を打ち、式から原点以外の点を1つ求めます。
点は横が x、縦が y の順に読みます。
比例定数が正なら右上がり、負なら右下がりです。
点から式を求めるときは、x が0でない点の y ÷ x を使います。
最後に元の点を式に戻します。

練習の後は、描いた点の座標を隠し、式からもう一度その点を求めてみましょう。元の点に戻れなければ、代入、符号、座標の位置のどこで違ったかを順に調べます。グラフから式を求めた問題でも、得た式に指定された座標を代入すれば、計算と読み取りの両方を確かめられます。

つまずきの場所を見分ける

お子さまが線を逆向きに描いたときは、すぐに定規の使い方へ戻るより、まず式から選んだ x に対する y を尋ねます。計算は合うのに点が反対側にあるなら、符号と軸上の位置を結びつける練習が必要です。点は合うのに直線がそこを通らないなら、2点を定規で結ぶ段階を見直します。

個別指導では、原点以外にどの点を選んだか、なぜその点が式を満たすかを本人に説明してもらいます。グラフから式を作る場合には、どの点を読み、なぜ y を x で割ったかも確かめます。答えが合った場合も、元の座標に戻せるかを見ると、偶然の正答と対応を理解した正答を区別しやすくなります。点と式を往復する判断が、比例の直線を確かなものにします。