高校数学C 空間ベクトルの平行条件—成分を割らずに未知数を決定する｜武蔵野個別指導塾

0成分を含む3本の式から倍率を決め、零ベクトルの扱いまで吟味します。焦点は空間の平行条件です。

よくあるのは、理系の高3が空間ベクトルの成分を比べる途中で、0の成分を分母にしてしまう場面です。3つの比を並べる形は見た目が簡潔ですが、分母が0になると、その式はそもそも意味を持ちません。割り算の前に倍率を1文字置けば、0を含む成分も同じ手順で調べられます。

数学Cの空間ベクトルでは、平面での座標表示を3成分に広げ、方向がそろう条件も成分から調べます。ここでは実数倍による平行条件を扱い、角度や距離の計算には広げません。図は空間の方向を見やすく投影したもので、紙面上の角度や長さを実際の値とみなさないでください。

平行を問う3つの入り口

第1の型は、2つの成分表示から未知数を求める問題です。一方に0でない成分が見つかれば、そこから倍率を決め、残る成分を同じ倍率で照合します。0の位置が対応しているかも条件の一部です。

第2の型は、始点と終点の座標から作った2本の有向線分を比べる問題です。先に終点の座標から始点の座標を引き、向きをそろえます。平行な直線の方向を調べるときも、各方向ベクトルが零ベクトルでないことが必要です。

第3の型は、文字の値によって一方が零ベクトルになる場合です。実数倍という代数上の関係と、方向を持つ2つのベクトルが平行という図形上の条件を区別します。問題で両方を非零とするなら、候補を求めた後にその条件へ戻して除外します。

倍率を一つにそろえる

2つの非零ベクトル a（ベクトル）と b（ベクトル）が平行であることと、ある実数 k があって a = k b と表せることは同値です。非零の a と b なら、この k は0ではありません。k が正なら同じ向き、負なら逆向きですが、どちらも平行です。

たとえば b = (2, 0, 1) とし、a = (4, 0, 2) とします。図1のように a は b の2倍なので、両者の方向は平行です。0の成分は 0 = 2・0 と照合でき、0で割る必要はありません。

図1の矢印は同じ投影のもとで描いています。実際には a と b は3成分とも2倍の関係です。始点を移して描いてもベクトル自体は変わらず、長さと向きで比較できます。

一般に a = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃) とおくと、a = k b は次の3本の式と同じです。

a₁ = k b₁
a₂ = k b₂
a₃ = k b₃

b が非零なら、b₁、b₂、b₃ の少なくとも1つは0でないので、そこから k を決定できます。残りの式に同じ k を入れ、矛盾がなければ実数倍です。反対に1本でも成り立たなければ平行ではありません。b の成分が0の場所では、対応する a の成分も0でなければならないことが、式から直接出ます。

ここで両方が零ベクトルの場合には方向が定まりません。また b が零ベクトルなら k b はどの実数 k に対しても零ベクトルです。したがって a = k b を倍率の決定に使う際は、基準にした b が非零かを先に調べます。非零の b に対して a = 0 とすると k = 0 は存在しますが、a は方向を持ちません。以下では「平行」は両方が非零という条件を含めて扱います。

基本例題：0の場所を式に残す

a = (6, p, -3)、b = (2, 0, -1) が平行となる実数 p を求めてください。答えは整数で示します。

b の第1成分は2なので b は非零です。a も第1成分が6なので非零です。図2のように、第1成分で倍率を決めてから、0を含む第2成分と第3成分を調べます。

実数 k を用いて a = k b とおくと、成分ごとに次の式を得ます。

6 = 2k
p = 0k
-3 = -k

最初の式は 2 が0でないので解けます。順に計算します。

2k = 6
k = 3
p = 0・3
p = 0
-k = -3

最後の式も k = 3 で成立します。よって答えは p = 0 です。図2のように、第2成分は倍率を決める式ではなく、対応する成分が0であることを要求する式です。

元の条件へ戻すと a = (6, 0, -3) = 3(2, 0, -1) です。3成分が同じ倍率になり、2本とも零ベクトルではありません。もし第3成分が -3 でなく別の値なら、第1成分と第2成分が合っても結論を出せないことに注意します。

