高校受験の理科 力学的エネルギー—位置と速さの変化から保存の条件を考える｜武蔵野個別指導塾

斜面の各位置で位置エネルギーと運動エネルギーを足し、保存する場合と摩擦で減る場合を表で比べます。

よくあるのは、中学生が摩擦のある斜面でも力学的エネルギーが保存するとする場面です。高い位置から物体を放し、低い位置へ下ると速くなるので、高さの分がそのまま運動の分に移ると考えたくなります。しかし、斜面との摩擦があれば、周囲を含めた温度の上昇などにも目を向ける必要があります。まず物体に注目して足し算する量と、その外へ移る量を分けましょう。

要点（結論から）

• 位置エネルギーは基準面からの高さに注目します。
• 同じ物体では速いほど運動エネルギーが大きくなります。
• 力学的エネルギーは同じ位置の2種類の和です。

高さと運動をどう読むか

出方の型の1つは、斜面上の複数の位置を比べ、高さと速さの変化を言葉で説明する問題です。基準となる面からの高さが下がると、位置エネルギーは小さくなります。摩擦などを無視できる条件なら、その減少に対応して運動エネルギーが増えます。速さが増すことと、高さが減ることを別々に読み、その後で両者を結びつけます。

もう1つは、位置エネルギーと運動エネルギーの値が与えられた表の空欄を埋める問題です。保存が成り立つ条件を確認し、同じ位置の2つを足します。式に入れる数字を探す前に、行が位置を表すのかエネルギーの種類を表すのかを確かめると、別の位置の値を誤って足すことを防げます。

3つ目は、摩擦の有無を変えた運動を比べる問題です。摩擦がある場合は、物体の力学的エネルギーの減少と、物体や接触面の温度が上がることなどを対応させます。減った分が消えたと考えるのではなく、別の形に変わったと捉えます。ここで扱う数値は、問題ごとに与える条件であり、特定の物体の測定値ではありません。

2種類のエネルギーを同じ位置で足す

物体が高い所にあるためにもつエネルギーを位置エネルギーといいます。同じ物体なら、基準にした面から高いほど大きくなります。位置エネルギーの数値を扱うときは、どの高さを0とするかが必要です。基準を変えた数値を、そのまま同じ表に混ぜることはできません。斜面の長さと高さも別の量です。高さを見るときは、基準面から鉛直方向にどれだけ離れているかを確かめます。

運動している物体がもつエネルギーを運動エネルギーといいます。同じ物体では速いほど大きく、止まっていれば0です。運動エネルギーの大小から速さの大小を比べるときは、同じ物体を比べているかに注意します。運動エネルギーが2倍なら速さも2倍、といった比例関係を勝手に置いてはいけません。速さの数値を求める条件がないときは、大小の判断にとどめます。

図1のように、ある位置での位置エネルギーと運動エネルギーの和を力学的エネルギーと呼びます。物体が下る間、位置の分は減り、運動の分は増えます。摩擦や空気の抵抗を無視でき、重力による変化だけを考える場合は、この和が一定に保たれます。これが力学的エネルギーの保存です。2種類がそれぞれ一定という意味ではありません。

図1の上と下は同じ物体の別の位置です。上では高さがあり、下では高さが小さくなる一方、速さが増しています。矢印は運動の向きと変化の対応を示します。摩擦を無視できないときは、減少した位置エネルギーの全部が運動エネルギーになるとは限りません。

エネルギーは熱や音などへ変換されることがあります。摩擦のある面上では、物体と面の温度が上がることがあります。周囲へ広がって取り出しにくくなる変化を散逸と呼びます。物体の力学的エネルギーだけを見れば減っても、エネルギーが無くなったという意味ではありません。音などへの変換や周囲への移動も含めて考えることが必要です。

基本例題：保存する和から空欄を求める

なめらかな斜面上の同じ小球を、点Aで静かに放します。摩擦と空気の抵抗は無視でき、重力による変化だけを考えます。点Cを通る水平面を位置エネルギーの基準とし、A、B、Cの順に下ります。Aの位置エネルギーは18 J、Bの位置エネルギーは11 Jです。Cの高さは基準面と同じです。BとCの運動エネルギーをそれぞれ整数で、単位Jを付けて求めてください。小球の回転は考えません。

