高校物理基礎 摩擦力—静止と滑走の条件を分けて力の大きさを決める｜武蔵野個別指導塾

水平面で押す力と斜面の重力成分を比べ、静止の限界から滑走時の式まで、場合を分けて学ぶ摩擦力です。

よくあるのは、机上の箱を弱く押しただけなのに、静止摩擦力をいつも最大値として式に入れる場面です。箱が動かないなら、水平方向の力はつり合っています。押す力が変われば、それを打ち消す静止摩擦力も変わります。限界を超えて滑り出した後は、別の動摩擦力の式を使います。この切り替えを、水平面と斜面の力の図で確かめましょう。

問題文から選ぶ3つの道筋

定期テストでは、静止している物体を押す力から摩擦力を求める型があります。まず、対象を箱などの1物体に決め、面に沿う方向の力を描きます。静止しているなら合力は0です。つり合いに必要な摩擦力を先に求め、その値が最大静止摩擦力を超えないかを確かめます。

次に、押す力を増やし、動き出す境目を求める型があります。この境目では静止摩擦力が最大値に達します。境目の式を、まだ弱く押している段階にも使うと、つり合いを壊してしまいます。問題が「動き出す直前」なのか「静止している途中」なのかに線を引いて読み分けます。

さらに、滑っている物体の加速度を求める型があります。滑走中の動摩擦力を求め、正方向を決めて運動方程式を立てます。斜面では重力を面に平行な成分と垂直な成分に分けます。面に垂直な方向のつり合いから垂直抗力を出し、それを摩擦力の式に使います。

接触面に沿う力と限界

摩擦力は、接触している面に沿って、相手の面から対象物体に働く力です。静止摩擦力は、接触面どうしが滑り出そうとする向きを妨げます。動摩擦力は、接触面どうしの実際の滑りの向きと反対に働きます。物体の運動方向を見ただけでなく、相手の面に対してどちらへ滑るかを考えます。

図1のように、水平な床の箱を右に押すと、床が箱に及ぼす静止摩擦力は左向きです。箱にはこのほかに、地球から下向きの重力と床から上向きの垂直抗力が働きます。矢印の始点は箱への作用点として描いています。床が受ける反作用は、箱を対象にした力の図には入れません。

図1のように上下の加速度がない場合、垂直抗力の大きさ N は重力の大きさ mg に等しくなります。m は質量、g は問題で与える重力加速度です。ただし、斜面や斜めに押す場合は N を初めから mg と置けません。面に垂直な方向の力を調べて決めます。

静止摩擦力の大きさを f、最大静止摩擦力を fₘₐₓ、静止摩擦係数を μₛ とすると、標準的なモデルでは fₘₐₓ = μₛN です。静止中の f は 0 以上 fₘₐₓ 以下の範囲で、つり合いに必要な値を取ります。押す力が0で、面に沿う他の力もなければ、摩擦力も0です。最大値の式は「必ずこの力が働く」という式ではありません。

滑走中は、動摩擦係数を μₖ とすると動摩擦力の大きさは μₖN です。このモデルでは係数を問題文で与え、接触面の状態が同じ間は一定として扱います。係数には単位がなく、N はニュートンなので摩擦力の単位もニュートンです。静止と滑走の判定が終わってから、どちらの式が必要かを選びます。

基本例題：水平に押す力を増やす

質量 2.0 kg の箱が粗い水平な床に静止しています。箱に右向きの水平な力 P を加えます。重力加速度を 10 m/s²、静止摩擦係数を 0.40、動摩擦係数を 0.30 とします。床と箱の係数は一定とし、箱は床から離れません。対象は箱、右向きを正とします。P が 5.0 N のときの摩擦力、動き出す直前の P、滑走中に P を 10 N に保ったときの加速度を、それぞれ小数で単位を付けて求めてください。

図2のように、箱に働く重力と垂直抗力は鉛直方向です。まずその方向の加速度が0であることを使い、水平成分の計算に必要な N を決めます。

重力は 2.0 × 10 = 20 N です。上向きの垂直抗力と下向きの重力がつり合うので、

N − 20 = 0
N = 20 N

となります。静止摩擦力の上限は、

fₘₐₓ = 0.40 × 20 = 8.0 N

です。P が 5.0 N なら、箱が静止するために必要な摩擦力は左向きに 5.0 N です。これは上限の 8.0 N 以下なので、静止を保てます。水平方向に 5.0 − 5.0 = 0 N と戻して確かめられます。

