数検5級 正負の数の加減—数直線の移動と式を結びつけて符号を決める練習｜武蔵野個別指導塾

負の数を引く向きと温度の逆算を数直線でたどり、式に戻して考える正負の数の加減です。

よくあるのは、受験者が負の数を引く式を見て、数直線を左へ進む場面です。引き算という言葉に引っぱられ、引く数にもマイナスが付いていることを見落とします。出発点と移動先を図に置くと、どこで向きが変わるかを確かめられます。正負の数の加減を、符号の暗記で終わらせず、温度の変化にもつなげて考えましょう。

式と温度で何を求めるか

加減の問題には、いくつかの見方があります。1つ目は、正の数や負の数を足した結果を求める型です。符号が同じなら原点からの距離を合わせ、違うなら距離の差を取り、距離が大きい方の符号を付けます。例えば (-3) + (-2) は、左への移動が重なって -5 です。

2つ目は、引き算を足し算に直して計算する型です。引く数の符号を反対にして足すので、(-3) − (-2) は (-3) + (+2) になります。演算を表す引き算の記号と、数そのものに付いたマイナスを区別することが出発点です。

3つ目は、変化の前後から温度を求める型です。変化前と変化後のどちらが未知かによって、足す式と引く式を選びます。上がったか下がったかを符号で表し、答えを元の変化に戻して確認します。これらは学習のために整理した型で、出題の予告ではありません。

数直線で移動と符号を結ぶ

数直線では右向きを正、左向きを負とします。足す数が +3 なら、出発点から右へ3目盛り、-3 なら左へ3目盛り進みます。出発点が負でも、移動の向きは足す数の符号で決まります。0 を通り越してよいので、途中で止めずに目盛りを数えます。

図1のように、-2 から +3 を足すと右へ3進んで +1 に着きます。出発点の符号と移動の符号は別の役割です。-2 は今いる位置を、+3 はそこからの変化を表しています。

図1の矢印の始点は -2、終点は +1 です。左から右へ目盛りを数えると -1、0、+1 と3回進みます。答えの符号は出発点ではなく、最後に着いた位置から読み取ります。

引き算は、引く数と反対の数を足すことに直せます。例えば +4 を引くと左へ4、-4 を引くと右へ4です。これは、引き算の答えに引いた数を足すと元の数へ戻るという関係から確かめられます。-2 − (-3) の答えを +1 とすると、+1 に -3 を足して -2 に戻ります。

括弧の外にある + や − は操作を示し、括弧内の + や − は数の符号を示します。+(+4) は +4、+(-4) は -4 と書けます。-(+4) は -4、-(-4) は +4 に直します。括弧を外すとき、外側がマイナスなら内側の数の符号を反対にする、と操作と数をセットで確認します。

0 は正にも負にも属さず、足しても位置を変えません。反対の数を足したときも 0 になります。例えば (+6) + (-6) は右へ6と左へ6が打ち消し合います。答えが 0 のときにマイナスを付ける必要はありません。

同じ符号と異なる符号を見分ける

足し算に直した後、2つの数の符号を見比べます。両方が正なら右へ続けて進み、両方が負なら左へ続けて進みます。例えば (+2) + (+5) は +7、(-2) + (-5) は -7 です。移動する距離はどちらも合計7ですが、進む方向が反対なので答えの符号も反対です。

符号が異なるときは、反対方向への移動が一部を打ち消します。例えば (+5) + (-2) は、右へ5進んでから左へ2戻るので +3 です。(-5) + (+2) は、左へ5進んでから右へ2戻るので -3 です。距離の大きい移動の方向に3残る、と考えれば符号まで判断できます。

ただし、符号の違う数を見ていつも負にするわけではありません。原点からの距離が等しければ、たどり着く場所は 0 です。数の符号と演算の記号が並んで読みにくいときは、括弧を付け直して、どの数を足すかを声に出すと整理できます。

基本例題: 引く数を足す数に直す

次の計算をして、答えを整数で表しましょう。

(-2) − (-3)

まず、最初の数は -2 です。引く数は -3 であり、括弧の前の記号もマイナスです。この2つをまとめて見て、引く操作を反対の数を足す操作へ直します。

(-2) − (-3) = (-2) + (+3)

