数検5級 正負の数と大小—数直線の位置と絶対値を区別して大小を判断する練習｜武蔵野個別指導塾

気温を数直線の左右で比べ、0からの距離を使う絶対値と区別します。負の数の大小や、整数を条件から絞る手順を確かめられます。

よくあるのは、受験者が気温の低さと絶対値の大きさを逆にする場面です。たとえば氷点下の気温を比べると、数字の部分が大きいほうを、そのまま高い気温と判断してしまうことがあります。温度の高さは数直線の位置で、絶対値は0からの距離で見ます。同じ数を見ても、問いによって注目するものが変わります。ここでは基準からの増減、絶対値、不等号を扱い、四則計算には進みません。

どんな判断が求められるか

正負の数と大小では、まず基準を0と決め、基準より上か下かを符号で表します。基準より上を正と決めたとき、基準より下は負です。基準そのものは0で、正の数にも負の数にも入りません。表した数の符号を見落とすと、その後の大小も逆になりかねません。

自分で練習する型は3つあります。1つ目は、基準より高い・低い、増えた・減ったという言葉から、正負の数を表す型です。どちらの向きを正にしたかを問題文から拾い、単位も確かめます。2つ目は、いくつかの数を小さい順に並べたり、2つの数の間に不等号を入れたりする型です。負の数同士では、数字の部分が大きいほうが小さくなる場合に注意します。

3つ目は、絶対値を求めたり、絶対値を条件として数を探したりする型です。数そのものを尋ねるのか、0からの距離を尋ねるのかで答えは変わります。次の説明や問題は考え方を練習するための自作で、特定の出題を予告するものではありません。

位置と距離を別々に見る

数直線では、0を決め、右向きを正の向きとします。等しい間隔で目盛りをつけると、右にある数ほど大きく、左にある数ほど小さくなります。正の数は0の右、負の数は0の左です。符号のない正の数は、たとえば3と書いても+3と書いても同じ数です。

図1のように、-4と+4は0から反対側にあり、どちらも0から4の距離にあります。絶対値はこの距離なので、両方とも4です。しかし数の大小では右側の+4が大きくなります。距離には向きがないため、絶対値に負の符号はつきません。0の絶対値は0です。

図1では、0を境に2つの点が左右に分かれています。絶対値が等しいということは同じ点という意味ではなく、0からの距離が等しいという意味です。距離が0でないなら、左右に対応する2つの数があります。距離が0なら、該当する位置は0の1つです。

不等号は大小の関係を短く書く記号です。a < bはaがbより小さい、a > bはaがbより大きいという意味です。開いている側に大きい数があると読めますが、形の暗記に頼る前に、どちらが右にあるかを決めてから記号を入れると確実です。たとえば-2 < 1は、-2が1より小さいということです。左右を入れ替えるなら1 > -2となり、同じ関係を表します。

数直線には整数の間にも数があります。-1.5は-2と-1のちょうど中間です。負の数で小数や分数が出たときも、0からの距離と左右を考えれば、整数と同じ方法で比べられます。正負が同じ数同士か、異なる数同士かを先に見て、必要なら目盛りを書きます。

基本例題：気温を低い順に並べる

ある朝の3地点の気温は、Aが-3℃、Bが+2℃、Cが-1℃でした。気温を低い順に地点名で並べ、それぞれの気温の絶対値を℃をつけて答えましょう。さらに、AとCの気温の大小を不等号で表しましょう。

まず、0℃を基準にします。AとCは0℃より低く、Bは0℃より高いので、AとCは0の左側、Bは右側です。Aは0から左へ3、Cは左へ1の位置です。図2のように、負の数では0から左へ遠いAがCより左にあります。

図2を左から読むと、A、C、Bの順です。したがって気温の低い順もA、C、Bです。数だけで書けば次の関係になります。

-3 < -1 < +2

この1行は、-3が-1より小さく、-1が+2より小さいことを表します。AとCについて指定された不等号は、-3 < -1です。気温の高さと数の大小は同じ向きで対応するため、AのほうがCより低いことも表せます。