押す力をゆっくり増やすと、静止摩擦力もつり合いに必要な分だけ増えます。動き出す直前には上限に達するため、P = 8.0 N です。ここでは 8.0 − 8.0 = 0 N で、限界の静止状態が成り立ちます。8.0 N を超える力を加え続ける場合、その力を打ち消す静止摩擦力は用意できません。

箱が右へ滑っている間、動摩擦力は左向きで、その大きさは 0.30 × 20 = 6.0 N です。加速度を a m/s² として右向きを正にすると、

2.0a = 10 − 6.0
2.0a = 4.0
a = 2.0 m/s²

です。正の答えなので加速度は右向きです。元の場面に戻すと、質量と加速度の積は 2.0 × 2.0 = 4.0 N で、右向きの合力 10 − 6.0 = 4.0 N に一致します。加速度の向きと摩擦力の向きは別々に判断します。

この例で P が 8.0 N ちょうどの静止状態は限界です。一方、滑走中の式に静止摩擦力の最大値を代入すると、滑っているという条件と力のモデルが食い違います。設問がある瞬間に静止中か滑走中かを示していない場合は、力の大きさだけで状態を決めず、それまでの運動も読み取ります。

斜面では2方向に分ける

質量 5.0 kg の箱を粗い斜面にそっと置きます。斜面の角度を θ とし、sin θ = 0.60、cos θ = 0.80 とします。重力加速度は 10 m/s²、静止摩擦係数は 0.50、動摩擦係数は 0.30 です。箱を対象とし、面に沿って下向きを正、面から離れる向きを垂直方向の正とします。箱は面から離れず、係数は一定です。静止できるかを判定し、滑る場合の加速度を小数と単位で求めてください。

重力の大きさは 5.0 × 10 = 50 N です。面に平行な成分は下向きに 50 × 0.60 = 30 N、面に垂直な成分は面へ向かって 50 × 0.80 = 40 N です。垂直方向には加速度がないので、N − 40 = 0、したがって N = 40 N です。静止摩擦力の最大値は 0.50 × 40 = 20 N になります。

静止するには、斜面下向きの 30 N を打ち消す上向きの摩擦力が必要です。しかし必要な 30 N は上限 20 N を超えます。静止は成り立たず、箱は下へ滑り出します。もし必要な力が上限以下なら、その必要な値が静止摩擦力です。等しい場合は限界の静止状態です。

滑走中は動摩擦力が斜面上向きに 0.30 × 40 = 12 N 働きます。下向きを正にした運動方程式は、

5.0a = 30 − 12
5.0a = 18
a = 3.6 m/s²

です。箱は斜面下向きに加速します。検算すると 5.0 × 3.6 = 18 N で、斜面方向の合力 30 − 12 = 18 N と一致します。垂直方向も 40 − 40 = 0 N です。静止の判定に使う上限 20 N と、滑走中の 12 N は別の量なので、段階を混ぜずに書きます。

誤答を力のつり合いに戻す

図3のように、箱を右に 3 N で押し、静止摩擦力の上限が 7 N だとします。箱は床上で静止し、面に沿う他の力はありません。誤って摩擦力を常に左向き 7 N とすると、水平合力は右向きを正として 3 − 7 = -4 N です。静止という条件と合いません。

図3のように、必要な値は左向き 3 N です。この値は上限以下で、3 − 3 = 0 N となります。原因は、最大値を実際の値と取り違えたことです。修正するときは、まずつり合いから必要な値を出し、次に上限と比べる順番にします。上限を超えたら静止という仮定が失敗したと判断し、滑走の条件に移ります。

もう1つの誤りは、斜面でも垂直抗力を常に重力の全体とすることです。垂直抗力は面に垂直な方向で決まり、斜面では重力の垂直成分とつり合います。また、上向きに滑っている箱を考えると、動摩擦力は斜面下向きです。重力の平行成分と同じ向きになる場合もあるため、「摩擦力はいつも上向き」と覚える方法では対応できません。

練習：条件を先に分ける

次の各問では、与えた摩擦係数は一定で、物体は面から離れません。重力加速度はそれぞれの問題で示す値とし、答えは小数で単位と向きを付けてください。摩擦力の向きがないときは 0 N と答えます。

