高校物理基礎 運動エネルギー—合力の仕事と速さの変化を結びつけて解く｜武蔵野個別指導塾

速さの2乗から運動エネルギーの比を出し、摩擦の負の仕事を含めて終わりの速さを求める手順を練習します。

よくあるのは、同じ物体の速さが2倍になったとき、運動エネルギーも2倍だと答える場面です。質量は変わらなくても、式の中では速さを2回掛けます。速さを2倍にすると、2倍が2回重なってエネルギーは4倍になります。式を書いて比べると、見た目の速さに引きずられずに済みます。

問題文から選ぶ2つの道筋

定期テストでは、質量と速さから運動エネルギーを計算する型が出ます。質量や速さの比が与えられ、エネルギーの比を問うこともあります。最初に質量を kg、速さを m/s にそろえ、速さを2乗してから計算します。向きが反対の運動でも、速さが同じなら運動エネルギーは同じです。

もう1つは、物体に働く力の仕事から速さの変化を求める型です。初めと終わりの運動エネルギーを区別し、その差を力の仕事の合計につなぎます。摩擦があるときは、押す力の仕事に加えて摩擦力の負の仕事も数えます。押す力の仕事だけを使うと、速さを過大に見積もります。

どちらの型でも、対象の物体と、どの区間の初めと終わりを比べるかを決めます。力の仕事を扱うときは、移動方向と力の向きを確かめます。位置エネルギーを使う考え方はここでは扱わず、仕事と運動エネルギーの変化に絞ります。

速さの2乗と仕事の収支

質量 m kg の物体が速さ v m/s で動くとき、運動エネルギー K は次の式で表します。

K = 1/2 × m × v²

単位は J（ジュール）です。例えば質量を3倍、速さを2倍にすると、K は 3 × 2² = 12 倍です。速さの変化には2乗がかかりますが、質量にはかかりません。負の速度を代入しても2乗は正になり、運動エネルギーは負になりません。停止しているときは速さが0なので K も0です。

図1のように、同じ物体について速さを比べると、2倍の速さに対応するエネルギーは4倍です。図の箱は量の比を表し、実際の物体の大きさを表すものではありません。

図1では、初めの速さを v、初めのエネルギーを K としました。次の状態は速さ 2v なので、式に入れると 1/2 × m × (2v)² = 4K です。速さの数値を先に2乗し、その後に質量と1/2を掛けると、計算の順序が見えます。

物体に働く力がした仕事の合計を W とすると、仕事と運動エネルギーの関係は次のようになります。

W = 終わりの K − 初めの K

この W は、対象の物体に働いた力の仕事を合計したものです。一定の力が移動と同じ向きなら、仕事は力の大きさと移動距離の積です。逆向きならその積にマイナスを付けます。力が移動に垂直なら仕事は0です。仕事は J で表し、運動エネルギーの差と単位がそろいます。

合計が正なら K は増え、負なら K は減ります。合計が0なら初めと終わりの K は等しく、同じ物体では速さも等しくなります。ただし、合力の仕事が0ということは、各力の仕事がそれぞれ0という意味ではありません。正の仕事と負の仕事が打ち消し合う場合もあります。

符号と単位を先に確認する

仕事の符号は、力の向きと移動の向きの組み合わせで決まります。右向きを正と決めても、左向きに移動する場合には、左向きの力は移動と同じ向きなので正の仕事をします。正方向の選び方を変えても、同じ場面について計算した仕事や運動エネルギーの値は変わりません。矢印を比べるときは、座標の符号だけでなく実際にどちらへ動いたかを読み取ります。

仕事の式には、その力が働いていた間の移動距離を使います。力が途中から加わる問題で、出発点からの全距離を掛けると、力がなかった区間の分まで数えてしまいます。区間を分けてそれぞれの仕事を求め、必要な区間について足し合わせます。力が複数あるときも、それぞれの向きと移動を比べてから合計します。

単位の点検も計算の抜けを見つける手がかりとして役立ちます。1 N は 1 kg・m/s² に相当するので、N に m を掛けた仕事の単位は kg・m²/s² です。運動エネルギーの式の kg × (m/s)² と同じ形になります。J と m/s を足すことはできません。終わりの速さを問われたら、J を出したところで終えず、もう一度エネルギーの式に入れて速さを求めます。

