数検4級 三角形と多角形の角｜内角と外角を区別して補助線から求める｜武蔵野個別指導塾

三角形の外角と六角形の内角和を図で整理し、角の取り違えを直して多角形の角を読み解きます。

よくあるのは、外角を内角に足した作図の横で、どの角を180°から引くのか迷う場面です。三角形の内側にある角と、辺を延長してできる外側の角は、同じ頂点にあっても別の角です。図に印を付け、何と何を足すのかを確かめれば、式の意味を追いやすくなります。

三角形から多角形へ進むときも、公式の数字を覚えるだけではなく、補助線が作る三角形を数えます。ここでは、角度の単位を度で表し、内角和と外角和を使う場面を区別します。

角度の問いを見分ける

出方の型の1つは、三角形の2つの内角から、残りの内角や外角を求めるものです。内角は3つで180°です。外角が求める角なら、隣の内角との和が180°になること、または離れた2つの内角の和になることを使えます。どちらの方法でも、角がどこにあるかを図で確かめてから計算します。

別の型は、多角形の頂点の数から内角の和を求めるものです。1つの頂点から対角線を引くと、多角形を三角形に分けられます。できた三角形の個数に180°を掛けると、内角の和が出ます。頂点が増えると三角形も増えますが、頂点の数と三角形の個数は同じではありません。

もう1つは、内角や外角の一部がわかっていて、残りの角を求めるものです。内角を集める式と、外角を集める式は分けます。正多角形なら各内角が等しいので、和を頂点の数で割れます。正多角形と書かれていない場合は、各角が等しいとは決められません。

内側の角と曲がる角

図1のように、三角形の辺を1本延長すると、内角cと外角dが一直線の上に並びます。したがってc + d = 180°です。一方、三角形の内角の和はa + b + c = 180°です。2つの式の同じ180°を比べると、d = a + bとなります。外角は、隣にある内角ではなく、離れた2つの内角の和です。

図1では、aとbはdに隣接しない内角です。dに隣接するcをaやbと一緒に足すと、三角形の3つの内角の和を作ることになり、外角を求める式にはなりません。同じ頂点に角が並ぶため、文字を置く位置をよく見てください。

多角形の内角は、多角形の内部で隣り合う辺が作る角です。凸多角形では、各頂点で同じ向きに辺を延長すると、内角に隣り合う外角を1つずつ取れます。境界に沿って一周すると向きが1回転するので、それらの外角の和は360°です。各頂点で内角と外角の和は180°ですが、内角を全部足した値と外角を全部足した値は別々に扱います。

内角和を考えるときは、凸多角形の1つの頂点から、隣でない頂点へ対角線を引きます。例えば五角形では2本の対角線で3つの三角形に分かれます。重なりも隙間もなく内側を分けるので、内角をまとめた和は180°を3回足した540°です。n角形なら三角形はn − 2個で、内角和は180° × (n − 2)です。nには3以上の整数を入れます。

基本例題：六角形を分ける

問題：凸六角形の内角の和を、度を単位とする整数で求めてください。また、そのうち5つの内角が100°、110°、120°、130°、140°であるとき、残りの1つの内角を度を単位とする整数で求めてください。

図2のように、1つの頂点から隣でない3つの頂点へ対角線を引きます。六角形の内部は4つの三角形に分かれます。線の本数3本を掛けるのではなく、分かれた三角形の個数4個を使います。

まず、三角形1個の内角の和は180°です。4個分を足すと、六角形の内角和は次のようになります。

180° × 4 = 720°

次に、わかっている5つの内角を足します。途中の和を残しておくと、どの数字を使ったかを後から確認できます。

100° + 110° = 210°

210° + 120° = 330°

330° + 130° = 460°

460° + 140° = 600°

残りの角をx°とすると、6つの内角の和が720°なので、600° + x° = 720°です。両側から600°を引きます。

x° = 720° − 600° = 120°

答えは、内角の和が720°、残りの内角が120°です。求めた120°を問題の場面に戻し、100° + 110° + 120° + 130° + 140° + 120° = 720°と確かめます。どの内角も180°未満であり、各内角に対応する外角は順に80°、70°、60°、50°、40°、60°です。外角の和も360°になるので、凸六角形の条件と矛盾しません。

図の対角線の引き方は、1つの頂点からの線にそろえるのが手がかりです。隣の頂点を結ぶ線はもともとの辺ですから、新しい対角線として数えません。反対に、三角形の個数を数えるときは、対角線の両側にできた領域をそれぞれ数えます。区切った領域を指でたどると、3本の線と4個の三角形を混同しにくくなります。

外角から多角形を決める

問題：ある正多角形の1つの外角が24°です。辺の数を整数で求め、1つの内角も度を単位とする整数で求めてください。外角は各頂点で同じ向きに1つずつ取ります。

正多角形では内角が等しく、それぞれに隣接する外角も等しくなります。外角の和は360°なので、辺の数をnとすると、24° × n = 360°です。両辺を24°で割ります。

n = 360 ÷ 24 = 15

1つの内角は、その隣の外角と合わせて180°です。したがって180° − 24° = 156°です。答えは15辺、内角は156°です。

元の条件へ戻すと、外角は15個で24° × 15 = 360°です。内角も156° × 15 = 2340°であり、三角形に分ける方法の180° × (15 − 2) = 2340°と一致します。どちらも和が合うことを確かめられます。

ここでの分かれ目は、角が等しいという条件です。外角の和が360°という性質は凸多角形で使えますが、1つの外角が24°という情報だけでは、残りの外角がすべて24°とは限りません。正多角形だから360°を24°で割れます。もし等しいという条件がなければ、外角の和から他の外角の合計は求まっても、辺の数をこの割り算で決めることはできません。

