高校物理基礎 仕事と仕事率—力と移動の向きから仕事の符号と速さを求める｜武蔵野個別指導塾

荷物を水平に運ぶときの垂直な力、逆向きの摩擦、斜めの力を比べ、時間あたりの仕事まで、符号から考える仕事率です。

よくあるのは、荷物を水平に運ぶ場面で、荷物を上向きに支える力にも、移動距離を掛けて仕事を数えてしまう場面です。腕に力を入れて疲れることと、その力が荷物にする物理の仕事は同じ意味ではありません。どの物体に注目するかを決め、力の向きと移動の向きを矢印で見比べると、仕事の符号や大きさを判断できます。

答えを出す前に見たい向き

定期テストでは、一定の力と移動距離から仕事を求める型が基本です。力が移動と同じ向きなら正、反対向きなら負、垂直なら0になります。力の大きさだけを見て正の数を掛けると、摩擦力の仕事や支える力の仕事で間違えます。

もう1つは、斜めの力を移動方向とそれに垂直な方向に分ける型です。移動方向の成分を使えば、垂直な成分を混ぜずに計算できます。必要な三角比の値は問題の条件として与えられます。角度が水平線からなのか鉛直線からなのかにも注意してください。

仕事と時間から仕事率を出す型では、仕事の総量を時間で割ります。ここでの仕事率は、その時間内の平均です。同じ仕事でも短い時間で行えば、仕事率は大きくなります。仕事率の単位 W はワットで、仕事を表す文字 W と区別して読みます。

力のうち移動に沿う部分を使う

一定の力が物体に働き、物体が一直線に移動するとします。対象は力を受けて移動する物体です。移動の向きを正とすると、その向きの力の成分を F、移動距離を s として、仕事は W = Fs です。F は向きに応じて正にも負にもなります。力を N、距離を m で表せば、仕事の単位は N・m、つまり J です。

図1のように、移動に沿う成分は移動を助ける向きか、妨げる向きかを見ます。移動に垂直な成分は、その向きへの移動がないので仕事をしません。斜めの力は、元の力を移動方向と垂直方向の成分に分けて考えます。力の矢印はどれも物体に作用するものです。

図1では右向きの移動に対し、右向きの力の仕事は正、左向きの力の仕事は負、上向きの力の仕事は0です。負の仕事は仕事が存在しないという意味ではありません。たとえば滑っている物体に逆向きに働く摩擦力は、負の仕事をします。どの力の仕事を求めるのかが指定されたら、その力を取り出して計算します。

力が一定でも、途中で移動の向きが変わるときには、区間を分けて各区間の仕事を足します。また、力の向きと大きさが途中で変化する問題を、1つの一定力として扱ってはいけません。以下では、各区間で指定された力が一定であるとします。仕事率は仕事を時間で割った量で、仕事を J、時間を s で表すと単位は J/s、すなわち W です。

基本例題：箱を水平に押す

水平な床の上の箱に、右向きに一定の力 12 N を加え、箱を右へ 5.0 m 移動させました。箱には左向きの一定の摩擦力 4.0 N も働きます。箱の鉛直方向の移動はなく、重力と床からの垂直抗力は鉛直方向です。移動に要した時間は 10 s です。右向きを正とし、各力の仕事、これらの力の仕事の合計、および押す力の平均の仕事率を求めてください。答えは小数第1位まで、仕事は J、仕事率は W で表します。

対象は箱です。押す力と摩擦力を別々に調べ、それから合計します。図2のように移動は右向きなので、右向きの成分を正とします。鉛直方向には移動しないため、重力と垂直抗力の仕事はそれぞれ0です。

図2の押す力は移動と同じ向きです。したがって、その仕事を W押 とすると、

W押 = 12 × 5.0 = 60.0 J

です。摩擦力は移動と反対向きなので、右向きの成分は -4.0 N です。摩擦力の仕事を W摩 とすると、

W摩 = (-4.0) × 5.0 = -20.0 J

です。重力と垂直抗力は移動に垂直ですから、各々の仕事は 0.0 J です。これらの仕事の合計は、符号を含めて足して、

60.0 + (-20.0) + 0.0 + 0.0 = 40.0 J

となります。合計は、右向きの合力 12 − 4.0 = 8.0 N に距離を掛けた 8.0 × 5.0 = 40.0 J とも一致します。合力の仕事と、押す力だけの仕事は区別してください。

