高校受験の理科 仕事と仕事率—力の向きと移動距離を確かめて道具を比べる｜武蔵野個別指導塾

動滑車で力が半分になるとき、引く距離と時間をどう扱うか。斜面との比較で整理する鍵は仕事と仕事率です。

よくあるのは、中学生が動滑車を使って荷物を持ち上げる図を見て、「必要な力が半分なら、仕事も半分」と答える場面です。確かに、手が出す力は小さくなります。しかし、手が動く距離まで同じとは限りません。荷物が上がる距離と、手がひもを引く距離を別々に追うと、力と距離の組を取り違えずに比べられます。

図や数値から何を問うか

出題の型の1つは、物体に加えた力と、その力の向きに物体が動いた距離から仕事を求めるものです。荷物の重さが示され、同じ高さまでまっすぐ持ち上げる場合を考えます。力の大きさはニュートン、距離はメートルに直してからかけます。手が荷物にした仕事なのか、ひもを引く手が道具にした仕事なのかも読み取ります。

もう1つは、動滑車や斜面を使うときに、力の大きさと移動距離がどう変わるかを比べる型です。装置の図では、荷物が移動する距離と手が移動する距離にそれぞれ印をつけます。力が小さくなったという一方の変化だけでなく、距離が長くなる変化まで確かめます。

さらに、同じ仕事をするのにかかった時間から仕事率を求めたり、異なる仕事を異なる時間で行う場合に仕事率を比較したりする型もあります。仕事の大小と仕事率の大小は別の問いです。まず仕事を求め、その仕事に対応する時間で割る順に考えます。

力が動かした距離を選ぶ

理科でいう仕事は、物体に力を加え、その力の向きに物体が動いたときに考えます。力の向きと物体の移動の向きが同じ場合、次の式を使います。

仕事〔J〕 = 力〔N〕 × 力の向きに動いた距離〔m〕

単位の J はジュールです。例えば水平な床で箱を右向きに押し、箱が右へ動いたなら、押す力と箱の移動距離を組にします。力を加えても箱が動かなければ、箱を動かす仕事は 0 J です。力を出して疲れたという日常の感覚と、理科の仕事の定義を分けて読みます。

図1のように、箱を上向きに支えたまま水平に運ぶ場合、支える力の向きと移動方向は直角です。この支える力による仕事は 0 J です。歩くための別の力や、体が使ったエネルギーを 0 と決めているわけではありません。何の力による仕事を問われているかが重要です。

図1では、水平に押す力と箱の水平移動を対応させ、支える力は移動方向と直角であることを示しています。力の向きと移動方向が斜めに交わる場合の計算にはここでは踏み込みません。

仕事率は、一定時間あたりにした仕事です。時間を秒にそろえ、仕事をその時間で割ります。

仕事率〔W〕 = 仕事〔J〕 ÷ 時間〔s〕

W はワット、s は秒です。1 W は 1秒あたり 1 J の仕事をする仕事率です。同じ仕事なら、短い時間で行った方が仕事率は大きくなります。一方、時間が長くても仕事が十分大きければ、仕事率が大きい場合もあります。比べるときは、仕事と時間の両方を見てから割り算します。

道具を使う場合も、力と距離を同じ場所で対応させます。手がひもを引く力に荷物の上がった距離をかけると、手が動いた距離を使い損ねます。反対に、荷物を上向きに動かす力に、手が引いた距離をかけるのも混同です。どの物体に、どの力がした仕事かを式の前に言葉で書くと整理できます。

基本例題：動滑車で持ち上げる

【問題】重さ 24 N の荷物を、動滑車を使って一定の速さで鉛直上向きに 0.6 m 持ち上げます。ひもの一端は天井に固定し、ひもは荷物と一緒に動く滑車を回って、もう一方の端を手で鉛直上向きに引きます。ひもは伸びず、摩擦と滑車・ひもの重さは無視します。動滑車を支える2本のひもの張力は等しいものとします。手が引く力、手が引く距離、手がした仕事を求めてください。また、この作業に 4 s かかったときの手の仕事率を求めてください。力は N、距離は m、仕事は J、仕事率は W で、それぞれ整数または小数で答え、丸めないものとします。

図2のように、荷物と一緒に動く滑車を2本のひもが支えます。手の力が荷物の重さの半分になるのは、この2本が同じ大きさの力で支える条件があるためです。ひもの引く端と固定端を読み違えないように見ます。

