高校物理基礎 位置エネルギー—基準の高さとばねの自然長から蓄えた量を求める｜武蔵野個別指導塾

高さの基準やばねの自然長からの伸びを使う計算を例題でたどります。焦点は位置エネルギーです。

よくあるのは、高校生がばねの長さ全部を伸びとして式に代入する場面です。自然長があるばねでは、端から端までの長さと、自然長からの変化は同じではありません。例えば、長さが示された図には、変化前の長さも書き込んでから差を取ります。重力による位置エネルギーも、高さをどこから測るかを決めて初めて値が定まります。基準を図に書き、量の意味を確かめてから計算しましょう。

何を基準にした量かを問う

定期テストでは、まず物体の質量と高さから重力による位置エネルギーを求める型があります。床を基準にした値と、机の面を基準にした値を比べる場合もあります。同じ物体でも基準が違えば高さの数値は変わります。一方、同じ基準で測った2点間の差は、基準を移しても変わりません。値と変化量を区別して読むことが必要です。

次に、ばねの自然長と変形後の長さから弾性力による位置エネルギーを計算する型があります。伸びが直接書かれているときと、長さから引き算する必要があるときでは、最初の作業が違います。さらに、伸びと力の関係を表す図から仕事を面積として読み取る型もあります。力は伸ばす途中で大きくなるため、最後の力を全区間にかけることはできません。

ここでは重力とばねの位置エネルギーを扱います。速さと高さを結ぶ力学的エネルギー保存の計算は別の範囲です。位置エネルギーそのものを求めるときには、まず高さや変形の基準をそろえることに集中します。

高さと変形を図に書き込む

重力による位置エネルギーは、基準の高さで0と決め、質量を m、重力加速度の大きさを g、基準から上向きに測った高さを h とすると、U = mgh です。高さ h は基準より下なら負です。例えば基準より下の場所の値が負でも、エネルギーの差を計算するときに矛盾はありません。0の位置を自由に選んだ結果です。

図1のように、基準面を選ぶと同じ物体の高さの読みが決まります。重力による位置エネルギーは物体と地球の位置関係に対応する量です。高さが増えるほど値は増えますが、値そのものは基準の選び方に依存します。

図1のばねでは、自然長から右に伸ばした距離が変形量です。自然長を基準として変形がないときの弾性力による位置エネルギーを0とします。ばね定数を k、伸びまたは縮みの大きさを x とすれば、U = kx² / 2 です。x は長さの変化であり、変形後の全長ではありません。縮んだ場合も変形の大きさを使えば値は正です。ばねが理想的で、弾性力の大きさが変形量に比例する範囲を考えます。

単位も先にそろえます。質量は kg、高さや変形は m、ばね定数は N/m で扱い、結果を J で表します。cm の長さを m に直す前に二乗すると、換算の誤りが大きく残ります。例えば 25 cm は 0.25 m です。自然長と変形後の長さがともに cm で与えられたら、その差を取ってから m に直しても同じです。

ばねをゆっくり伸ばすと、外から加える力の大きさは0から kx まで比例して増えます。横軸に伸び、縦軸に外力の大きさを取ると、原点からの直線と横軸で囲む三角形の面積が外力の仕事です。その面積は x × kx / 2 で、蓄えられた位置エネルギーに等しくなります。ここではばねの質量を無視し、途中の損失もない理想的な操作を考えます。

基本例題：長さから伸びを取り出す

軽い理想的なばねの自然長は 20 cm、ばね定数は 100 N/m です。ばねをゆっくり引いて全長を 30 cm にします。自然長での弾性力による位置エネルギーを0とし、変形後の位置エネルギーを小数で J 単位まで求めてください。力は変形量に比例し、損失はないものとします。

図2のように、引き算の対象は変形後の全長と自然長です。右向きを伸びの正方向に取ります。伸びの大きさ x は次の通りです。

x = 30 cm − 20 cm = 10 cm

x = 0.10 m

ばね定数と変形量を式に代入します。単位まで書くと、途中で cm を混ぜていないか確かめられます。

U = kx² / 2

U = 100 × 0.10² / 2

U = 0.5 J

したがって答えは 0.5 J です。変形後の長さ 30 cm を代入すると、自然長の部分まで伸びに数えたことになります。まず 20 cm に 10 cm を足して 30 cm に戻ることを確認してください。そのうえで、終点の外力は 100 × 0.10 = 10 N、力の平均は比例関係から 5 N です。ゆっくり伸ばす外力の仕事は 5 N × 0.10 m = 0.5 J となり、位置エネルギーの結果と一致します。