標準例題：点の差から方向を作る

4点 A(1, -1, 2)、B(4, 1, 2)、C(-2, 3, 1)、D(4, q, 1) について、ベクトル AB とベクトル CD が平行となる実数 q を整数で求めてください。

まず、それぞれ終点から始点を引きます。点の座標をそのまま比べても、辺の向きは判定できません。

ベクトル AB = (4 - 1, 1 - (-1), 2 - 2)
             = (3, 2, 0)
ベクトル CD = (4 - (-2), q - 3, 1 - 1)
             = (6, q - 3, 0)

ベクトル AB は第1成分が3、ベクトル CD は第1成分が6なので、いずれも非零です。ベクトル CD = k ベクトル AB とおくと、対応する成分から次の連立式が得られます。

6 = 3k
q - 3 = 2k
0 = 0k

最初の式から k を求め、第2成分に戻します。

k = 2
q - 3 = 2・2
q - 3 = 4
q = 7
0 = 0・2

したがって q = 7 です。D(4, 7, 1) を元の点に戻すと、ベクトル CD = (6, 4, 0) で、確かにベクトル AB の2倍です。第3成分は両方0なので、倍率を決める情報にはなりませんが、矛盾がないことは確認します。

辺の向きを逆にしてベクトル DC と比べた場合、倍率は -2 です。符号は変わりますが平行という結論は変わりません。反対に、終点と始点の引き算を成分によって入れ替えると、別の方向を作ってしまいます。

発展例題：候補と非零条件を分ける

実数 t について、a = (t, 2, t − 1)、b = (1, t, 1) が平行となる t をすべて求めてください。答えは整数で示します。

b の第1成分は1、a の第2成分は2なので、どの t でも両方非零です。したがって平行条件を実数 k による a = k b と書けます。成分を比較すると次のようになります。

t = k
2 = kt
t - 1 = k

第1成分から k = t です。これを第2、第3成分にそれぞれ代入します。

2 = t²
t - 1 = t
0 = 1

最後の式はどの実数 t でも成り立ちません。よって求める t は存在しません。第2成分だけから候補を探しても、第3成分が矛盾するので採用できないことがわかります。

この問題では t が0になる可能性も、t で割らずに処理できています。仮に第2式を t で割る方針なら、先に t = 0 を別に調べなければなりません。しかし t = 0 では第2式が 2 = 0 となり不成立です。0でない場合も第1、第3成分の矛盾が残るので、結論は同じです。

もう一つ、非零条件が候補を除く仕組みを見ます。u = (s, 0, 0)、v = (2, 0, 0) について u = k v となる実数 k は、どの s に対しても k = s/2 と取れます。ただし s = 0 のとき u は零ベクトルです。両方が非零で平行という問いなら、答えは s ≠ 0 です。代数上の式が解けた時点で、図形上の方向まで自動的に得られるわけではありません。

誤答を直す：比が書けない成分

a = (4, 1, 2)、b = (2, 0, 1) について、次のように考えたとします。「第1成分と第3成分は2倍だから平行で、第2成分は0を含むので見なくてよい」。これは誤りです。

図3のように、第1成分から倍率は k = 2 に決まります。しかし第2成分は 1 = 2・0 を要求し、右辺は0です。この等式は成立しません。第3成分は合っていても、同じ倍率で3成分すべてが合うという条件を満たさないため、2つの非零ベクトルは平行ではありません。

修正するときは、比の形を消して a = k b に戻します。次に0でない成分から k を決め、各行へ代入します。対応する成分がともに0ならその行は成立し、基準側が0で相手が非零ならその行は不成立です。この違いを「0を含むから省略」とまとめないことが、解を落とさないための要点です。

逆に a = (4, 0, 2) なら、同じ k = 2 で3行が成立します。第2成分を検査した結果として成立するのであり、検査しなくてよいわけではありません。基準側のどの成分も0なら、倍率を決める前に零ベクトルとして別扱いします。