まず、荷物と滑車を支える力は、荷物の重さとつり合います。ひも1本分の張力は等しいので、手が引く力を求める式は次のとおりです。

24 ÷ 2 = 12 N

荷物と滑車が 0.6 m 上がると、固定端から滑車までの部分は 0.6 m 短くなります。ひも全体の長さを保つには、滑車から手までの部分が 0.6 m 長くなる必要があります。手は滑車の上昇分 0.6 m と、その区間の長さの増加分 0.6 m を合わせ、鉛直上向きに 1.2 m 動きます。

0.6 × 2 = 1.2 m

手が道具にした仕事では、手が引く力と、手がその力の向きに動いた距離をかけます。

12 × 1.2 = 14.4 J

次に時間で割ります。仕事を求める段階では時間をかけたり割ったりしません。

14.4 ÷ 4 = 3.6 W

答えは、力 12 N、距離 1.2 m、仕事 14.4 J、仕事率 3.6 W です。答えを元の場面に戻すと、2本のひもが 12 N ずつ支えるので合計は 24 N です。また、引いた 1.2 m は 0.6 m が2本分であり、仕事率 3.6 W で 4 s の仕事は 14.4 J に戻ります。

直接持ち上げる場合は、一定の速さなら 24 N の力で荷物を 0.6 m 動かします。したがって 24 × 0.6 = 14.4 J です。動滑車を使っても手の仕事が同じなのは、力が半分になった分、力の向きに手が動く距離が2倍になったからです。これは摩擦や道具の重さを無視した条件での比較です。

斜面と時間を加えて比べる

【問題】重さ 30 N の荷物を、高さ 0.8 m の台へ一定の速さで上げます。方法Aは荷物を鉛直に直接持ち上げ、8 s かけます。方法Bは長さ 2.4 m の斜面に沿って荷物を上向きに押し、12 s かけます。摩擦と道具の重さは無視し、荷物の向きは変えず、斜面を押す力は斜面に平行とします。方法AとBの仕事、方法Bで押す力、それぞれの仕事率を求めてください。仕事は J、力は N、仕事率は W で整数または小数で答え、丸めません。

直接持ち上げる方法Aでは、重さと同じ 30 N の力を上向きに加え、同じ向きに 0.8 m 動かします。

30 × 0.8 = 24 J

摩擦や道具の重さを無視できる場合、道具を使っても、同じ荷物を同じ高さに上げるための仕事は変わりません。これを仕事の原理といいます。したがって方法Bで押す仕事も 24 J です。斜面上で押す力を求めるには、仕事を押す距離で割ります。

24 ÷ 2.4 = 10 N

ここでは 10 N と斜面に沿う 2.4 m が同じ力と移動の組です。高さの 0.8 m は、直接上げるときの距離として使います。斜面で押す力に高さをかけると、押した向きの移動距離を使っていません。

それぞれの仕事率は、同じ 24 J をそれぞれの時間で割ります。

方法A: 24 ÷ 8 = 3 W

方法B: 24 ÷ 12 = 2 W

方法Bは力が小さくなり、移動距離が長くなります。仕事はどちらも 24 J ですが、方法Bの方が時間が長いため仕事率は小さくなります。答えを戻すと、10 × 2.4 = 24 J、3 × 8 = 24 J、2 × 12 = 24 J です。いずれも問題の仕事と合います。

分かれ目は、仕事と仕事率のどちらを比べるかです。時間が異なるという条件だけから、仕事が異なるとはいえません。一方、仕事が同じというだけでは、仕事率も同じとはいえません。また、摩擦を無視できない場合は、同じ高さへ上げるときも道具にする仕事が増えることがあります。上の仕事の原理をそのまま数値に当てはめず、問題の条件を確かめます。

誤った組合せを直す

基本例題で「12 × 0.6 = 7.2 J」とする誤答を考えます。12 N は手がひもを引く力ですが、0.6 m は荷物が上がる距離です。別々の物体についての数を組にしたため、手が動いた距離を半分に取り違えています。

図3のように、手の仕事を求めるときは、手の力 12 N と手の移動 1.2 m を結びます。荷物を直接持ち上げる場合なら、荷物を上げる力 24 N と荷物の移動 0.6 m を組にします。どちらの計算も、対応する力と距離を選べば 14.4 J です。

斜面でも、押す力に台の高さをかける間違いが起こります。図3と同じように「力はどの方向か」「その力で動かした物体はその方向に何 m 動いたか」を順に問います。斜面に沿って押すなら、斜面に沿う移動距離を選びます。

もう1つの誤りは、仕事率を求めるときに 1分を 1秒として扱うことです。時間が分で与えられたら、1分 = 60秒を使って秒に直し、その後に仕事を割ります。単位を最後に付けるだけでなく、計算前に距離は m、時間は s と書き換えると原因を見つけやすくなります。

