高校受験の理科 速さと物体の運動—記録テープとグラフを対応させて変化を読む｜武蔵野個別指導塾

記録テープの区間距離を足して位置のグラフを作り、平均の速さと力の向きの読み取りにつなげます。

よくあるのは、中学生が記録テープの区間ごとの距離を、その時刻までに進んだ距離としてグラフに描く場面です。点の間隔が広がっていることは見えていても、縦軸の意味を取り違えると、点の位置から運動を正しく読めません。どの時間に対応する長さなのかを先に決め、出発点からの距離と区間の距離を分けましょう。

問われる運動の見方

記録テープでは、一定の時間ごとに打たれた点の間隔から、物体の進み方を考えます。出方の1つは、同じ時間の区間を比べ、速くなったか、一定か、遅くなったかを答える型です。長さを比べる前に、それぞれが同じ時間分であることを確認します。時間が異なれば長い区間が必ずしも速いとは限りません。

もう1つは、時刻と出発点からの距離の表を作り、グラフと結びつける型です。ある区間で進んだ距離と、そこまでに進んだ距離は別の量です。3つ目は、斜面や水平面での運動について、力の向きと速さの変化を説明する型です。運動の向きだけで力の向きを決めず、物体にはたらく力を考えます。

点の間隔から何が読めるか

平均の速さは、ある区間の道のりを、その区間にかかった時間で割った値です。たとえば12 cmを3秒で進んだ区間の平均の速さは、12 ÷ 3 = 4 cm/秒です。途中で速さが変わっていても、この計算は区間全体の平均を表します。各瞬間の速さが常に4 cm/秒だったという意味ではありません。

図1のように、同じ時間ごとの区間距離を順に足すと、出発点からの距離になります。途中で向きを変えず直線上を進む場合、各区間の道のりの合計と出発点からの距離が対応します。往復する場合は道のりと出発点からの距離が一致しないことに注意します。

図1では1秒ごとの区間が2 cm、4 cm、6 cmです。2秒後の位置は2 + 4 = 6 cm、3秒後は2 + 4 + 6 = 12 cmです。点を打つ装置が物体に引かれたテープに等時間ごとに印をつけるとき、隣り合う点の間が1区間です。点の数と点の間の数を混同せず、始めと終わりの点を指で追います。

等速直線運動は、一直線上を同じ向きに、一定の速さで進む運動です。同じ時間に進む距離は等しく、時刻と出発点からの距離のグラフは右上がりの直線になります。直線の傾きが大きいほど、同じ時間に進む距離が大きく、速さが大きいと読めます。曲線なら、同じ時間ごとの縦方向の増加を比べて変化を読みます。

記録タイマーの点を数えるときは、最初の点から次の点までが1区間です。たとえば4つの点が並ぶ部分には、点と点の間が3つあります。4つの点を見たから4区間とすると、時間を余分に数えてしまいます。打点の間隔が一定であるという条件と、何区間をまとめたかを確かめてから時間を計算します。

複数の区間を切って並べる図では、各片の長さが同じ時間に進んだ距離を表します。片が順に長くなれば、その区間ごとの平均の速さは大きくなっています。片の先端を結んだ線と、出発点からの距離のグラフは、縦に示す量が異なります。片を並べた図をそのまま距離のグラフと呼ばず、縦軸を言葉で確認しましょう。

距離のグラフで時刻の間隔をそろえ、隣の点の高さの差を見ると、その時間に進んだ距離がわかります。右上がりの直線でも、横軸の1目盛りや縦軸の1目盛りが異なる図どうしは、見た目の傾きだけでは比べられません。同じ時間幅と距離の単位に直してから、増加量を比べます。

基本例題：テープを表に直す

物体が直線上を同じ向きに進み、出発から1秒ごとの区間距離が順に3 cm、5 cm、7 cm、9 cmでした。出発点からの距離を1秒ごとに求め、横軸を時刻、縦軸を出発点からの距離とするグラフの各点を答えます。また最初の4秒間の平均の速さを小数で、単位をつけて求めます。距離はcm、時刻は秒で表します。

