数検5級 反比例の式と表—積が一定になる組を探して式を立てる練習｜武蔵野個別指導塾

負の値を含む表で対応する2数の積を調べ、0を除いて式を立てる関係が反比例です。

よくあるのは、受検者が表の2つの数の商が一定かどうかだけを調べ、反比例ではないと判断する場面です。横に並んだ数を見ると割り算を試したくなりますが、反比例を調べるときの手掛かりは掛け算にあります。対応する数を組にして積を出せば、式の分子も見えてきます。

ここでは、負の数を含む表と反比例の式を行き来します。グラフの描き方や図形への利用には広げず、表の空欄を埋める手順と、計算できない値の扱いを丁寧に追います。

表から問われること

自作の問題で練習する型は、主に次の3つです。いずれも、同じ列の x と y を対応する組として読みます。

1. x と y の組が1つ与えられ、反比例の式を求める型です。まず2数の積を求め、その値を式の分子に置きます。
2. 反比例の式が与えられ、表の空欄を埋める型です。x がわかれば式に代入し、y がわかれば積が一定という関係から x を求めます。
3. 複数の組が表に並び、反比例かどうかを判断する型です。対応する組ごとに積を調べ、どこかで異なれば反比例とはいえません。

表に負の数があると、計算の大きさに気を取られて符号を落としがちです。正と負の積は負、負どうしの積は正と確認してから、積が同じかを比べましょう。また、1組の積が求まっただけでは、残りの組も同じ関係にあると決められません。表の他の列も一つずつ調べます。

積を式の分子にする

反比例の式は y = a/x と表します。a は0でない決まった数で、反比例定数と呼びます。ここで a/x は a を x で割ることです。式の両辺に x を掛けると、x × y = a となります。つまり対応する x と y の積は、どの組でも同じ a です。

図1のように、x が -4、-2、1、2 のとき、y がそれぞれ -3、-6、12、6 になる表を見ます。縦に対応する数を掛けると、順に 12、12、12、12 です。式は y = 12/x と表せます。例えば x が -2 の列では、12 ÷ (-2) = -6 となり、表の y に戻ります。

図1では、x の値が2倍になると、対応する y は半分になっています。ただし、負の値を含む表では「増えると減る」という言い方だけで判定しないほうが確実です。符号を含めた積を計算すれば、どの列を比べているかも明確になります。

商を調べる方法との違いも見ましょう。この表の x = 1 と x = 2 の列で y ÷ x を計算すると、それぞれ 12 と 3 です。商は一定でなくても、積はいずれも 12 です。商が違うことを理由に反比例を否定すると、積が一定という特徴を見落とします。

式 y = a/x では x = 0 を使えません。0で割る計算が定められていないためです。x × y = a から考えても、x が0なら、どんな数 y を掛けても積は0になり、0でない a にはなりません。表の空欄に0が書かれていたら、機械的に代入せず、まず式で許される値かを確認します。

反比例の表に0でない x が1つあれば、その列から a を決められます。その後に別の列へ代入して、与えられた y と合うかを確かめます。いくつかの組の積が等しい表であっても、その表だけで表にない値の関係まですべて証明したことにはなりません。問題が反比例と定めている場合はその関係を使い、表から判定する場合は示された組が反比例の式に合うかを調べます。

表の向きと空欄の場所を読む

表が縦長でも、対応する組の見つけ方は変わりません。同じ行に x と y が並んでいれば、その行の2数を掛けます。見出しの x と y を見て、数が入っている場所を指でたどると、表の向きが変わっても組を取り違えにくくなります。空欄を見つけたら、先に完成している組があるかを探しましょう。

例えば、反比例と決まっている表で x = 4、y = 5 の組があれば、積は20です。別の列で x = -5 とわかっているなら、y = 20 ÷ (-5) = -4 と求められます。逆に y = -10 とわかっている列なら、x × (-10) = 20 と考え、x = -2 です。どちらも積を20に戻して確認できます。求める文字が変わっても、対応する2数の積という基準は同じです。

