数検5級 正負の数の乗除—符号と数の大きさを分けて分数まで計算する練習｜武蔵野個別指導塾

負の分数で割る計算から、逆数の符号を保つ理由を確かめます。0で割れない場合も、掛け算に戻して判断しましょう。

よくあるのは、受験者が分数の割り算で、分母と分子を入れ替えるときに符号まで逆にする場面です。負の分数の逆数も負の数なので、そこで符号を変えると答えが反対になります。符号を先に決め、次に符号を取り除いた数の大きさを計算すると、どこで判断を誤ったか見つけやすくなります。

正負の数の乗法と除法を、整数から分数まで順に見ます。累乗や加減を交えた計算には広げず、1つずつの乗除と逆数の意味を確かめます。途中式を残し、答えを元の乗法や除法へ戻して点検しましょう。

符号と大きさを問う3つの型

1つ目は、符号の異なる2数の積や商です。たとえば正の数と負の数を掛けると、答えは負になります。割る場合も、両方が0でないときは同じ符号の組み合わせで商の符号を決められます。符号を決めた後に、正の数として大きさを計算します。

2つ目は、負の数同士の乗除です。符号が同じなので、積も商も正です。負の記号が2つあるから答えに負の記号を付ける、と数を見ずに決めるのではなく、2つの符号が同じか違うかを比べます。積では0がある場合、除法では割られる数が0の場合に答えは0なので、符号の表より先に0を確認します。

3つ目は分数を含む除法です。割る数が0でなければ、その数の逆数を掛ける式に直せます。ここでも符号は逆にせず、割る数全体の逆数を作ります。次の例題は練習用に作ったもので、実際の問題を写したものではありません。

符号の組と逆数を分けて見る

数直線では、正の数は0の右、負の数は0の左にあります。0からその数までの距離を絶対値といいます。符号を付けない数の大きさとして、この絶対値を使います。たとえば -3/4 の絶対値は 3/4 です。絶対値は負になりません。

図1のように、0でない2数の符号を組にして見ると、積と商の符号を同じ表で整理できます。商の場合は、特に割る数が0でないことが条件です。表の記号は答えの符号を表し、数の大きさを表してはいません。

符号が同じなら正、違えば負です。大きさは積なら絶対値同士を掛け、商なら割られる数の絶対値を割る数の絶対値で割ります。たとえば (-2) × (+5) は符号が異なるので負、大きさは 2 × 5 の10です。答えは -10 です。逆に -10 を +5 で割ると -2 に戻ります。

逆数とは、元の数と掛けて1になる数です。2/3 の逆数は 3/2、-2/3 の逆数は -3/2 です。後者では (-2/3) × (-3/2) = 1 と確かめられます。分母と分子の位置を交換しても、負の符号はその数に付いたままです。整数 -4 は -4/1 と見れば、逆数は -1/4 です。

0には逆数がありません。0にどんな数を掛けても1にはならないからです。このため0で割る計算は定義できません。一方、0を0でない数で割ると0です。0 ÷ (-3) = 0 は、0 × (-3) = 0 に戻して確認できます。割る数と割られる数のどちらが0かを取り違えないようにします。

基本例題：負の分数で割る

次の計算をし、答えを既約分数で表しましょう。

(-3/4) ÷ (-2/5)

まず割る数は -2/5 で、0ではありません。符号は負と負で同じなので、商は正です。大きさは 3/4 を 2/5 で割ったものになります。割る数の逆数は -5/2 ですから、次のように掛け算へ直します。

(-3/4) ÷ (-2/5) = (-3/4) × (-5/2) = +(3 × 5)/(4 × 2) = 15/8

図2のように、逆数を作るのは右側の割る数です。左側の -3/4 はそのままです。負の符号も保たれ、負と負の積が正になります。15と8には1以外の共通の約数がないので、15/8 は既約分数です。

答えが元の式に合うか、商に割る数を掛けて調べます。 (15/8) × (-2/5) = -30/40 = -3/4 となり、割られる数に戻ります。もし -15/8 と答えていたら、-2/5 を掛けた結果は +3/4 です。大きさは合っていても元の負の数に戻らないので、符号の誤りに気づけます。