練習：倍率と方向の条件を点検する

次の5問では、平行なベクトルは両方とも非零とします。答えは実数の範囲で、数値は整数または分数で示してください。問題を解き終えてから、その下の解答を確認しましょう。

1. a = (8, x, 4)、b = (2, 0, 1) が平行となる x を求めてください。
2. a = (0, 9, -6)、b = (0, -3, y) が平行となる y を求めてください。
3. A(2, 1, -1)、B(1, 4, 3)、C(0, -2, 5)、D(2, z, -3) について、ベクトル AB とベクトル CD が平行となる z を求めてください。
4. a = (r, 0, 0)、b = (3, 0, 0) が平行となる r の範囲を求めてください。
5. a = (m, 2, 3)、b = (1, m, 1) が平行となる m を求めてください。存在しない場合はその旨を答えてください。

練習の解答と戻し方

1. 0の位置を合わせる

両ベクトルは第1成分から非零です。a = k b とおきます。

8 = 2k
x = 0k
4 = k
k = 4
x = 0

答えは x = 0 です。元の a は (8, 0, 4) であり、b の4倍です。第3成分も4倍に一致するので、3成分の条件を満たします。

2. 基準の0でない成分を選ぶ

第2成分がそれぞれ9と -3 なので両方非零です。a = k b とすると次のようになります。

0 = 0k
9 = -3k
-6 = ky
k = -3
-6 = -3y
y = 2

答えは y = 2 です。b = (0, -3, 2) を -3倍すると (0, 9, -6) に戻ります。第1成分は0同士として成立し、倍率の決定は第2成分が担います。

3. 端点の差を先に取る

2本のベクトルを計算します。

ベクトル AB = (1 - 2, 4 - 1, 3 - (-1))
             = (-1, 3, 4)
ベクトル CD = (2 - 0, z - (-2), -3 - 5)
             = (2, z + 2, -8)

第1成分がともに非零なので、方向を持ちます。ベクトル CD = k ベクトル AB として解きます。

2 = -k
z + 2 = 3k
-8 = 4k
k = -2
z + 2 = -6
z = -8

答えは z = -8 です。D(2, -8, -3) ならベクトル CD = (2, -6, -8) であり、ベクトル AB の -2倍です。第3成分も元の端点から確かめられます。

4. 倍率が0になる候補

b は非零です。a = k b とおくと次の式です。

r = 3k
0 = 0k
0 = 0k
k = r/3

この式自体はどの実数 r でも成立します。しかし r = 0 では a が零ベクトルとなるので、平行という条件から除きます。答えは r ≠ 0 です。この範囲の任意の r について、r/3 は0でなく、元の2つのベクトルは非零の実数倍です。

5. 成分を最後まで照合する

第2成分と第1成分により、a と b はそれぞれ非零です。a = k b とおきます。

m = k
2 = km
3 = k
k = 3
m = 3
2 = 3・3
2 = 9

矛盾したため、答えは存在しません。第1、第3成分に合わせた唯一の候補 m = 3 を元に戻すと、a = (3, 2, 3)、3b = (3, 9, 3) です。第2成分が一致しないことからも不成立と確かめられます。

手元に残す要点

• 平行を調べる前に、両ベクトルが非零か確かめます。
• 一方を他方の実数 k 倍とおき、0でない成分から k を決めます。
• 0の成分を含む3本すべての式に同じ k を戻します。
• 点から方向を作るときは、終点から始点を引きます。
• 式の解と方向を持つ条件を別々に吟味します。

どこで止まったかを見分ける

倍率が求まらないときは、基準に選んだベクトルの3成分を書き出し、0でない成分を探します。全部0なら基準を取り直す以前に、方向を持つという前提が崩れています。倍率は出るのに答えが合わないときは、残る成分へ戻す作業か、点の引き算に抜けがないかを調べます。

個別指導で確認するときは、まず自分が選んだ倍率と、その根拠にした成分を示してみてください。次に残り2行が成立するか口に出して説明し、零ベクトルを除いた理由を図と式で照らします。1本の矢印が向きを持つかを確かめるところから、平行条件の判断が始まります。