数検4級 平行線と角｜同位角と錯角の根拠を示して角度を求める｜武蔵野個別指導塾

同位角と錯角の位置を図で見分け、平行から角度を求める場合と角の等しさから平行を示す場合を整理します。

よくあるのは、見た目で等しいと書いた角の図を前に、なぜ等しいのかを尋ねられて手が止まる場面です。線が平行らしく見えても、図の見た目だけでは平行とは決められません。角の位置と与えられた条件を結び付けると、等しい理由を言葉で示せます。

この題材では、2直線を別の1直線が横切る図を中心に考えます。対頂角、同位角、錯角を使い、平行から角度を求める向きと、角の等しさから平行を判断する向きを区別します。三角形の角の和は使いません。

図から何を尋ねられるか

1つ目は、平行な2直線を横切る直線があり、1つの角度から別の角度を求める型です。等しい角を探すほか、一直線上に並ぶ角の和が180°になることも使います。求める角が与えられた角と同じ大きさなのか、180°から引いた大きさなのかを、位置を見て決めます。

2つ目は、2直線が平行かどうかを判断する型です。角度や等しい角の組が与えられ、その組が同位角または錯角なら、2直線が平行だといえます。平行だと先に決めてから角を等しいとするのでは、結論を根拠に使ってしまいます。最初に何が与えられているかを確かめましょう。

3つ目は、文字で表された角を含む型です。位置から等式を作り、文字の値を求めた後、求められた角度まで戻ります。文字の値と角度が同じとは限りません。どの角を文字で表しているかを最後まで残しておくと、答える対象を取り違えにくくなります。

いずれの型でも、線の向きや紙の置き方は本質ではありません。斜めに描いた線を頭の中で回転させるより、2つの交点と、それを通る横切る直線に注目するほうが確実です。条件が足りなければ角度を決められないことも、立派な判断です。

交点の周りにある角の名前

図1のように、2直線 l、m を1本の直線が横切り、上の交点を P、下の交点を Q とします。ここでは l と m が平行です。各交点の角を、横切る直線の左か右か、横線の上か下かで見分けます。

図1の P の右上の角 a と Q の右上の角 b は、2つの交点で同じ位置にあります。このような組を同位角といいます。平行な2直線では同位角は等しいので、a = b です。右上同士に限らず、左下同士のように同じ位置にある組も同位角です。

P の右下の角 c と Q の左上の角 d は、2直線の間にあり、横切る直線の反対側にあります。この組を錯角といいます。2直線が平行なら錯角も等しく、c = d です。錯角を見つける際は、まず2直線の間を見て、次に横切る直線の左右を確かめます。

1つの交点で向かい合う角は対頂角です。例えば P の右上の a と左下の角は等しくなります。対頂角が等しいことに、l と m が平行である条件は必要ありません。2直線が交わっていれば使える性質なので、平行かどうか不明な問題でも役立ちます。

一方、隣り合って一直線を作る2つの角の和は180°です。図1の a と c はこの関係にあります。対頂角、同位角、錯角はそれぞれ位置の条件が異なります。名前を先に当てはめるより、交点が同じか、2直線の間か、横切る直線のどちら側かを順にたどってください。

2直線が平行とわかっていない場合も、同位角や錯角という位置の名前は使えます。ただし、その時点では角が等しいとは限りません。反対に、同位角が等しい、または錯角が等しいことが与えられれば、2直線は平行だと判断できます。位置の名前と、等しいという性質を分けて読むことが要点です。

基本例題：等しい角を経由する

問題。図2で直線 l と m は平行です。直線 t がそれらと交わり、上の交点 P の右上の角は64°です。下の交点 Q の右下の角 x を求め、整数の度数で答えてください。

図2のように、まず Q の右上の角を考えます。P の右上と Q の右上は同位角であり、l と m は平行です。したがって、Q の右上の角は64°です。ここでは、平行という条件と同じ位置という観察の両方が、等しいといえる根拠です。