分数の上下を入れ替える操作だけを覚えると、左側まで入れ替えたり、負の符号を消したりしがちです。割る数を書き囲むつもりで見て、その数との積が1になる数を作る、と言葉にすると操作の対象がはっきりします。計算の前に商の符号を予想しておくことも、最後の点検に役立ちます。

少し難しい例題：3つの数を順に扱う

次の計算をし、答えを既約分数で表しましょう。

(-6/7) ÷ (+3/14) × (-5/8)

掛け算と割り算が並ぶので、左から順に計算します。最初の商は符号が異なるため負です。割る数 +3/14 の逆数は +14/3 ですから、次のようになります。

(-6/7) ÷ (+3/14) × (-5/8) = (-6/7) × (+14/3) × (-5/8) = (-4) × (-5/8) = 20/8 = 5/2

途中の -4 は、6と3を2と1に、14と7を2と1にそれぞれ約分して求めました。次に -4 と -5/8 を掛けるので、符号は同じで正です。最後に20/8を約分します。

分かれ目は、最初の商の符号と、その商にもう1つの負の数を掛けた積の符号を別々に決めることです。負の符号が2つ見えることから最終結果が正だと予想しても、どの段階でどの数を扱ったかを途中式で示せます。逆数にするのは除号の直後の +3/14 であり、最後に掛ける -5/8 ではありません。

戻して点検すると、(5/2) ÷ (-5/8) = -4 です。さらに (-4) × (+3/14) = -6/7 となり、最初の割られる数に戻ります。操作を逆順にたどれば、答えの符号と大きさの両方を確かめられます。

誤答から直す：逆数と反対の数を混同しない

たとえば (-4/9) ÷ (-2/3) で、割る数の逆数を +3/2 としてしまう誤りを考えます。そのまま計算すると (-4/9) × (+3/2) = -2/3 となります。図3のように、誤りは分母と分子の交換ではなく、負の符号を正に変えたところにあります。

正しい逆数は -3/2 です。元の -2/3 と掛けると1になるので、逆数の定義に合います。+3/2 を掛けると -1 になり、逆数とはいえません。したがって (-4/9) × (-3/2) = +2/3 が正しい答えです。これに割る数 -2/3 を掛ければ -4/9 に戻ります。

別の誤りとして、割る数が0なのに逆数を作ろうとする場合があります。たとえば 5 ÷ 0 では、答えに0を掛けて5に戻すことができません。分数の形に無理に直さず、計算できないと判断します。反対に 0 ÷ 5 なら、答えは0です。0を掛けた結果が割られる数に戻るかで、2つを区別できます。

手順が止まったときの見直し

分数の除法では、計算を始める前に2つの数を区切って読みます。「左の数を、右の数で割る」と言い、右側が0でないことを確認します。右側が負の分数なら、その分数に付いている負の符号を含めて1つの数です。分子と分母を交換しても負の数のままであることを、元の数との積が1になるかで確かめます。

逆数が正しく作れても、掛け算の符号を間違うことはあります。その場合は元の除法に戻り、左と右の符号が同じか違うかを見ます。0でない数同士なら、同じ符号の商は正、違う符号の商は負です。掛け算に直した後の符号の判断と食い違ったら、数値を計算する前にどちらかの判断を修正します。

大きさが合わない場合には、約分をしない式を1行残す方法があります。分子同士、分母同士をそれぞれ掛けた後、分子と分母を同じ数で割ります。片方しか割っていなければ分数の値が変わるため、同じ数で割ったことを確認します。途中で約分した場合も、約分前の積と同じ値かを調べられます。

また、答えを戻す計算で元の数に合わなかったときは、すぐに元の式の符号を変えるのではなく、戻す式そのものを確認します。割り算の答えには元の割る数を掛け、掛け算の答えは、掛けた0でない数で割ります。3つの数を左から計算したときは、最後に行った操作から逆に戻します。0を掛けた後は割り戻せないので、元の掛け算に直接0を入れて確認します。

