高校物理基礎 圧力と浮力—面積と押しのけた体積から水中の力を計算する｜武蔵野個別指導塾

水圧の深さによる差と水中部分の体積を使い、力のつり合いから読み解く圧力と浮力です。

よくあるのは、水面に浮かぶ物体について、高校生が浮力の式に物体全体の体積をいつも入れてしまう場面です。水の外に出た部分も体積には含まれますが、水が押しのけられた場所ではありません。どこまで水に浸かっているかを図に印し、物体に働く力と水が占めていた体積を分けて考えると、式に入れる量を選べます。

どの量を求める問題か

定期テストでは、まず面を押す力と面積から圧力を求める型があります。同じ力でも、受ける面が広いほど単位面積あたりの力は小さくなります。力の単位 N と面積の単位 m² をそろえてから割り算します。逆に圧力と面積が与えられたら、掛け算で面全体を押す力に戻します。

次に、水面からの深さと水圧を結ぶ型があります。静止した水では深い場所ほど水圧が大きく、水平な同じ深さなら水圧は等しくなります。水面上の大気による圧力を含めるよう求められているか、水による増加分だけを求めるのかで答えが変わります。問題文の圧力が何を含むかを最初に確認します。

もう1つは、浮力と重力の関係から浸かった体積や糸の張力を求める型です。浮いて静止していれば物体に働く上向きと下向きの力がつり合います。完全に水中にある物体を糸で支えるときは、重力を浮力と張力が分担します。どちらも対象は物体です。流れる水の力や水の運動はここでは扱いません。

水の圧力から浮力へ

圧力 p は、面に垂直に働く力の大きさ F を面積 S で割った量です。式は p = F / S です。単位 Pa は N/m² と同じです。接している面積を cm² で与えられたときは、長さを m に直してから面積を求めるか、1 cm² = 0.0001 m² を使います。面の向きが変わっても、圧力が与える力はその面に垂直です。

密度 ρ の水が静止し、重力加速度を g、水面からの深さを h とすると、水による圧力の増加分は ρgh です。水面の圧力を p₀ とすれば深さ h の全圧は p₀ + ρgh です。水面上の圧力も水中に伝わるためです。密度を kg/m³、g を m/s²、深さを m で入れると、圧力の単位は Pa になります。

図1のように、水中の直方体の上面と下面では深さが違います。下面に働く上向きの力は、上面に働く下向きの力より大きくなります。左右の側面では同じ深さどうしの圧力が等しく、水平向きの力が打ち消し合います。この圧力による力の合力が上向きの浮力です。

図1の上面積と下面積がともに S、上下の深さの差が H なら、上下の圧力の差は ρgH です。したがって浮力の大きさは ρgH × S = ρgV です。ここで V = SH は水中にある体積です。上面と下面に同じように加わる水面の圧力は、差を取ると消えます。

一般に、物体が水から受ける浮力の大きさは、物体が押しのけた水の重力の大きさに等しくなります。これがアルキメデスの原理です。水の密度を ρ、水中部分の体積を V とすると、押しのけた水の質量は ρV、浮力は ρVg です。物体の密度をこの式の ρ に入れるのではありません。水中に全部ある場合は水中部分と全体の体積が一致し、一部が水面上に出る場合は一致しません。

物体が水に浮いて静止し、ほかに支える力がなければ、上向きの浮力と下向きの重力の大きさは等しくなります。物体の平均密度が水より小さければ、一部を水上に出した状態でつり合えます。水より大きければ、浮力だけでは重力を支えられず沈みます。同じ密度で完全に水中にある場合は、浮力と重力が等しくなります。容器の底に接している場合には底からの力も考える必要があり、浮力と重力だけをつり合わせてはいけません。

同じ水の中で深さを2倍にすると、ρgh で表す増加分も2倍です。ただし水面の圧力を含む全圧まで2倍になるとは限りません。たとえば水面の圧力を残したまま比較すると、両方に同じ水面の圧力が含まれます。何を比べるかによって、比例する量と比例しない量を区別します。