まず、出発した時刻を0秒、距離を0 cmとします。1秒後は最初の区間を進んだので3 cmです。2秒後はそれまでの2区間を合わせます。

3 + 5 = 8 cm

3秒後はさらに次の区間を加えます。

8 + 7 = 15 cm

4秒後も同じように加えます。

15 + 9 = 24 cm

図2のように、グラフに置く点は時刻と累積距離の組です。順に (0, 0)、(1, 3)、(2, 8)、(3, 15)、(4, 24) となります。たとえば時刻3に高さ7を取ると、3秒目の区間距離を累積距離として扱ってしまいます。グラフは与えられた各時刻での位置を表し、点と点の間の詳しい形はこの区間距離の情報だけでは決まりません。

図2の各点の高さの差は、順に3 cm、5 cm、7 cm、9 cmです。問題の区間距離に戻るので、足し合わせ方を確認できます。4秒間の道のりは24 cm、かかった時間は4秒です。

24 ÷ 4 = 6.0 cm/秒

答えは6.0 cm/秒です。6.0 cm/秒で4秒間に進む道のりは6.0 × 4 = 24 cmなので、全体の道のりに戻ります。この平均は4秒間を均した値であり、どの1秒間も6.0 cm進んだとは意味しません。実際に区間距離は変化しているため、この運動は等速直線運動ではありません。

条件が変わるところを読む

次の台車は、同じ向きの直線上を進みます。はじめの6秒間に48 cm、続く2秒間に8 cm進みました。各区間と全体の平均の速さを、それぞれcm/秒の小数で答えます。また全体の平均を各区間の平均の単純な平均で求めてよいか、理由を述べます。

はじめの区間は48 ÷ 6 = 8.0 cm/秒です。続く区間は8 ÷ 2 = 4.0 cm/秒です。答えを戻すと、8.0 × 6 = 48 cm、4.0 × 2 = 8 cmとなり、それぞれの道のりに一致します。

全体の道のりは48 + 8 = 56 cm、全体の時間は6 + 2 = 8秒です。したがって56 ÷ 8 = 7.0 cm/秒です。7.0 × 8 = 56 cmで全体の道のりに戻ります。2つの速さを足して2で割ると6.0 cm/秒ですが、これは答えになりません。8.0 cm/秒に対応する時間が6秒、4.0 cm/秒に対応する時間が2秒で、同じ長さではないからです。時間が等しい場合なら2つの区間の平均の単純な平均が全体の平均に一致します。どの時間と道のりを組にするかが分かれ目です。

斜面を下る台車では、斜面に沿って下向きにはたらく重力の分力によって、摩擦が小さければ速さが増します。水平面上で進行方向と逆向きの摩擦がはたらけば、台車は遅くなります。摩擦など進行方向の力が無視できる水平面では、動いている台車は同じ向きに同じ速さで進み続けます。物体が運動の状態を保とうとする性質を慣性と呼びます。力がないと必ず止まる、と考えないことが大切です。

斜面上を上向きに進んでいる台車についても、進行方向と力の向きを区別します。摩擦が無視できるとき、重力の斜面に沿う分力は斜面の下向きです。台車は上向きに進みながら遅くなり、止まった後は斜面を下り始めます。止まる瞬間に速さが0になっても、その瞬間に力が消えたわけではありません。斜面が台車を垂直方向に押す力と重力を考えると、斜面に沿う下向きの力が残ります。

下る台車も、常に同じ条件の面を進むとは限りません。斜面から水平面に入った後、摩擦を無視できるなら、水平面で進行方向の力ははたらかず、その時点の速さで進みます。水平面に入った瞬間に止まるわけでも、斜面にいたときと同じように速さが増え続けるわけでもありません。境目の前後で面の向きと力を描き直すと、変化を区別できます。

まちがいの位置を探す

図3のように、基本例題の区間距離をそのまま縦軸に置くと、2秒後は5 cmという誤答になります。しかし5 cmは1秒後から2秒後までの距離です。出発から2秒後までには最初の3 cmも進んでいます。3 + 5 = 8 cmと戻してから点を置き直します。

図3では同じ5 cmを、区間の長さとして扱うか、出発点からの距離と取り違えるかを比べています。表に「その1秒間」と「出発から」の2行を作ると、どちらの値を使うかが見えます。グラフの縦軸が区間距離なら5 cmを使う場面もあります。軸の名前を読まずに数だけを選ぶことが原因です。