時間が足りずに途中で止まった場合も、書いた式に意味があれば続きから点検できます。割る数が0でないこと、答えの符号、逆数を掛けた式の順に残しておけば、どの判断まで済んだかを読み取れます。急いで符号と分数を一度に変えるより、1行ごとに何をしたかを明確にする練習が有効です。

0を含む式の判断

0がある式は、符号の表に機械的に当てはめず、どの操作をするのかを先に見ます。0は正でも負でもありません。0に数を掛けた積は0ですし、0を0でない数で割った商も0です。商については、0に割る数を掛けると割られる数の0になるため、元の式に戻せます。

割る数が0の場合は事情が異なります。割られる数が0でなくても0であっても、0で割ることはできません。特に 0 ÷ 0 では、どんな数に0を掛けても0になるため、1つの商を定められません。0でない数を0で割る場合には、掛けて元の0でない数になる候補がありません。理由は異なりますが、どちらも除法として答えを定めない点は同じです。

この確認は、逆数を作る前に行います。分母に0を置いた形を答えとして残すこともできません。問題を読んで、0が左にあるのか右にあるのかを区切れば、計算が進められる場合と進められない場合を見分けられます。

自分で解く練習

次の4問を解きましょう。分数の答えは既約分数、整数になる答えは整数で表します。計算できない場合は、その理由も書きます。

1. (-7) × (+4) を計算します。
2. (+5/6) ÷ (-10/9) を計算します。
3. (-3/5) × (-10/9) ÷ (+2/3) を計算します。
4. 0 ÷ (-8) と (-8) ÷ 0 をそれぞれ考えます。

答えと解き方

1. 答えは -28 です。符号が違うので負、絶対値の積は 7 × 4 = 28 です。(-28) ÷ (+4) = -7 と、最初の数に戻ります。正と誤答した場合は、答えを +4 で割っても -7 に戻らないことを確かめます。

2. 答えは -3/4 です。符号が違うので商は負です。割る数の逆数は -9/10 なので、(+5/6) × (-9/10) = -45/60 = -3/4 です。(-3/4) × (-10/9) = +30/36 = +5/6 と元に戻ります。+9/10 にしてしまうと戻した結果が負になり、元の正の数と合いません。

3. 答えは 1 です。まず負と負の積は正で、(-3/5) × (-10/9) = 30/45 = 2/3 です。次に (+2/3) ÷ (+2/3) = 1 と求めます。逆順に、1 × (+2/3) = +2/3、さらに (+2/3) ÷ (-10/9) = -3/5 と戻せます。最後の分数を掛けるのではなく割ることに注意します。

4. 0 ÷ (-8) は 0 です。0 × (-8) = 0 で、割られる数に戻ります。(-8) ÷ 0 は計算できません。どんな数に0を掛けても -8 にはならず、商を決められないからです。両方を0とする誤答は、割る数が0かどうかを見直して直します。

答え合わせでは正誤だけで終えず、まず符号、次に大きさ、最後に元の式に戻るかを調べます。分数の約分を間違えたときは、約分前の分子と分母を同じ数で割ったかを見ます。符号が違ったときは、逆数にした部分と2数の符号の組を追い直します。計算できない式では、答えを無理に作る代わりに、掛け算へ戻す条件を確認します。

覚えておくこと

• 0でない2数の乗除は、同符号なら正、異符号なら負です。
• 絶対値で大きさを計算し、決めた符号を付けます。
• 0でない数で割るときは、その数の逆数を掛けます。
• 負の数の逆数は負で、0で割ることはできません。
• 商に割る数を掛け、割られる数へ戻して点検します。

つまずいた箇所を見分ける

お子さまが答えを間違えたとき、まず元の式のどの数を逆数にしたかを指さして説明してもらいます。右側を正しく選べていれば、次にその数と逆数の積が1になるかを尋ねます。積が -1 になるなら、符号を反対にした可能性があります。積が1でも答えが違えば、符号の組や約分を別に調べます。

個別指導で確かめたいのは、正解を覚えているかよりも、0を見たときに割る数かどうかを判定し、戻す計算を選べるかです。途中で止まった場合も、正負の判断と大きさの計算のどちらまで進めたかが手掛かりになります。逆数の符号を保つ判断が、分数の乗除を支えます。