力の平均を使うときは、初めが自然長であることに注意します。すでに伸びている状態からさらに伸ばすときは、初めの力は0ではありません。その場合は両端の力の平均を使うか、それぞれの状態の位置エネルギーを計算して差を取ります。

基準を動かす問題と、変形を変える問題

質量 2.0 kg の小物体が床から 3.0 m の棚にあります。重力加速度の大きさを 10 m/s² と仮定します。床から上向きを正とし、床を基準とする値と、床から 1.0 m の台の面を基準とする値を、それぞれ整数の J で求めます。さらに、物体が棚から台の面まで下がったときの位置エネルギーの変化を整数の J で求めてください。重力加速度はこの高さの範囲で一定とします。

床を基準にすると棚の高さは 3.0 m です。したがって棚の位置エネルギーは 2.0 × 10 × 3.0 = 60 J です。台の面を基準にすると、棚はその面より 3.0 − 1.0 = 2.0 m 上なので、2.0 × 10 × 2.0 = 40 J です。同じ棚の物体でも、0と決めた位置が違うため値が異なります。

変化は「後 − 前」で求めます。床基準では台の面の値が 2.0 × 10 × 1.0 = 20 J なので、20 − 60 = -40 J です。台の面を基準にすると後の値は0、前の値は 40 J なので、0 − 40 = -40 J です。どちらでも 40 J 減ります。高さの差は 2.0 m であり、減少の大きさ 40 J を重力の大きさ 20 N で割ると 2.0 m に戻ります。

分かれ目は、何を尋ねられているかです。ある地点の値なら基準面が必要です。2点間の変化なら同じ基準で前後を計算します。途中で基準を変えて一方の値だけを引くと、比較できません。基準より下の点も含むときは、上向きを正にした高さを負の数で表します。

ばねの途中からの変化でも、後の値から前の値を引きます。自然長を0とした位置エネルギーをそれぞれ求めるので、変形量の差をそのまま二乗する方法とは異なります。例えば変形が a から b へ変われば、変化は k(b² − a²) / 2 です。b − a は追加で動かした距離であり、最終状態の自然長からの変形量ではありません。

誤答を手がかりに戻る場所を探す

図3のように、自然長 15 cm のばねを全長 25 cm にしたとき、「伸びは 25 cm」と答える誤りがあります。原因は、図の端から端までを見て、自然長の部分を引き忘れることです。修正すると伸びは 25 − 15 = 10 cm、つまり 0.10 m です。自然長に伸びを足せば 15 + 10 = 25 cm となり、元の全長に戻ります。

図3では全長と伸びを別の線で示しています。式に入れる前に、どちらが変化した部分なのかを指でたどると、数値の選び間違いを見つけられます。縮んだ場合には自然長から変形後の長さを引き、縮みの大きさを正で表します。

別の誤りとして、ばねを自然長から伸ばす外力の仕事を「終点の力 × 伸び」とする場合があります。外力は最初から終点の大きさではありません。比例して増える力の平均は終点の半分です。力と伸びの図で三角形を描き、長方形全体を使っていないか確認しましょう。反対に、ばね自身が物体にする仕事は伸ばす向きと力の向きが反対なので負です。外力の仕事と作用する相手を混ぜず、符号を言葉でも確かめます。

高さの問題では「基準面より下だから値は0」とする誤りもあります。0は基準面で定義した値であり、それより下の高さは負です。基準を変えれば値は変わりますが、同じ2点間の差は変わりません。負の値を見たときは、先に座標の向きと基準面を図に戻して判断します。

練習：条件を読んで自分で立式する

以下はそれぞれ独立した問題です。重力加速度は問題ごとに与えた一定値を使い、ばねは軽く理想的で、力の大きさは変形量に比例します。数値は指定された形で答えてください。