浮力の式は深さそのものを含みません。密度が一定の水に同じ物体が完全に沈んでいれば、水面の下で深さを変えても押しのけた体積は同じです。上面と下面の圧力はともに増えますが、その差は変わらず、浮力も変わりません。一方、水面を横切る物体をさらに押し込む途中では水中体積が増えるため、浮力も増えます。水面の位置を変えずに考え、どちらの状態かを図で区別します。

基本例題：浮いた箱の水中部分

水の密度を 1000 kg/m³、重力加速度を 10 m/s² とします。体積 0.004 m³、質量 3.0 kg の密閉された箱が、底や壁に触れずに水面で静止しています。水と箱の間に働く力以外の接触力はありません。箱に働く浮力の大きさと、水中部分の体積を求め、それぞれ N、m³ を単位として小数で答えてください。上向きを正とします。

図2のように、対象を箱に決めて力を描きます。水面より上の部分は箱の体積には入りますが、水が押しのけられた体積には入りません。箱は静止しているため、力の合計は0です。

まず箱に働く重力の大きさを求めます。

重力 = 3.0 kg × 10 m/s² = 30 N

上向きの浮力を B N とすると、上向きを正にした力のつり合いは次の式です。

B − 30 = 0

よって B = 30 N です。次に水中部分の体積を V m³ とおきます。押しのけた水の質量は 1000V kg で、その水に働く重力の大きさが浮力に等しいので、次のようになります。

1000 × V × 10 = 30

10000V = 30

V = 0.003 m³

求めた体積は全体の 0.004 m³ より小さいため、一部が水面上にある条件に合います。押しのけた水の質量は 1000 × 0.003 = 3.0 kg、その重力は 30 N です。箱の重力 30 N に戻るので、つり合いも確かめられます。全体の体積を代入した 40 N は、箱を完全に水中へ押し込んだときの浮力であり、この静止状態の答えではありません。

水中に沈めて支えるとき

水の密度を 1000 kg/m³、重力加速度を 10 m/s² とします。質量 5.0 kg、体積 0.003 m³ の小石を軽い糸で上からつり、底や壁に触れないよう水中に完全に沈めて静止させます。上向きを正とし、浮力と糸の張力を N 単位の整数で求めてください。水面の高さは一定とします。

今度は小石全体が水中にあるため、押しのけた水の体積は小石全体の 0.003 m³ です。浮力 B は次のように求まります。

B = 1000 kg/m³ × 0.003 m³ × 10 m/s² = 30 N

小石の重力は 5.0 × 10 = 50 N です。対象を小石とすると、上向きに浮力 B と糸の張力 T、下向きに重力が働きます。つり合いから次の式を得ます。

T + 30 − 50 = 0

T = 20 N

浮力と張力を足すと 50 N で、小石の重力に戻ります。ここで浮力を 50 N とするのは、上向きの力を浮力以外に受けない場合のつり合いを、この小石にそのまま当てはめた誤りです。糸を切ればこの条件では重力が浮力より大きく、静止を保てません。反対に軽い物体を水中につなぎ止める場合、糸が下向きに引くこともあります。矢印は糸の位置を見て決めます。

間違えた式を描き直す

図3は、水面に一部が出た物体の体積の取り違えを表しています。誤答は、浮力を出す式の V に全体の体積を入れることです。原因は「物体の体積」と「水が押しのけられた体積」を同じものとして読んでいる点にあります。水面に線を引き、水中にある部分を囲んでから、その体積を式に入れると修正できます。

図3のように水上部分があるとき、全体積を使った浮力は実際より大きくなります。逆に完全に沈んでいるときは、水中体積が全体積に等しいため、その式を使えます。式の形を覚える前に、図の水面と物体の境目を確認しましょう。

別の誤答は、深い場所ほど大気圧も大きくなると考えて、水面の圧力を深さに掛けることです。静止した水で深さに比例して増えるのは水による分の ρgh です。全圧を求めるなら水面の圧力を1回足します。水による分のみを問う場合に大気圧を足すと、求める量が変わってしまいます。