別の誤りは、平均の速さを求める際に、道のりと違う区間の時間で割ることです。途中で時間の単位を変えた場合も、道のりと対応する時間をそろえて割り直します。また、テープの間隔が一定なら「力が進行方向にはたらき続ける」と答えることもあります。一定の速さで直進している場合は、進行方向の力がはたらかないか、力がつり合っていると考えます。進む向きと力の向きは別に判断します。

練習：時間と距離を結ぶ

次の問題は、それぞれ独立した条件です。計算は指定された単位の小数で表し、割り切れないときは小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めます。

1. 直線上を同じ向きに進む物体の1秒ごとの区間距離が、順に4 cm、6 cm、8 cmです。2秒後と3秒後の出発点からの距離をcmの小数で求め、3秒間の平均の速さをcm/秒で求めます。
2. 同じ向きに進む物体が最初の4秒間に28 cm、次の3秒間に14 cm進みました。全体の平均の速さをcm/秒で求めます。
3. 一直線上を同じ向きに進む物体が、2秒ごとに10 cm、10 cm、10 cm進みました。各区間の平均の速さをcm/秒で求め、この記録だけで各区間の途中も含めて等速直線運動と断定できるか答えます。
4. 水平面を進む台車に、進行方向と逆向きの摩擦がはたらいています。他に水平方向の力はありません。速さはどう変わるか答え、摩擦が無視できる場合との違いを説明します。

答えと考え方

1. 2秒後は4 + 6 = 10.0 cm、3秒後は10 + 8 = 18.0 cmです。平均の速さは18 ÷ 3 = 6.0 cm/秒です。差を取ると10 − 4 = 6 cm、18 − 10 = 8 cmで、後の2区間の条件に戻ります。6.0 × 3 = 18 cmも全体の道のりに一致します。
2. 道のりは28 + 14 = 42 cm、時間は4 + 3 = 7秒です。42 ÷ 7 = 6.0 cm/秒です。6.0 × 7 = 42 cmと戻して確かめます。区間の速さはそれぞれ7.0 cm/秒と約4.7 cm/秒ですが、時間が違うのでその2値を単純に平均しません。
3. 各区間は10 ÷ 2 = 5.0 cm/秒です。5.0 × 2 = 10 cmで各区間の距離に戻ります。ただし2秒間の途中で速さが変わっても、各区間の距離が同じになる場合があります。この記録だけでは途中も一定だったとは断定できません。
4. 速さは小さくなります。摩擦は進行方向と逆向きの力だからです。摩擦が無視でき、他に水平方向の力もなければ、慣性によって同じ速さで直進し続けます。実際の台車では摩擦の影響があるので、条件を読み取って判断します。

グラフを読むとき、指定された時刻が点と点の間にある場合には、点を直線で結べるという条件があるかを確認します。測定された両端の値だけでは、間の動き方は複数考えられます。同じ平均の速さで進んだ区間でも、前半と後半の速さが異なる可能性があるためです。問題に示されていない細かな運動を勝手に決めず、記録から言える範囲で答えます。

また、往復の運動では出発点からの距離が小さくなっても、実際に進んだ道のりは増え続けます。平均の速さを求めるときは、行きと帰りに進んだ道のりを合計し、往復にかかった時間で割ります。位置の差を道のりとして扱うと、出発点に戻った場合の道のりが0になってしまいます。

覚えておくこと

• 平均の速さは、その区間の道のり ÷ その区間の時間です。
• 累積距離は、出発からの区間距離を足して求めます。
• 同じ時間の距離を比べ、速さの変化を読みます。
• 力の向きと運動の向きを分け、慣性を考えます。

どこで迷ったかを見つける

お子さまがグラフの点を誤ったときは、先に計算の正誤を告げるより、縦軸が何を表すかを指してもらいます。次にテープ上の出発点からその時刻までを指でたどり、含める区間を言葉にします。足す範囲を示せれば、表の作成とグラフの位置を順に直せます。

個別指導では、時間の異なる2区間について、道のりと時間の組を線で結び、全体の平均を出す途中式を確かめます。力の問題なら、進行方向と摩擦の矢印を別々に描いてもらいます。どの量を比べたかを説明できれば、数値が変わっても運動の様子を追えます。