表の一部が読めない場合、勝手に値を補ってから判定することはできません。反比例であるという条件と、積を決められる完成した組があれば空欄を計算できますが、そのどちらもなければ必要な情報を探します。また、計算した積が0だった場合は、ここで扱う a が0でない反比例の式にはなりません。0を分子に入れた式を反比例として扱わず、元の条件を見直します。

数の組が1つだけ示されていて、反比例かどうかを判定する問題にも注意します。積が0でなければ、その組を通る反比例の式は作れます。しかし、他の値のときも同じ式に従うかは、その組だけからは決まりません。問題文が反比例と定めているのか、表の組がある式に合うかを尋ねているのか、問いの言葉を読み分けます。

基本例題：負の積から表を埋める

問題：y は x に反比例し、x = -3 のとき y = 4 です。y を x の式で表し、x = 2 と x = -6 のときの y をそれぞれ整数で求めましょう。x = 0 のときは値を求められるかも答えます。

まず、既に両方の値がわかっている組を使います。反比例定数を a と置き、積を計算します。

a = (-3) × 4 = -12

正の数と負の数の積なので、a は負です。反比例の式 y = a/x の a に -12 を入れます。

y = -12/x

分子に入れるのは、与えられた y の 4 ではなく、対応する x と y の積です。図2のように、組から積を求めてから式に進むと、分子を取り違えにくくなります。

次に、求めた式へ x = 2 を代入します。

y = (-12) ÷ 2 = -6

x = -6 のときも同じ式を使います。

y = (-12) ÷ (-6) = 2

負の数を負の数で割るので、こちらの答えは正です。x = 0 では -12 ÷ 0 が定められていないため、y の値を求められません。空欄に0を書くのではなく、値が定まらないことを答えます。

答えは y = -12/x、x = 2 では y = -6、x = -6 では y = 2 です。x = 0 では y は定まりません。ここで元の条件に戻し、x = -3 を式に入れると y = (-12) ÷ (-3) = 4 です。最初に与えられた組に戻りました。さらに、求めた2組の積も 2 × (-6) = -12、(-6) × 2 = -12 です。式を作った列と空欄の列の両方で、同じ積になると確認できます。

符号を見直すときは、積が負であることに注目します。x が正なら y は負、x が負なら y は正でなければ積は負になりません。計算した数の大きさが合っていても、符号が逆なら積を作り直せないため、答えを直します。

少し難しい例題：表の判断と逆向きの計算

問題：次の表の4組が、同じ反比例の式に合うか調べましょう。合う場合は式を表し、さらに y = -2 のときの x を整数で求めます。

まず列ごとに積を出します。

(-4) × 6 = -24
(-2) × 12 = -24
2 × (-12) = -24
8 × (-3) = -24

4組の積は -24 でそろっています。どの x も0ではないので、4組は y = -24/x に合います。例えば最後の列に式を使うと、-24 ÷ 8 = -3 です。表の値を再現できました。

次に y = -2 から x を求めます。分かれ目は、式に代入した後の計算方向です。x がわかっているときのように、分子を x で割ることはまだできません。積の式 x × y = -24 に戻して、わかっている y を入れます。

x × (-2) = -24
x = (-24) ÷ (-2) = 12

答えの x は 12 です。式へ戻すと -24 ÷ 12 = -2 となり、指定された y に一致します。積でも 12 × (-2) = -24 です。負の数を含む計算では、求めた x と与えられた y の符号の組まで確かめましょう。

もし表の途中で積が異なったら、最初の列の積だけを使って式を決め、表全体に合うと結論してはいけません。違う列を式へ代入し、その y を再現できるかを確かめれば、どこで条件が合わなくなったかを示せます。

商を調べた誤答を直す

次の表を見て「y ÷ x が一定でないので、反比例ではない」と答えたとします。

商は 6、3/2、2/3 で、確かに同じではありません。しかし、調べる量が反比例の条件と違います。図3のように、縦の組を掛け直すと 1 × 6 = 6、2 × 3 = 6、3 × 2 = 6 です。積は6でそろい、この3組は y = 6/x に合います。