次に、-2 から右へ3進みます。-1、0、+1 とたどり、答えは +1 です。正の数の答えは 1 と書いても同じです。

(-2) + (+3) = +1

図2のように、右向きの矢印の長さを3目盛りとして、始点と終点を見比べます。符号を変える対象は最初の -2 ではなく、引かれる側の操作の相手である -3 です。

図2の終点から、引いた数 -3 を足してみましょう。+1 から左へ3進むと -2 に戻ります。引き算の答えに引いた数を足して出発点へ戻れるので、向きと結果の両方を点検できます。

同じ計算は、異なる符号の数の和としても考えられます。原点からの距離はそれぞれ2と3です。距離の差は1で、距離が大きい +3 の符号を付けるため +1 になります。数直線で移動をたどった結果と一致します。

もし答えが負だと思ったら、最初に負の位置にいたことと、最後も負の位置にいることを混同していないか見ます。右に進んでも 0 を越えなければ答えは負ですが、この例では3目盛り進む途中で 0 を越えます。向きと距離を両方確かめることが必要です。

温度の変化をさかのぼる

ある場所の温度は、朝から昼までに 5 ℃下がり、昼には -2 ℃でした。朝の温度を整数で、単位を付けて求めましょう。温度の変化を、上昇なら正、下降なら負で表します。

昼の温度は、朝の温度に変化量 -5 ℃を足したものです。朝の温度を求めるには、昼の温度から変化量を引きます。変化量が負なので、ここでも負の数を引く式になります。

(-2) − (-5) = (-2) + (+5) = +3

朝の温度は +3 ℃です。答えを場面へ戻すと、+3 ℃から 5 ℃下がって -2 ℃になり、昼の条件と一致します。昼から朝へ戻るときは、実際の変化と反対に 5 ℃上がると考えることもできます。

この問題の分かれ目は、-5 ℃が昼の温度ではなく変化量だと読むところです。昼の -2 ℃にそのまま -5 ℃を足すと、昼からさらに 5 ℃下がった温度を求めることになります。時間の順番を「朝 → 昼」と書いてから、「朝の温度 + 変化量 = 昼の温度」と対応を置くと、逆算の向きを選びやすくなります。

温度の差を求める場合にも、どちらからどちらを引くかを言葉にします。後の温度から前の温度を引いた値は、前から後への符号付きの変化量です。反対に引けば、逆向きの変化を表します。単に数字の距離を求める問いと混同しないよう、問題が求めるものを先に確認しましょう。

逆算するときの確認順

変化後の温度から変化前を探すときは、変化の大きさと符号をいったん分けて読みます。「下がる」は変化量が負であることを意味し、「前に戻る」はその変化を取り消す操作を意味します。負の変化を取り消すので、戻る向きは上昇です。下がったという言葉があるからといって、逆算でも下げ続けるわけではありません。

たとえば、ある温度が 4 ℃上がって +1 ℃になったなら、元の温度は (+1) − (+4) = -3 ℃です。逆向きには 4 ℃下がります。-3 ℃に +4 ℃を加えると +1 ℃なので、変化後の条件を満たします。上昇の場合と下降の場合を比べ、戻る向きがそれぞれ反対になることを確認しましょう。

変化量の単位は ℃、温度そのものの単位も ℃ですが、役割は異なります。温度は数直線上の位置、変化量は位置から位置への移動です。たとえ数値が同じでも、問題文のどちらを指すかを決めてから式に入れます。温度計を想像し、出発点、移動、到着点を順に書くと、与えられていない値も見つけやすくなります。

間違えた向きを直す

基本例題で、(-2) − (-3) = -5 と答えたとします。これは -2 から左へ3進んだ結果です。左への移動を式にすると (-2) + (-3) であり、元の引き算とは異なります。

図3のように、誤った矢印は -2 から -5 へ向かい、正しい矢印は -2 から +1 へ向かいます。両者の出発点は同じですが、移動の向きが反対です。引く数 -3 の反対の数 +3 を足すと書き直してから、右へ進みます。