図2のように、まずAの2種類をそろえます。静かに放すので、放した瞬間の速さは0です。したがってAの運動エネルギーは0 Jです。Aの力学的エネルギーは、同じAでの位置エネルギーと運動エネルギーを足して、

18 J + 0 J = 18 J

です。条件から和が保存されるため、BでもCでも力学的エネルギーは18 Jです。Bの運動エネルギーを求めるには、Bの和からBの位置エネルギーを引きます。

18 J − 11 J = 7 J

よってBの運動エネルギーは7 Jです。Cでは基準面からの高さが0なので、位置エネルギーを0 Jとします。Cの運動エネルギーは、

18 J − 0 J = 18 J

です。答えはBが7 J、Cが18 Jです。

図2の各箱では、同じ位置の2種類を足しています。答えを元の場面に戻すと、Bは11 Jと7 Jで18 J、Cは0 Jと18 Jで18 Jです。どちらもAの和と一致します。Bで位置エネルギーが7 J減ったことと、運動エネルギーが7 J増えたことも対応しています。

途中でBの11 Jをそのまま運動エネルギーとすると、Bの和は22 Jになり、保存条件と合いません。最初に和を決め、求める位置の既知の分を引く順序なら、位置と運動の取り違えにも気づけます。Cの速さを数値で求めるための条件は与えられていないので、18 Jから速さの数値を作る必要はありません。

条件が変わる例題：減った分の行き先

同じ物体を点Pで静かに放し、斜面を下って点Qを通過させます。PとQでの位置エネルギーはそれぞれ24 J、6 Jです。摩擦のある斜面を使ったところ、Qの運動エネルギーは12 Jでした。PからQまでの間に減った物体の力学的エネルギーを整数で、単位Jを付けて求め、その変化を説明してください。空気の抵抗は無視し、物体の回転は考えません。

Pでは静止しているので運動エネルギーは0 Jです。Pの力学的エネルギーは24 J + 0 J = 24 Jです。Qでは位置と運動を足し、6 J + 12 J = 18 Jとなります。物体についての減少は24 J − 18 J = 6 Jです。答えは6 J減少し、その分は摩擦によって物体や斜面の内部エネルギーなどに変換された、となります。与条件の範囲では、その内訳をさらに数値で決めることはできません。

元の値に戻して確かめると、Qの18 Jと減少分の6 Jを合わせてPの24 Jになります。また、位置エネルギーの減少は24 J − 6 J = 18 Jで、そのうち運動エネルギーの増加が12 J、力学的エネルギーの減少が6 Jです。18 Jという変化を、2つの行き先に分けて捉えられます。

ここが条件の分かれ目です。もし同じPとQの間で摩擦と空気の抵抗を無視できるなら、Qの力学的エネルギーは24 Jのままです。Qの位置エネルギー6 Jを引くと運動エネルギーは18 Jとなります。実際に与えられた摩擦ありの12 Jとは異なります。摩擦の有無を読み落とすと、同じ高さを使っていても別の条件の答えになります。

摩擦があるからといって、すべての運動エネルギーが直ちに失われるわけでもありません。この例ではQで12 Jの運動エネルギーが残り、物体はQを通過しています。どれだけ減るかは、問題に与えられた値や条件から判断します。単に「摩擦あり」と書かれているだけで、減少量の数値までは決められません。

誤答を直す：保存の対象を見失わない

上のPからQの例で、「位置エネルギーが18 J減ったので、Qの運動エネルギーは18 J」と答える誤りを考えます。摩擦を無視できる場合の関係を、摩擦のある条件にそのまま使ったことが原因です。問題文のQの運動エネルギー12 Jとも矛盾します。

図3のように、位置エネルギーの減少18 Jを、運動エネルギーの増加12 Jと、力学的エネルギーの減少6 Jに分けます。2つを足すと18 Jです。温度の上昇などを含む変換先を記しておけば、物体の和が減った理由を説明できます。

別の誤りは、Pの位置エネルギー24 JからQの運動エネルギー12 Jを引き、12 J減ったとすることです。この計算ではQに残る位置エネルギー6 Jが抜けています。PもQもまずその位置の2種類を足し、その後で和どうしを比べてください。Qの和は18 Jなので減少は6 Jです。