また、浮力とその反作用を、同じ物体に働くつり合いの2力として描く誤りもあります。水が物体を押す力は物体に働き、物体が水を押す力は水に働きます。対象を物体にした式には前者を入れます。重力は地球が物体を引く力であり、静止時に浮力とつり合うことはあっても、その反作用ではありません。

圧力と力の取り違えも見直します。圧力は面積あたりの量で、力は面全体についての量です。同じ圧力でも、面積が2倍なら押す力も2倍です。数値を式に入れる前に、問われている単位が Pa か N かを確かめると、割るか掛けるかを判断できます。

自分で試す4問

各問では水は静止し、重力加速度を 10 m/s² とします。力の向きは上向きを正とし、圧力と力は整数、体積は小数で、指定された単位をつけて答えてください。面への力は面に垂直に一様に働くものとします。

1. 水平な台に置いた板が、面積 0.020 m² の接触面を 60 N の力で垂直に押しています。板が台に及ぼす圧力を Pa で求めてください。
2. 密度 1000 kg/m³ の水の水面に加わる圧力が 100000 Pa です。水面から深さ 0.40 m の地点で、水による圧力の増加分と全圧をそれぞれ Pa で求めてください。
3. 密度 1000 kg/m³ の水に、質量 2.0 kg、体積 0.005 m³ の密閉容器が、底や壁に触れずに浮いて静止しています。ほかに支える力はありません。水中部分の体積を m³ で求めてください。
4. 密度 800 kg/m³ の液体中に、体積 0.002 m³、質量 2.0 kg のおもりが完全に沈み、底や壁に触れず、上から軽い糸でつられて静止しています。おもりに働く浮力と糸の張力をそれぞれ N で求めてください。

答えと戻して確かめる手順

1. 圧力は力を面積で割るので、60 / 0.020 = 3000 Pa です。逆に 3000 Pa × 0.020 m² = 60 N となり、与えられた力に戻ります。面積を掛けてしまうと Pa の単位にならないため、式の形を単位でも点検できます。

2. 水による増加分は 1000 × 10 × 0.40 = 4000 Pa です。全圧は 100000 + 4000 = 104000 Pa です。全圧から水面の圧力を引くと 4000 Pa になり、深さと密度から計算した増加分に戻ります。4000 Pa は全圧ではなく、水があることで増えた分です。

3. 容器の重力は 2.0 × 10 = 20 N です。静止していてほかに支える力がないため、浮力も 20 N です。水中体積を V m³ とすると、1000 × V × 10 = 20 より V = 0.002 m³ です。水中部分は全体の 0.005 m³ より小さく、押しのけた水の重力は 1000 × 0.002 × 10 = 20 N です。容器の重力を支えられるので、条件に合います。

4. 押しのけた液体の体積はおもりの体積と同じです。浮力は 800 × 0.002 × 10 = 16 N、重力は 2.0 × 10 = 20 N です。張力を T N とすると T + 16 − 20 = 0 より T = 4 N です。上向きの力の合計は 4 + 16 = 20 N で、下向きの重力に戻ります。液体の密度が水の場合と違うので、問題で与えられた 800 kg/m³ を使います。

手元に残す要点

圧力は面に垂直な力を面積で割ります。 水による圧力の増加分は ρgh です。 浮力は押しのけた液体の重力に等しく、体積は液中部分で決めます。 静止する物体には、働く力を全部描いてつり合いを立てます。

どこで止まったかを見つける

水中体積を選べないときは、式を隠して水面と物体の境界を描き、水がもともとあった場所を指で示してみてください。完全に沈んだ場合と一部が出た場合で、指す範囲がどう変わるか説明できれば、代入する体積を選びやすくなります。圧力の計算で止まる場合は、面積を m² に直すところと、求める値が増加分か全圧かを別々に確認します。

個別指導で確かめるなら、まず自分の図に力の作用先と向きを書き、浮いている箱と糸で支えた小石の式の違いを声に出して説明します。答えが出た後は、その体積から押しのけた液体の重力を再計算し、最初のつり合いに戻します。水面の位置と力の相手をそろえることが、圧力と浮力を解く出発点です。