練習：図の向きと数をたどる

次の問題は、必要な条件をそれぞれ問題内に示しています。答えを読む前に、仕事をする力とその向きの移動距離に印を付けてください。

1. 箱を水平な床の上で右向きに 15 N の力で押し、右向きに 3 m 動かしました。箱にした仕事と、この移動に 5 s かかったときの仕事率を求めてください。J と W で整数で答えます。

2. 重さ 18 N の荷物を、ひもの一端を天井に固定した動滑車で一定の速さで鉛直上向きに 0.5 m 上げます。荷物と一緒に動く滑車を支える2本のひもの張力は等しく、手は自由端を鉛直上向きに引きます。ひもは伸びず、摩擦とひも・滑車の重さは無視します。手の力、引く距離、手の仕事を N、m、J で整数または小数で答え、丸めません。

3. 重さ 40 N の荷物を、高さ 0.9 m の台へ上げます。長さ 3 m の斜面に沿って一定の速さで押し上げるとき、押す力と仕事を求めてください。摩擦と道具の重さは無視し、押す力は斜面に平行、荷物の向きは変わらないものとします。N と J で整数で答えます。

4. 荷物に上向きの力を加えて水平な廊下を一定の高さで 6 m 運びました。荷物を支える上向きの力による仕事を J で整数で答えてください。また、別の作業で 180 J の仕事を 1分間に行ったときの仕事率を W で整数で求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 箱を押す力と箱の移動はどちらも右向きです。仕事は 15 × 3 = 45 J、仕事率は 45 ÷ 5 = 9 W です。確かめると 9 × 5 = 45 J となり、5 s 間の仕事に戻ります。15 N の力で動かした距離も 45 ÷ 15 = 3 m と元の条件に合います。

2. 2本のひもで重さを等しく支えるので、手の力は 18 ÷ 2 = 9 N です。滑車が 0.5 m 上がると固定端側の部分は 0.5 m 短くなり、自由端側の部分は同じだけ長くなるため、手の上昇距離は 0.5 + 0.5 = 1 m です。手の仕事は 9 × 1 = 9 J です。戻して確かめると、9 N が2本で 18 N、1 m のひもは 0.5 m が2本分です。直接上げるときも 18 × 0.5 = 9 J です。

3. 直接上げる仕事は 40 × 0.9 = 36 J です。摩擦と道具の重さを無視するため、斜面で押す仕事も 36 J です。押す力は 36 ÷ 3 = 12 N となります。12 × 3 = 36 J、また 36 ÷ 40 = 0.9 m なので、斜面の条件と台の高さの両方に戻ります。

4. 支える力は上向き、荷物の移動は水平方向なので直角です。その力による仕事は 0 J です。別の作業は 1分 = 60秒ですから、180 ÷ 60 = 3 W です。3 W で 60 s 続けば 3 × 60 = 180 J となり、与えられた仕事に戻ります。水平に運ぶ別の力の仕事と、上向きに支える力の仕事を混ぜないことも確かめます。

計算の前に見通しを立てることも役立ちます。動滑車で力が小さくなっても、同じ高さに上げる仕事は無視した摩擦や道具の重さの条件のもとで変わりません。答えが直接持ち上げたときの半分になったら、手が引く距離を荷物の移動距離と取り違えていないか点検できます。斜面でも押す力が小さくなる方向と、押す距離が長くなる方向を図の上で照合します。割り算を急ぐ前に、どの量が変わったかを説明できると式の意味が残ります。

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仕事は、力とその向きに動いた距離をかけます。
仕事率は、仕事を秒で表した時間で割ります。
動滑車では、力が小さくなる分、ひもを長く引きます。
摩擦と道具の重さを無視すると、同じ荷物を同じ高さに上げる仕事は道具を使っても同じです。

途中のどこで迷ったかを見つける

お子さまが答えを間違えたときは、まず数値を計算する前に、図のどの物体に働く力かを指で示してもらいます。続いて、その力と同じ向きに動いた距離を図から選べるかを見ます。ここで荷物と手の距離を入れ替えるなら、ひもの2本の部分がそれぞれどれだけ短くなるかを言葉にしてから式へ戻ります。

距離を正しく選べても仕事率で迷う場合は、仕事と時間を別の行に書き、時間の単位を秒に直せるかを確かめます。個別指導では、数値を変えた図でも力と移動の組を説明できるか、計算結果を元の条件へ戻せるかを途中式とともに見ます。力を小さくする道具の働きは、動く距離まで追うと読み取れます。