基本例題：押す力の仕事から終わりの速さへ

水平な床の上を右向きに動く質量 2 kg の台車があります。初めの速さは 3 m/s です。台車を右向きに一定の力 8 N で押し、右へ 5 m 移動させます。摩擦と空気抵抗は無視します。床からの垂直抗力と重力は鉛直方向に働きます。台車を対象とし、右向きを正とします。終わりの速さを m/s の整数で求めてください。

図2のように、押す力と移動はともに右向きです。力が作用する相手は台車で、矢印は台車に加える力を表します。

まず初めの運動エネルギーを求めます。

初めの K = 1/2 × 2 kg × (3 m/s)²
= 1/2 × 2 × 9 J
= 9 J

次に、押す力の仕事を求めます。力と移動が同じ向きですから、符号は正です。

押す力の仕事 = 8 N × 5 m = 40 J

重力と垂直抗力はどちらも水平移動に垂直なので、各仕事は0 Jです。したがって、台車に働く力の仕事の合計は 40 J です。図2の距離は押す力が働いている区間の距離であり、力を加える前の移動は含みません。

仕事と運動エネルギーの関係に代入します。

40 J = 終わりの K − 9 J
終わりの K = 9 J + 40 J = 49 J

終わりの速さを v m/s とすると、

49 = 1/2 × 2 × v²
v² = 49
v = 7 m/s

速さは負にならないので、答えは 7 m/s です。逆に 7 m/s を式へ戻すと終わりの K は 49 J で、初めとの差は 40 J です。これは 8 N の力が 5 m の間にした仕事に一致します。重力と垂直抗力の仕事を0としている理由も、移動方向との関係から説明できます。

摩擦があるときは仕事を合計する

質量 4 kg の箱が水平な床を右向きに 5 m/s で動いています。右向きを正とし、箱を対象とします。箱には右向きの一定の力 6 N と左向きの一定の動摩擦力 10 N が働き、箱は右へ 8 m 滑ります。この区間で箱は止まらず右へ進みます。重力と垂直抗力は鉛直方向に働き、空気抵抗は無視します。終わりの速さを m/s の整数で求めてください。

初めの K は 1/2 × 4 × 5² = 50 J です。右向きの力の仕事は 6 × 8 = 48 J、摩擦力は移動と逆向きなので -10 × 8 = -80 J です。鉛直方向の2つの力の仕事は0 Jです。仕事の合計は 48 − 80 = -32 J となります。

終わりの K − 50 = -32 より、終わりの K は 18 J です。したがって 1/2 × 4 × v² = 18、v² = 9 です。速さは 3 m/s です。答えを戻すと、18 − 50 = -32 J で、力ごとの仕事の合計と一致します。摩擦を含むので、運動エネルギーが変わらないと決めてはいけません。

ここで条件の分かれ目を確かめます。同じ初速と力のまま移動距離を十分長くすると、箱はいずれ停止します。停止前の式を、停止後も同じ向きに滑り続けるとして使うことはできません。例えば右へ 14 m 動くと仮定すれば、仕事の合計は -56 J で、終わりの K が -6 J になってしまいます。運動エネルギーは負にならないので、この結果は「14 m の間ずっと右へ滑る」という仮定と条件が両立しない印です。

実際に止まるまでの距離を d m とすれば、0 − 50 = (6 − 10) × d です。よって d = 12.5 m です。停止後の運動を知りたい場合は、停止した時点以降に働く力と摩擦の条件を別に確認します。負の K をそのまま速さに直そうとする前に、区間の設定を見直します。

誤答を式のどこから直すか

速さが2倍ならエネルギーも2倍、と答えた場合は、速さに付く2乗が抜けています。図3のように、同じ質量で速さを3 m/sから6 m/sにすると、速さの2乗は9から36へ変わります。比は 36 / 9 = 4 です。質量が同じことを確認してから、2乗した値を比較し直します。

図3の比較で、両方の質量が 2 kg なら K はそれぞれ 9 J と 36 J です。速さの差 3 m/s をエネルギーの差と混同しないように、単位も添えます。質量が異なる場合は速さの比だけでは決まらず、質量の比も掛けます。