図3の誤答を引き算の関係でも検査します。-5 に引いた数 -3 を足すと -8 になり、元の -2 に戻りません。一方、+1 に -3 を足すと -2 です。結果を元の条件へ戻すと、途中式の符号の誤りが見えます。

別の間違いとして、(-2) − (-3) を (+2) + (+3) とすることもあります。後ろの数を反対にする際、出発点まで反対にしたためです。最初の数に印を付け、引く操作とその相手の括弧をまとめて直すと、変える場所が明確になります。

括弧を外した後も符号を持った数の集まりとして読みます。例えば 4 − 7 + 2 は (+4) + (-7) + (+2) と見られます。左から計算すれば -3 + 2 = -1 です。正の数の合計 6 と負の数の大きさ 7 を比べても -1 になり、2通りの見方で確かめられます。

途中で迷ったとき

符号が続いて見える式では、1回の操作ごとに区切ると点検しやすくなります。まず括弧付きの数を読み、次にその数を足すのか引くのかを決めます。引く場合は反対の数を足す形に直し、数直線の移動へ移ります。最後に終点の位置から答えの符号を読みます。

途中で移動方向がわからなくなったら、直前の式に戻って引く数を特定します。答えの符号を先に予想して合わせるのではなく、式の等しさが保たれているかを確かめます。計算の途中を1行残しておけば、符号の変換と数の計算のどちらで誤ったかを見分けられます。

別題で練習する

次の4問は、答えを整数で表してください。温度の問題は単位も付けます。先に問題を解き、途中の符号と元の条件を確認してから解答を見ましょう。

1. (+7) + (-9) を計算します。
2. (-6) − (+4) を計算します。
3. 8 − (-2) + (-5) を計算します。
4. 朝の気温は -4 ℃で、夕方は +2 ℃でした。朝から夕方への変化量を、上昇を正として求めます。

答えと考え方

1. 答えは -2 です。+7 から左へ9進むと -2 です。-2 から逆向きに右へ9戻れば +7 になり、出発点を確かめられます。距離の差は2で、距離の大きい -9 の符号を付けても同じです。

2. 答えは -10 です。(-6) − (+4) = (-6) + (-4) と直し、左へ4進みます。答え -10 に引いた +4 を足すと -6 に戻ります。正の数を引く場合は左へ動きますが、負の数を引く場合とは向きが違います。

3. 答えは +5 です。8 − (-2) + (-5) = 8 + 2 − 5 と直します。左から計算すると 10 − 5 = 5 です。最後の -5 を足す前に戻すと 5 + 5 = 10、さらに最初の移動を戻すと 10 − 2 = 8 となり、出発点に一致します。

4. 答えは +6 ℃です。後の温度から前の温度を引き、(+2) − (-4) = (+2) + (+4) = +6 と求めます。朝の -4 ℃に +6 ℃の変化を加えると +2 ℃で、夕方の条件に戻ります。変化量の正の符号は、朝から夕方へ気温が上がったことを表します。

覚えておくこと

• 足す数が正なら右、負なら左へ進みます。
• 引き算は、引く数の反対の数を足す式に直します。
• 異符号の和は距離の差と、距離の大きい数の符号で決まります。
• 変化後は変化前に変化量を足し、逆算では変化量を引きます。
• 答えを出発点や温度の条件に戻して確かめます。

練習では、計算が合った場合も、どの数を反対にしたかを説明してみましょう。操作の相手を指せると、別の数が並ぶ式にも同じ考え方を使えます。

つまずきを見分ける

符号を誤ったときは、答えだけを直さず、まず出発点を指してもらいます。次に、括弧の前が足す操作か引く操作か、括弧の中がどの数かをそれぞれ言葉にしてもらいます。そこが言えれば、引く数を反対にして足す判断と、移動後に 0 を越えるかの判断を別々に確かめられます。

個別指導では、温度の式を立てた理由も尋ねます。変化前に何を足すと変化後になるのか、矢印に沿って説明できるかを見るためです。お子さまが逆向きにたどった後、求めた温度を元の変化に戻せれば、計算と場面の対応まで確認できます。符号は、数直線の位置と変化の向きを結ぶ手掛かりです。