また、Qの位置エネルギーが6 Jであることから、Qで止まると決めることもできません。高さに関する量と運動に関する量は別です。Qに運動エネルギー12 Jがあるという条件は、通過中の運動を表しています。どの量を聞かれたかを囲み、同じ位置に属する数値を横に並べると修正しやすくなります。

自分で試す4問

いずれも数値は問題用の条件です。エネルギーの値は整数で、単位Jを付けて答えてください。回転は考えず、特に指定のない抵抗は無視します。

1. 摩擦のない斜面で同じ小球を点Dから静かに放します。基準面に対するDの位置エネルギーは30 J、途中の点Eでは19 Jです。Eの運動エネルギーを求めてください。
2. 同じ物体が摩擦のない斜面の点Fを通るとき、位置エネルギーは8 J、運動エネルギーは13 Jです。さらに下った点Gの位置エネルギーは5 Jです。Gの運動エネルギーを求めてください。
3. 摩擦のある面で、同じ物体を点Hから静かに放します。Hの位置エネルギーは27 J、点Iでは位置エネルギーが9 J、運動エネルギーが10 Jでした。HからIまでに減った力学的エネルギーを求め、その行き先を1つ述べてください。
4. 同じ物体が摩擦のない軌道上の点Jを運動エネルギー14 J、位置エネルギー4 Jで通過します。その後、より高い点Kを通過するときの位置エネルギーは12 Jです。Kの運動エネルギーを求め、JとKの速さの大小を答えてください。

答えと確かめ

1. Dでの運動エネルギーは0 Jなので、力学的エネルギーは30 Jです。Eでも和は30 Jですから、30 J − 19 J = 11 Jです。答えは11 Jです。Eに戻して19 J + 11 J = 30 Jとなり、Dの和に一致します。位置エネルギーの減少11 Jと運動エネルギーの増加11 Jも対応します。

2. Fの力学的エネルギーは8 J + 13 J = 21 Jです。保存されるので、Gの運動エネルギーは21 J − 5 J = 16 Jです。答えは16 Jです。Gの値を足し直すと5 J + 16 J = 21 Jです。FからGへ位置エネルギーが3 J減り、運動エネルギーが3 J増えたことも確かめられます。Fでは既に動いているため、出発時の運動エネルギーを0にしないことが要点です。

3. Hの和は27 J + 0 J = 27 J、Iの和は9 J + 10 J = 19 Jです。27 J − 19 J = 8 Jなので、答えは8 Jです。例えば物体と面の内部エネルギーに変換され、温度の上昇につながります。Iの19 Jと減少した8 Jを足すと27 Jで、Hの和に戻ります。位置エネルギーの減少18 Jも、運動エネルギーの増加10 Jと減少分8 Jに分けられます。

4. Jの和は14 J + 4 J = 18 Jです。Kでも和は18 Jなので、運動エネルギーは18 J − 12 J = 6 Jです。答えは6 Jで、速さはJの方が大きくなります。同じ物体で運動エネルギーがJの14 JからKの6 Jへ小さくなるためです。Kで12 J + 6 J = 18 Jとなり、Jの和に戻ります。運動エネルギーの比から速さの比をそのまま決める必要はありません。

要点を手元に残す

• 位置エネルギーは基準面からの高さに注目します。
• 同じ物体では速いほど運動エネルギーが大きくなります。
• 力学的エネルギーは同じ位置の2種類の和です。
• 摩擦などを無視できる条件では、その和が保存されます。
• 摩擦があるときは温度上昇などへの変換も考えます。

途中の判断からつまずきを見分ける

答えが合っていても、保存という言葉を機械的に使っている場合があります。お子さまに図1の上と下を指してもらい、どちらの高さが大きいか、下る間に速さがどう変わるかを順に尋ねてみてください。高さと斜面の長さを混同していれば、基準面から鉛直方向にたどり直します。

個別指導では、まず問題文の摩擦の条件に印を付け、各位置の位置エネルギーと運動エネルギーを別々に書いてもらいます。和を作る前に別の位置の値を混ぜていないか、和が減った場合に変換先を説明できるかを途中式で確かめます。数値が足りない場面では、求められる大小と求められない速さの数値を分けて言えると、条件を読み取る力につながります。高さ、速さ、摩擦の3点をそろえると、斜面上の変化を筋道立てて説明できます。