1. 質量 3.0 kg の木片を粗い水平面上に置き、右向きに 4.0 N で押すと静止しています。静止摩擦係数は 0.20、重力加速度は 10 m/s² です。木片を対象に右向きを正として、垂直抗力、最大静止摩擦力、実際の摩擦力を求めてください。
2. 質量 4.0 kg の道具箱を粗い水平面上で右に滑らせています。右向きに 14 N の力を加え続けます。動摩擦係数は 0.25、重力加速度は 10 m/s² です。道具箱を対象に右向きを正として、摩擦力と加速度を求めてください。
3. 質量 2.0 kg の板を粗い斜面上にそっと置きます。斜面角を α とし、sin α = 0.30、cos α = 0.40 と与えます。静止摩擦係数は 1.0、重力加速度は 10 m/s² です。板を対象に斜面下向きを正として、静止できるかと摩擦力を求めてください。
4. 質量 6.0 kg の荷物が粗い水平面に静止し、水平には何も力を加えていません。静止摩擦係数は 0.35、重力加速度は 10 m/s² です。荷物を対象に右向きを正として、最大静止摩擦力と実際の摩擦力を求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 鉛直方向のつり合いから N = 3.0 × 10 = 30 N です。最大静止摩擦力は 0.20 × 30 = 6.0 N です。必要な摩擦力は左向き 4.0 N で、6.0 N 以下なので静止できます。右向きの力に戻すと 4.0 − 4.0 = 0 N です。上限の 6.0 N を実際の値として使うと合力が残ります。

2. N = 4.0 × 10 = 40 N、動摩擦力は 0.25 × 40 = 10 N で左向きです。4.0a = 14 − 10 より a = 1.0 m/s²、右向きです。4.0 × 1.0 = 4.0 N は 14 − 10 = 4.0 N に戻ります。すでに右へ滑っているので、静止摩擦の上限を使う段階はありません。

3. 与えられた sin α = 0.30 と cos α = 0.40 は同じ角度の値として両立しません。したがって、この条件の斜面は作れず、静止の判定と摩擦力は求められません。たとえば両者の二乗の和は 0.09 + 0.16 = 0.25 で、1 にならないためです。計算を始める前に条件の整合性を確かめ、値を勝手に直さず問題文を確認します。

4. 垂直抗力は 6.0 × 10 = 60 N、最大静止摩擦力は 0.35 × 60 = 21 N です。水平に他の力がないので、つり合いに必要な摩擦力は 0 N です。0 は上限以下で、水平合力も 0 N に戻ります。係数が0でなくても、実際の静止摩擦力が0になる場合があります。

練習では、答えの大きさが上限を超えるかどうかに加え、向きも元の場面へ戻して確認します。右へ押している木片に右向きの摩擦力を描けば、押す力と摩擦力がともに右を向き、静止の条件に合いません。滑走中の道具箱では、摩擦力は右向きの速度と逆ですが、合力は右向きです。摩擦力が左向きだから加速度も左向きだと決めず、他の力と合わせて判定します。

斜面の問題で与えられた角度の値に矛盾がなければ、重力を分解した後に垂直抗力と最大静止摩擦力の順で調べます。途中の値に単位を付けておくと、係数と力を取り違えた行を見つけやすくなります。求めた摩擦力が上限より小さいか、等しいか、大きいかによって、静止の可否と限界の区別がつきます。

手元に残す要点

静止中はつり合いに必要な摩擦力を求め、最大値と比べます。
動き出す直前は静止摩擦力が最大値に達します。
滑走中の動摩擦力は相対的な滑りと逆向きです。
垂直抗力は面に垂直な方向の運動から決めます。

自分の図を説明できるか

式を立てる前に、対象物体を丸で囲み、接触面がその物体を押す力を矢印で描いてみてください。静止中の矢印の長さを上限に固定していないか、斜面で重力の成分と元の重力を二重に足していないかを見ます。符号が負になったときは、計算を消す前に、最初の正方向と実際の加速度の向きを照らし合わせます。

個別指導で確かめるなら、弱い力で押す場合と限界を超える場合を並べ、どの行で静止の仮定を調べたかを口に出します。滑走中の矢印も別に描き、摩擦係数と垂直抗力のどちらが変わったかを説明します。条件に矛盾がある問題では、数値を補わず矛盾を示す練習も有効です。摩擦力は、接触面の状態を決めてから大きさを選びます。