続いて絶対値を調べます。Aの-3は0から3離れているので3℃、Bの+2は0から2離れているので2℃、Cの-1は0から1離れているので1℃です。ここでは気温の符号をつけず、0℃からの隔たりとして単位をつけています。絶対値の大きい順はA、B、Cとなり、気温の低い順とは一致しません。

答えを場面に戻して確認しましょう。Aは氷点下3℃、Cは氷点下1℃ですから、Aのほうが低い気温です。Bは氷点上なので、氷点下の2地点より高くなります。距離も0℃からそれぞれ3℃、2℃、1℃と読み直せるので、並びと絶対値は元の条件に合っています。

ここで「低い」と「絶対値が小さい」を同じ意味にすると、AとCを逆にします。問題に線を引くなら、まず「低い順」か「絶対値」かを区別しましょう。2つを同時に尋ねられたときは、順序を出す作業と距離を出す作業を別の行に書くと混ざりにくくなります。

少し難しい例題：距離と範囲を同時に使う

数直線上の整数xは、絶対値が4以下で、-2より大きいとします。条件に合う整数を小さい順にすべて書きましょう。ここで「以下」はその数を含み、「より大きい」はその数を含まないものとします。

絶対値が4以下という条件は、0からの距離が4以内という意味です。端の-4と+4も含め、その間の整数を考えます。一方、-2より大きい数は-2の右側にあります。-2自体は「より大きい」に当たらないので除きます。

2つの条件が重なるのは、-2より右から+4までです。整数に限って拾うと、答えは-1、0、1、2、3、4です。正の符号は省いて構いません。-2を含めるかどうかと、+4を含めるかどうかが判断の分かれ目です。

答えを元の条件へ戻します。並べた数はいずれも-2より右にあり、0から最も遠い4でも距離は4です。反対に、整数で-2以下のものは大小の条件を満たさず、4より大きいものは距離の条件を満たしません。したがって、候補の抜けや余分な数がないことも確かめられます。

「絶対値が4」と「絶対値が4以下」も区別します。前者なら距離がちょうど4の点を探し、後者なら距離が4の点とその内側を考えます。整数という条件がなければ、整数の間の小数なども含まれるので、整数の一覧をそのまま答えにすることはできません。

誤答を数直線に戻して直す

-5と-2を比べる問題で、「5は2より大きいから-5 > -2」と答えたとします。数字の部分を比較できていても、それを負の数の大小にそのまま移したことが誤りです。-5の絶対値は5、-2の絶対値は2ですが、求められているのは数そのものの大小です。

図3のように2点を置くと、-5は-2より左にあります。正しい関係は-5 < -2です。左端の点から右端の点へ読むと数が大きくなるので、記号の向きも確かめられます。

図3では、0からの距離は-5のほうが長いことも見えます。絶対値については5 > 2ですが、元の数については-5 < -2です。2つの文の主語を「数」と「絶対値」に分けて書くと、どちらの大小を答えたのかが明確になります。

もう1つの誤りは、絶対値が3の数を+3だけとすることです。距離だけでは0の左右を指定していません。-3も0からの距離が3なので、正負の2つが必要です。ただし、絶対値が0なら左右に別の点はなく、答えは0です。逆に、絶対値が負の数になることはないため、絶対値が-3となる数はありません。候補がないときも、距離という定義に戻れば理由を説明できます。

不等号を書き間違えたときは、数を並べ替える前に、文として読み直しましょう。「-5は-2より小さい」と読める形なら-5 < -2です。数の位置、言葉、記号の3つが同じ関係を示しているか確かめると、記号の向きだけを直して数の順序を取り違える失敗も防げます。

数直線を描くときは、0を紙の端に置かず、負の数を置ける余白を残します。目盛りの間隔は左右でそろえ、左にも右にも同じ長さで1ずつ数えます。間隔が不ぞろいだと、距離の長短を図から確かめにくくなります。目盛りが足りないときは途中で詰めずに線を延ばすか、最初から間隔を調整しましょう。