押す力の平均の仕事率 P は、押す力の仕事を所要時間で割るので、

P = 60.0 ÷ 10 = 6.0 W

です。40.0 J を割ると合計の仕事に対応する仕事率になり、問われた値とは異なります。6.0 W を 10 s 続けた仕事は 60.0 J に戻るので、仕事率の単位と対象も確かめられます。摩擦力を無視する条件ではないことに注意してください。

斜めに引くときの分かれ目

水平な床上のそりを、ロープで右上向きに一定の力 50 N で引き、右へ水平に 8.0 m 移動させました。ロープと水平のなす角は 37° とし、cos 37° = 0.80、sin 37° = 0.60 とします。移動中の摩擦力は左向きに一定の 10 N です。鉛直方向の移動はありません。移動に 20 s かかったとき、ロープの力と摩擦力の仕事、およびロープの力の平均の仕事率を求めてください。右向きを正とし、小数第1位まで、仕事は J、仕事率は W で答えます。

対象はそりです。移動は水平なので、ロープの力を水平と鉛直に分け、水平成分から仕事を求めます。角度は水平から測っていますから、水平成分は 50 × cos 37° です。与えられた値を代入すると、

水平成分 = 50 × 0.80 = 40 N

鉛直成分 = 50 × 0.60 = 30 N

です。水平成分は右向きで、鉛直成分は上向きです。成分の大きさの比が 40 : 30 : 50 となり、元の力に整合することも見られます。上向きに 30 N の力があっても、そりの鉛直移動は0なので、その成分の仕事は0 Jです。

ロープの力の仕事は、水平成分を使って、

40 × 8.0 = 320.0 J

です。摩擦力の右向き成分は -10 N なので、

(-10) × 8.0 = -80.0 J

です。ロープの力の平均の仕事率は、

320.0 ÷ 20 = 16.0 W

です。16.0 W と 20 s から仕事は 320.0 J に戻り、320.0 J を 8.0 m で割ると水平成分 40 N に戻ります。もし角度が鉛直線から与えられていれば、同じ図形でも水平成分に対応する三角比は変わります。記号だけを暗記せず、どの辺が角に隣接するかを確かめます。

仕事率を求めるときには、力と速さを掛ける方法もあります。一定の力の移動方向成分を F、移動距離を s、時間を t とすると、平均の仕事率は Fs ÷ t です。s ÷ t はこの区間の平均の速さなので、一定の F なら F と平均の速さの積になります。この問題では 8.0 ÷ 20 = 0.40 m/s、40 × 0.40 = 16.0 W です。途中の速さが変わっても、この計算は一定の力について区間の平均を求めています。

誤答を矢印に戻す

図3のように、水平に移動する荷物を上向きに支える力について、「上向きの力 × 水平移動距離」と計算して正の仕事にする誤答があります。原因は、力が働いていることと、その力の向きに移動していることを混同した点です。仕事を求める前に、荷物の移動と荷物に働く支える力の矢印を並べてください。

図3では2本の矢印は垂直です。支える力の水平成分は0 Nなので、その力の仕事は 0 J と直します。荷物を支える人が疲れるかどうかを尋ねているのではなく、指定した力が荷物にする仕事を尋ねています。上向きに持ち上げる区間が別にあれば、その区間では上向きの移動があり、同じ結論をそのまま使えません。

別の誤りは、摩擦力の大きさと距離を掛けて正の仕事とすることです。大きさ同士の積は絶対値であり、移動と逆向きなら符号は負です。さらに、押す力の仕事を聞かれているのに、先に摩擦力を引いて合力の仕事を答えることもあります。力ごとの結果を名前付きで書いた後、合計を必要とする設問でのみ足すと、何を求めた値かを追えます。