次の誤りは、終わりの K を仕事そのものとすることです。初めから静止しているときは初めの K が0なので数値が一致しますが、動いている状態から始めた場合は初めの K を足します。基本例題では、仕事 40 J に初めの 9 J を加えて 49 J にしました。

また、摩擦力の仕事を正にしてしまうと、減速の場面なのにエネルギーが増える答えになります。力の矢印と移動の矢印を描き、逆向きなら負とします。合力が移動と逆向きの区間で終わりの K が増えたなら、符号や対象の力の抜けを調べます。運動エネルギーが負と出た場合は計算ミスのほか、物体が途中で止まる可能性も確かめます。

練習：条件を整理してから計算する

次の4問は、各問の対象を運動する物体とします。各力は記された区間で一定であり、記載のない抵抗は無視します。答えは指定の単位で整数または分数を使って表してください。

1. 質量 3 kg の球が 4 m/s の速さで直線上を動きます。運動エネルギーを J で求めてください。正方向は球の進む向きとします。
2. 質量が同じ2つの小車 A、B が直線上を動きます。A の速さは 2 m/s、B の速さは 6 m/s です。B の運動エネルギーは A の何倍ですか。正方向は A の進む向きとし、B は逆向きです。
3. 水平な机上の質量 1 kg の物体が右向き 2 m/s で動いています。右向きを正とし、右向きの一定の力 3 N を加えて右へ 4 m 動かします。摩擦は無視します。終わりの運動エネルギーを J で求めてください。
4. 水平な床で質量 2 kg のそりが右向き 4 m/s で滑っています。右向きを正とし、左向きの一定の摩擦力 3 N を受けながら右へ 4 m 移動します。この間は止まりません。終わりの速さを m/s で求めてください。

解答と道筋

1. 1/2 × 3 × 4² = 24 J です。4² = 16 を先に出します。逆に 24 = 1/2 × 3 × v² とすると v² = 16 で、与えられた速さ 4 m/s に戻ります。

2. 同じ質量なので比は速さの2乗の比です。B / A = 6² / 2² = 36 / 4 = 9 となり、9倍です。B の進行方向は反対ですが、速度の符号を使っても (-6)² = 36 となります。9倍から速さの比を戻すと 3倍で、与えられた 6 / 2 と一致します。

3. 初めの K は 1/2 × 1 × 2² = 2 J です。右向きの力の仕事は 3 × 4 = 12 J で、鉛直方向の重力と垂直抗力の仕事は0 Jです。終わりの K − 2 = 12 より、答えは 14 J です。14 − 2 = 12 J は力と距離の積に戻ります。

4. 初めの K は 1/2 × 2 × 4² = 16 J です。摩擦の仕事は -3 × 4 = -12 J、鉛直方向の力の仕事は0 Jです。終わりの K は 16 − 12 = 4 J です。1/2 × 2 × v² = 4 より、終わりの速さは 2 m/s です。4 − 16 = -12 J で、摩擦の仕事に戻ります。終わりの速さが正なので、指定された区間内で止まらない条件とも一致します。

手元に残す要点

• 運動エネルギーは 1/2 × 質量 × 速さ² です。
• 同じ質量で速さが2倍なら、エネルギーは4倍です。
• 力の仕事の合計は、終わりの K から初めの K を引いた値です。
• 移動に逆向きの力は負の仕事をします。
• 負の K が出たら、符号と停止までの区間を調べます。

解けなくなった場所を見つける

式を覚えていても答えがずれるときは、まず「2倍にするのは速さか、速さの2乗か」を自分の言葉で説明してみます。次に初めと終わりの K を別々の欄に書き、その差が仕事に等しいことを確認します。式の左側を終わりから初めの順にしたか、力ごとの仕事を足したかを見ると、数字の打ち間違いと考え方の間違いを分けられます。

個別指導で確かめるなら、矢印を描いた後に「この力は物体にどちら向きに働き、移動と比べて仕事の符号はどうなるか」と説明する場面を設けます。初速が0でない問題と、途中で止まりうる問題を並べると、初めのエネルギーの抜けや区間の読み違いも見えます。速さを2乗し、仕事を符号つきで数えると、運動の前後が1本の式でつながります。