また、基準からの増減を表す問題では、正の向きを確認してから符号をつけます。たとえば基準の水位より上を正に決めたなら、基準と同じ高さは0、下の位置は負です。基準そのものが変われば同じ場所を表す数も変わり得るので、数だけを見て別の基準の記録と比べてはいけません。問題文で同じ基準を使っているかが、大小を比べる前の確認です。

絶対値を答えるときは、元の数の符号を消す操作として覚えるだけでなく、距離を声に出して説明してみます。0から同じ距離の2点を候補にするとき、一方だけが別の条件を満たすこともあります。その場合は2点を挙げた後、それぞれに条件を当てて残す点を決めます。候補を探す段階と、条件で絞る段階を分けると判断を追いやすくなります。

練習問題

先に4問を続けて解き、答えを見たあとで条件に戻って確認しましょう。気温と高さは、指定した基準と単位に合わせて表します。

1. ある場所の基準の高さを0 mとし、基準より上を正とします。基準より7 m下の位置と、基準より2 m上の位置を、それぞれ符号をつけた整数と単位で表しましょう。
2. -6、0、+3、-4を小さい順に並べ、不等号でつなぎましょう。また、最も小さい数の絶対値を整数で答えましょう。
3. 絶対値が5の数をすべて整数で答えましょう。また、絶対値が-1の数があるか答え、理由を述べましょう。
4. 整数yは絶対値が3未満で、-1以上です。条件に合う整数を小さい順にすべて書きましょう。「未満」はその数を含まず、「以上」はその数を含みます。

練習の答えと確かめ方

1. 答えは順に-7 m、+2 mです。上を正に決めているので、反対向きの下は負で表します。-7 mは0 mより下に7 m、+2 mは上に2 mの位置です。元の高さの条件に戻して、方向と基準からの隔たりの両方が合うことを確かめます。符号だけ合っていても、基準や単位を取り違えていないか見ることが必要です。

2. 答えは-6 < -4 < 0 < +3、最も小さい数の絶対値は6です。負の2数は、0から左へ遠い-6が先です。0は正と負の間にあり、+3は0の右にあります。各数を数直線に置き直して左から読むと、指定された4数が1回ずつ並んでいます。-6から0までの距離も6なので、絶対値の答えを確認できます。

3. 絶対値が5の数は-5、+5です。どちらも0からの距離が5で、反対側にあります。絶対値が-1の数はありません。距離は負にならないためです。-5と+5を0からの距離で読み直し、-1という距離は取れないことを確かめます。正の候補だけを出した場合は、0の反対側にも同じ距離の点があるか見直しましょう。

4. 答えは-1、0、1、2です。絶対値が3未満なので、-3と+3は含まず、その間の整数が候補です。-1以上という条件は-1を含み、その右側を取ります。両方に入る整数が答えです。各数は0から3より短い距離にあり、-1以上です。候補のうち-2は後の条件に合わず、端の-3と+3は前の条件に合いません。範囲の端を含むかどうかを別々に調べると、数え落としを防げます。

覚えておくこと

数直線では右にある数ほど大きくなります。
絶対値は0からの距離で、負になりません。
負の数同士では、0から遠い数が小さくなります。
以上・以下は端を含み、より大きい・未満は端を含みません。

つまずきの見分け方

お子さまが負の数を逆順に並べたときは、すぐに不等号を直す前に、数直線の0と2つの数を置いてもらいます。点の位置が逆なら符号と向きの対応を、位置は正しいのに記号が逆なら「どちらが右か」と記号の読み方をそれぞれ確かめます。絶対値で止まる場合は、数の位置と0からの距離を別の言葉で説明してもらいます。

個別指導では、条件に端を含めるか、整数に限るかも本人の判断として聞きます。答えを暗記しているかより、候補を元の条件に戻せるかを見ます。0からの距離と数直線の左右を分けると、正負の数の大小は筋道を立てて判断できます。