Q の右上の角と、求める右下の角 x は、直線 m 上に並んでいます。2つを合わせると一直線になるので、その和は180°です。式を1行ずつ書くと、次のようになります。

64° + x = 180°

x = 180° − 64°

x = 116°

答えは116°です。求めた角を元の図に戻すと、Q の右上の64°と右下の116°の和は180°です。また、Q の右上は P の右上と同位角として等しく、与えられた64°とも一致します。2つの条件をそれぞれ確認できました。

別の道筋もあります。P の右下は64°と一直線を作るので116°です。その角と Q の右下は同位角ですから、平行な直線の性質により x は116°です。どちらの道筋でも、等しい角を選ぶ段階と180°から引く段階を分けています。

64°をそのまま x にしてしまった場合は、P の右上と Q の右下が同じ位置ではないことを確かめてください。同位角は、どちらも右側というだけでは決まりません。それぞれの横線に対して上か下かもそろえる必要があります。

条件が逆向きの例題

問題。2直線 p、q を直線 t が横切っています。p 上の交点の右上の角は (3x + 12)°、q 上の交点の右上の角は (5x − 28)°です。この2つの角が等しいとき、x の値と、p と q が平行かどうかを答えてください。x は整数で答えます。

2つの角はどちらも各交点の右上にあるため、同位角です。等しいという条件から、まず次の式を作れます。

3x + 12 = 5x − 28

12 + 28 = 5x − 3x

40 = 2x

x = 20

この値を両方の角に戻すと、3 × 20 + 12 = 72、5 × 20 − 28 = 72 です。指定された2つの角はともに72°なので、等しいという条件を満たします。同位角が等しいため、p と q は平行です。

ここでの分かれ目は、平行が問題文にあるかどうかです。平行が与えられた基本例題では、平行を根拠に同位角を等しいとしました。この問題では、同位角が等しいことが与えられ、それを根拠に平行と結論しました。式に使える等しさの出どころは、問題ごとに異なります。

もし等しいという条件がなく、図が平行に見えるという情報しかなければ、同じ式は作れません。角度を決められる場合と決められない場合の境界を、図の形ではなく条件で確かめましょう。また、x = 20 は角度そのものではありません。この問題では平行の判断に加えて x を求めましたが、角度を尋ねられたなら72°まで計算して答えます。

間違いを位置から直す

図3のように、平行な2直線を横切る直線で、P の右上が58°のとき、Q の右下も58°と答えたとします。右側にあるという共通点はありますが、P では横線の上、Q では横線の下です。同位角ではないので、その理由で等しいとはいえません。

図3では Q の右上が P の右上と同位角です。平行だから Q の右上は58°となり、その隣の右下は 180° − 58° = 122° です。58°と122°を足すと180°になり、一直線上の条件にも戻ります。誤答の原因は計算より前の、角の組の選び方にありました。

もう1つの誤りは、向かい合う角なら交点が違っていても対頂角だとすることです。対頂角は同じ交点にある2つの角です。交点が違えば、同位角や錯角などの位置関係を調べ、等しいとするには平行という条件も確かめます。

逆向きの判断でも注意が必要です。1つの交点の対頂角が等しいことだけでは、もう一方の直線との平行は決まりません。対頂角は2直線が平行でなくても等しいからです。平行を結論するには、2つの交点にまたがる同位角または錯角が等しいと示せるかを調べます。

図に角度の書き込みが多くなったら、どの2本を平行と見ているか、どの1本がそれらを横切るかを指でたどります。複数の線がある図では、関係する3本を選び直すことで、別の角を誤って組にする失敗を防げます。