1. 質量 3 kg の物体が床から 4 m の高さにあります。床を基準、上向きを正とし、重力加速度を 10 m/s² と仮定します。位置エネルギーを整数の J で求めてください。
2. 質量 1 kg の物体が床から 2 m の位置にあります。床から 5 m の面を基準、上向きを正とし、重力加速度を 10 m/s² と仮定します。位置エネルギーを符号つきの整数の J で求めてください。
3. 自然長 12 cm、ばね定数 200 N/m のばねを全長 18 cm にゆっくり伸ばします。自然長での位置エネルギーを0とし、伸びを m、位置エネルギーを小数の J で求めてください。損失はないものとします。
4. ばね定数 50 N/m のばねを、自然長から 0.20 m 縮んだ状態から 0.10 m 縮んだ状態へゆっくり戻します。自然長での位置エネルギーを0とし、位置エネルギーの変化を符号つきの小数の J で求めてください。損失はないものとします。

解答と確かめ

1. 床を0とすると h = 4 m です。U = 3 × 10 × 4 = 120 J です。重力の大きさは 30 N なので、120 J を 30 N で割ると高さ 4 m に戻ります。質量と重力加速度を掛けた量が力であることも確認します。

2. 基準から測った高さは 2 − 5 = -3 m です。U = 1 × 10 × (-3) = -30 J です。基準より 3 m 下という意味で、基準の床からの高さ 5 m に -3 m を加えると、元の 2 m に戻ります。負の符号は高さの基準と向きから生じています。

3. 伸びは 18 − 12 = 6 cm = 0.06 m です。U = 200 × 0.06² / 2 = 0.36 J です。自然長 12 cm に 6 cm を足すと全長 18 cm に戻ります。また終点の外力は 200 × 0.06 = 12 N、平均は 6 N なので、外力の仕事は 6 × 0.06 = 0.36 J です。

4. 前の値は 50 × 0.20² / 2 = 1.0 J、後の値は 50 × 0.10² / 2 = 0.25 J です。変化は 0.25 − 1.0 = -0.75 J です。変形の大きさは 0.10 m 小さくなり、力の大きさは 10 N から 5 N に減ります。その平均 7.5 N と戻る距離 0.10 m の積は 0.75 J で、減少の大きさと一致します。ばねの力は戻る向きに働き、ばねがする仕事は正です。

力の図を面積として読む

横軸を変形量、縦軸を力の大きさにした図では、ある幅の下にある面積がその区間の仕事に対応します。自然長からの区間なら三角形ですが、途中からの区間は台形です。両端の力が違っても、直線的に変化するので、2つの力の平均に移動距離を掛けて面積を求められます。図の縦軸を N、横軸を m で読めば、積は N・m となり J に対応します。

この読み方では、面積の大きさと仕事の符号を分けて考えます。外からゆっくり伸ばす力は移動と同じ向きなので正の仕事です。ばね自身の力は移動と反対向きなので負の仕事です。力が誰から誰に働くかを先に書いておくと、同じ面積を使っても符号を取り違えにくくなります。

手元に残す4行

• 重力による位置エネルギーは、基準から上向きの高さ h を使って mgh です。
• ばねの位置エネルギーは、自然長からの変形の大きさ x を使って kx² / 2 です。
• 長さは m にそろえ、状態の変化は後の値から前の値を引きます。
• 力が比例して変わるとき、仕事は力と変形の図の面積で確かめます。

答えが合わないときに見る順番

高さの問題で符号が合わなければ、基準面に0を書き、物体がその上と下のどちらにあるかを説明してみてください。数値だけを直すより、位置関係に戻れば別の基準を与えられた問題にも対応できます。ばねの答えが大きすぎる場合は、全長と自然長を並べて差が変形量になっているか、cm を m に直してから二乗したかを見ます。

個別指導では、図を見ながら「どこを0にしたか」「式の x は図のどの部分か」を自分の言葉で示せるか確かめます。さらに、求めた変化量を元の長さに戻す確認や、力の図の面積から同じ仕事が出る理由を説明できるかを見ると、公式の暗記と条件の読み取りを区別できます。基準と差を図に残せば、位置エネルギーの値の意味が見えてきます。