誤りの原因は、比例を調べるときに使う商と、反比例の積を混同したことです。修正するときは「何が一定か」を先に書き、その次に各列の計算を並べます。反比例なら x × y を比べ、0でない同じ値になるかを確認します。最後に式へ戻して、表の数が再び出るかを調べれば、計算と判断の両方を点検できます。

もう一つの誤りは、a の符号を落とすことです。例えば x が負、y が正なら積は負です。分子を正にすると、負の x を代入したとき y も負になり、与えられた正の値に戻りません。符号を暗記で直すより、元の組を式に代入して矛盾を見つけると、どの行で間違えたかを追えます。

別の表で練習する

次の問題は、答えを見る前にそれぞれの組を縦に対応させて計算しましょう。式は y = a/x の形で、数の答えは整数または既約分数で表します。

1. y は x に反比例し、x = 5 のとき y = -3 です。式を求め、x = -3 のときの y を求めましょう。
2. y = 18/x です。x = -9 のときの y と、y = 3 のときの x を求めましょう。また x = 0 のとき y が定まるか答えます。
3. 次の表の3組が同じ反比例の式に合うかを判断し、理由を積で示しましょう。合わない場合は、最初の組から作った式と合わない列を示します。

4. y は x に反比例し、x = -4 のとき y = -3/2 です。式と、x = 8 のときの y を求めましょう。

練習の答えと解き方

1. 積は 5 × (-3) = -15 なので、式は y = -15/x です。x = -3 を入れると y = (-15) ÷ (-3) = 5 です。元の組に戻すと -15 ÷ 5 = -3 となり、与えられた y に一致します。求めた組でも (-3) × 5 = -15 です。正負の組が逆になっても積の符号は変わりません。

2. x = -9 を式に入れると y = 18 ÷ (-9) = -2 です。y = 3 のときは x × 3 = 18 から x = 6 です。確かめると (-9) × (-2) = 18、18 ÷ 6 = 3 となり、両方の指定に戻ります。x = 0 のときは0で割れないので y は定まりません。0を答えとして入れると、積は18にならない点でも誤りに気づけます。

3. 積は順に (-3) × (-8) = 24、2 × 12 = 24、4 × 5 = 20 です。3つ目の積が違うため、3組は同じ反比例の式に合いません。最初の組から作る式は y = 24/x です。x = 4 を代入すると y = 6 となり、表の 5 とは異なります。一方、x = -3 を代入すると -8 に戻り、最初の列の読み取りも確認できます。

4. 積は (-4) × (-3/2) = 6 なので、式は y = 6/x です。x = 8 では y = 6/8 = 3/4 です。元の条件に戻すと 6 ÷ (-4) = -3/2 です。求めた組でも 8 × 3/4 = 6 となります。分数を約分した後も、元の積を再現できるかを見ると安心です。

覚えておくこと

• 反比例 y = a/x では、対応する値の積 x × y が0でない定数 a です。
• 既知の組の積から式を作り、表の他の列へ戻して確かめます。
• x = 0 は使えず、負の値や分数では符号にも注意します。
• y から x を求めるときは、積の式に戻して割ります。

どこで迷ったかを見分ける

お子さまが表を前に止まったら、まず同じ列の2数を指してもらいます。別の列を組にしていれば、掛け算の前に対応の読み取りを整える必要があります。組は正しいのに商を出した場合は、積と商のどちらが反比例定数になるかを、表の2列を使って説明してもらいます。

個別指導で確かめたいのは、式に数を入れる手順だけではありません。負の組から積の符号を選んだ理由、0を使えない理由、y が先に与えられたときに積の式へ戻る判断を、本人の言葉で聞きます。答えが合った場合も元の組へ代入し、誤った場合はその代入でどの値が合わないかを確かめると、次の表でも使える判断が残ります。

対応する組を掛けて元の値に戻す習慣が、反比例の式と表をつなぎます。