自分で確かめる4問

各問で角度を求めるときは、整数の度数で答え、理由も書いてください。直線は十分に延びているものとします。

1. 平行な直線 a、b を直線 t が横切ります。a との交点の左上の角が47°です。b との交点の左上の角と、その右上の角をそれぞれ求めてください。
2. 平行な直線 c、d を直線 s が横切ります。c との交点の右下の角が123°です。d との交点の左上の角と、右上の角をそれぞれ求めてください。
3. 直線 e、f を直線 u が横切ります。e との交点の左下の角と f との交点の右上の角は、2直線の間にあり、ともに81°です。e と f は平行ですか。理由も答えてください。
4. 平行な直線 g、h を直線 v が横切ります。g との交点の左上の角は (2y + 10)°、h との交点の左上の角は (4y − 30)°です。y を整数で求め、これらの角度も答えてください。

答えと考え方

1. 左上は47°、右上は133°です。平行線の同位角は等しいので、b の左上は47°です。b の左右の上側の角は一直線を作るため、右上は 180° − 47° = 133° です。47° + 133° = 180° となり、与えられた角と同位角も一致します。

2. 左上は123°、右上は57°です。c の右下と d の左上は、2直線の間で横切る直線の反対側にある錯角です。平行なので等しく、左上は123°です。d の左上と右上の和は180°ですから、右上は 180° − 123° = 57° です。元の123°と錯角が一致し、隣同士の和も180°です。

3. 平行です。指定された2つの角は2直線の間にあり、横切る直線の反対側にあるので錯角です。その錯角がともに81°で等しいため、e と f は平行といえます。81°という数値自体ではなく、指定された錯角が等しいことを根拠にします。1つの交点の対頂角を比べた場合とは違い、2つの交点を結ぶ条件です。

4. y = 20、角度はともに50°です。2つの左上の角は同位角で、g と h が平行なので等しくなります。

2y + 10 = 4y − 30

40 = 2y

y = 20

元の表示に戻すと、2 × 20 + 10 = 50、4 × 20 − 30 = 50 です。どちらも50°なので平行線の同位角の条件と合います。y の値だけで終わらず、求めるよう指定された角度も記します。

問題を読み違えたときは、解答の数値を見る前に、交点ごとに上・下・左・右を書き込んでみましょう。図が手元になければ、2本の線とそれらを横切る線を自分で描き、問題の条件を移します。平行かどうかが与えられていない線には、勝手に平行の印を付けないことが大切です。

角度の数値が記されていない問題では、求めることができない理由も説明してみましょう。例えば2本の直線を1本が横切り、上の交点の角が決まっていても、下の直線が平行とは限らなければ、下の交点の角は動かせます。上の交点の対頂角は決まりますが、別の交点の同位角が同じとは限りません。どの角が決まり、どの角に追加の条件が必要かを区別すると、条件の読み落としに気づけます。

また、同位角の等しさから平行を判断する問題で、与えられた2つの角が隣り合う角の形で書かれている場合もあります。そのときは、まず一直線の角を使って同位角の位置にある角を求めます。求めた角がもう一方の同位角と等しければ平行といえます。角度が等しいという結論にたどり着いた理由を残せば、平行と判断する根拠も読み返せます。

手元に残す要点

• 対頂角は同じ交点で向かい合い、平行でなくても等しいです。
• 平行な2直線では、同位角と錯角がそれぞれ等しくなります。
• 同位角か錯角が等しければ、2直線は平行です。
• 一直線上に並ぶ角の和は180°です。
• 角の位置と平行の条件を確かめ、求めるものに戻して答えます。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが角度をすぐ答えられても、理由を尋ねると位置の判断が曖昧なことがあります。まず、同じ交点の向かい側を対頂角として指せるか、次に別々の交点の同じ位置を同位角として選べるかを確かめます。名前が言えても位置が違う場合は、交点と上下左右へ戻ります。

個別指導では、平行が与えられた図と、錯角が等しいとだけ与えられた図を並べ、何を根拠に何を結論したかを口頭で確かめられます。計算で止まる場合は、等しい角を見つけた後に一直線の180°を使う段階を分けて書きます。条件の不足に気づけた場合も、図の見た目に頼らず判断したことを確認します。

角の大きさは、位置と条件をつなぐことで根拠を持って決まります。