自分で試す4問

いずれも力は各移動区間で一定です。対象と右向きまたは上向きの正方向を各問で確認し、指定の単位で小数第1位まで答えてください。

1. 水平な机上の本を、右向きに 7.0 N の力で押して右へ 3.0 m 動かします。本に対するこの力の仕事を J で求めます。右向きを正とします。
2. 右向きに滑る板が、左向きに 2.5 N の摩擦力を受けながら右へ 4.0 m 移動します。板に対する摩擦力の仕事を J で求めます。右向きを正とします。
3. 小袋を上向きに一定の 15 N の力で持ち上げ、上へ 2.0 m 移動させます。この力の仕事と、移動に 5.0 s かかったときの平均の仕事率をそれぞれ J、W で求めます。上向きを正とします。
4. 水平な台上の台車を、水平から上に 60° の向きに一定の 20 N の力で引き、右へ水平に 6.0 m 動かします。cos 60° = 0.50、sin 60° = 0.87 とします。右向きを正とし、この力の仕事を J で求めます。鉛直方向の移動はありません。

練習の答えと道筋

1. 押す力の右向き成分は 7.0 N です。移動も右向きなので、仕事は 7.0 × 3.0 = 21.0 J です。21.0 J を距離 3.0 m で割ると、元の力 7.0 N に戻ります。向きが反対ではないため、負号は付きません。

2. 摩擦力の右向き成分は -2.5 N です。仕事は (-2.5) × 4.0 = -10.0 J です。-10.0 J を 4.0 m で割ると -2.5 N となり、左向きの力に戻ります。負号は摩擦が移動と逆向きであることを表します。

3. 力と移動はともに上向きですから、仕事は 15 × 2.0 = 30.0 J です。平均の仕事率は 30.0 ÷ 5.0 = 6.0 W です。6.0 W に 5.0 s を掛けると 30.0 J に戻り、さらに 2.0 m で割ると 15 N です。重力の仕事を求めるには別途その力の大きさが必要で、この設問の対象には含めません。

4. 水平成分は 20 × cos 60° = 20 × 0.50 = 10 N です。仕事は 10 × 6.0 = 60.0 J です。60.0 J を 6.0 m で割ると水平成分 10 N に戻ります。鉛直成分はありますが、鉛直方向に移動しないので仕事への寄与は0です。sin の値を水平成分に使うと、角度の基準を取り違えています。

条件を変えたときの見直し

力が移動と反対に働く場合、距離は正のまま、移動方向の力の成分を負にします。距離にも負号を付けてしまうと、負号を二重に数えます。移動の向きを正に取る方法では、力の符号を矢印から決めてから距離を掛けると整理できます。別の座標軸を使うときは、力の成分と変位の符号を同じ軸でそろえれば同じ仕事になります。

同じ区間で複数の力が働いていても、それぞれの仕事を求める段階では、求める力以外を混ぜません。各力の仕事を足した値は、その区間における合力の仕事です。仕事率についても、どの力の仕事を何秒で割ったかを明記すると、押す力と摩擦力を含む合計とを区別できます。

立式後に単位を点検することも役立ちます。N と m の積は J、J を s で割ったものは W です。力だけを時間で割っても仕事率にはならず、距離を使い忘れた可能性があります。逆に、得た仕事を距離で割って元の移動方向の力に戻るか、仕事率に時間を掛けて元の仕事に戻るかを調べれば、数値と単位を一緒に見直せます。距離や時間が0のときには、この割り算で戻す確認はできません。時間が0なら、その区間の平均の仕事率も割り算では定まりません。

手元に残す要点

• 仕事は、移動方向の力の成分と移動距離の積です。
• 逆向きの力は負の仕事、垂直な力は0の仕事をします。
• 仕事率は、指定された力の仕事を時間で割ります。
• 斜めの力は、角度の基準を見て移動方向に分けます。

説明が止まる場所を探す

答えが合っていても、何の力の仕事かを言えない場合は、矢印に力の名前と作用する物体を書き添えてみてください。負号を付けられない場合は、正方向と摩擦力の向きを口に出して比べます。垂直な力を含めてしまう場合は、力の向きへの移動があるかを図でたどります。

個別指導で確かめるなら、まず生徒自身に対象、移動、各力を描いてもらい、計算前に符号と0を予想してもらいます。次に、合力の仕事と特定の力の仕事を別々に説明できるか、仕事率を掛け戻すと元の仕事に戻るかを確認します。力と移動を結ぶ線を自分で引ければ、式の意味を見失いにくくなります。