足してはいけない角を見つける

図3の三角形では、離れた2つの内角が50°と60°です。外角を求めるときに、誤って180° − 50° − 60° = 70°と答えることがあります。この式で求まるのは残りの内角です。図3のように、70°と求める外角は隣り合っています。

原因は、問題が指定した外側の角を、三角形の内側にある空欄と読み替えたことです。式自体は三角形の内角和に合っていますが、答える位置が違います。図に求める角の印を先に付け、70°の隣にある外角を求め直します。

180° − 70° = 110°です。別の確かめ方では、離れた内角を足して50° + 60° = 110°となります。問題の指定した位置に110°を書き、隣の70°と足して180°になることも確認します。

多角形でも、内角和と外角和の混同に注意します。各頂点で内角と外角は一直線を作りますが、内角和が常に360°になるわけではありません。360°は、凸多角形で同じ向きに取った外角を1つずつ足した和です。どの角を集める式かを、式の横に「内角」または「外角」と書いておくと修正しやすくなります。

式を立てる前の点検

図に角度が複数書かれているときは、まず求める角を小さな弧で囲みます。次に、その弧が多角形の内側にあるか、辺の延長との間にあるかを判断します。角度の数字が近くに書かれていても、どの2本の線の間を示すのかを見なければ、隣の角の値と取り違えることがあります。線が交わる頂点から両方の辺をたどると、角の範囲を確定できます。

内角和から残りを引く問題では、与えられた角の個数にも注目します。六角形なのに5個を足して終えた場合は、その和が六角形全体の和ではなく、わかっている角の合計だと読み直します。残りが1つなら全体から引けますが、残りが2つならその和しか決まらず、それぞれの値には別の条件が必要です。合計が出たことと、それぞれの角度が決まったことは同じではありません。

外角和を使うときも、各頂点で辺を進行方向に延長し、同じ向きの曲がり角を取ります。内角と外角を交互に足したり、1つの頂点で左右両方の外角を取ったりすると、一周分の曲がり方に対応しません。どの方向へ境界をたどるかを矢印で書き、各頂点で1回ずつ曲がることを確かめます。

答えの大きさも最後の手がかりです。凸多角形の内角は180°より小さく、対応する外角は0°より大きく180°より小さくなります。この範囲を外れた場合は、内角和の式、足した角の個数、引き算の順を順番に見直します。範囲に入っているだけでは正解の保証にはならないので、元の和に戻す確認も必要です。

自分で確かめる4問

次の問題はすべて凸多角形を扱います。角度は度を単位とする整数、辺の数は整数で答えてください。答えを見る前に、各頂点の内角と外角の位置を自分の図に書き込んでください。

1. 三角形の2つの内角が35°と75°です。残りの頂点で、その内角に隣り合う外角を求めてください。
2. 凸八角形の内角の和を求めてください。1つの頂点から対角線を引いて考えます。
3. 凸五角形の4つの内角が95°、105°、115°、125°です。残りの1つの内角を求めてください。
4. ある正多角形の1つの内角が150°です。1つの外角と辺の数を求めてください。

答えと考え方

1. 答えは110°です。外角に隣接しない2つの内角の和は35° + 75° = 110°です。残りの内角は180° − 35° − 75° = 70°で、70° + 110° = 180°となります。三角形の内角の和も35° + 75° + 70° = 180°に戻ります。70°で止めた場合は、それが内側の角であることを図で確かめます。

2. 答えは1080°です。1つの頂点から対角線を引くと、三角形は8 − 2 = 6個です。よって180° × 6 = 1080°です。対角線は5本ですが、掛けるのは三角形の6個です。8つの頂点で内角と外角を組にすると合計は180° × 8 = 1440°なので、外角和360°を引いても1080°に戻ります。

3. 答えは100°です。五角形の内角和は180° × (5 − 2) = 540°です。わかっている4つの和は95° + 105° + 115° + 125° = 440°なので、残りは540° − 440° = 100°です。元の5つを足すと95° + 105° + 115° + 125° + 100° = 540°です。外角も85°、75°、65°、55°、80°で、合計360°になります。

4. 答えは外角30°、辺の数12です。内角と隣り合う外角の和が180°なので、外角は180° − 150° = 30°です。正多角形の外角は等しく、360° ÷ 30° = 12です。元の条件に戻すと、外角30°が12個で360°、内角150°が12個で1800°です。内角和の式でも180° × (12 − 2) = 1800°となります。

覚えておくこと

• 三角形の外角は、隣にない2つの内角の和です。
• 凸n角形を1つの頂点から分けると三角形はn − 2個です。
• 内角和は180° × (n − 2)、同じ向きに取った外角の和は360°です。
• 正多角形では各角が等しいことを使い、答えを図の位置に戻します。

途中で止まったときの確かめ方

お子さまが計算を進められないときは、まず答える角に印があるかを見ます。三角形の残りの内角を出して止まっているなら、その角が問題の外角と隣り合うかを一緒に確認します。数字を直す前に、一直線で180°になる2つの角を指させるかが手がかりです。

多角形で対角線の本数を掛けた場合は、引いた線と分かれた領域を別々に数え直します。正多角形の辺の数を求める問題では、外角が等しい根拠を問題文から探します。個別指導では、式の正誤だけで終えず、答えを元の角の位置や和へ戻せるかを確かめます。角の場所と和が結び付けば、次の図でも計算の出発点を選べます。自分の言葉で「この2つは一直線」と説明できるかも確かめると、式の根拠を見失いにくくなります。