武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学C 空間ベクトルの成分—始点と終点をそろえて演算と大きさを求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 空間ベクトルを掘り下げる

始点と終点の差から和や長さを求め、零ベクトルに注意して向きを整える鍵は空間ベクトルの成分です。

よくあるのは、空間の2点を結ぶ矢印を見ながら、始点の座標から終点の座標を引いてしまう場面です。長さだけなら逆向きでも同じなので、途中の符号の誤りに気づかないことがあります。しかし、別のベクトルとの和や実数倍まで進むと、向きの違いが答えに現れます。どちらからどちらへ進むのかを先に言葉で決め、3つの座標について同じ順に差を取ります。

平面で学んだ成分の計算を3次元でも使えるようにするのが、数学Cで扱う空間ベクトルの学習です。ここでは空間の成分、和・差・実数倍、長さと単位ベクトルを扱い、内積や直線の方程式には進みません。

問いの形を見分ける

第一の型は、2点の座標から向きのある移動を求める問題です。終点の各座標から始点の各座標を引きます。逆向きの移動は3成分すべての符号が反対になります。座標が負の場合は、負の数を引く括弧も残すと安全です。

第二の型は、複数の移動を足したり、移動の差や実数倍を求めたりする問題です。始点が異なる矢印でも、ベクトルとしては向きと大きさが同じなら等しいので、平行移動してつなげられます。計算では対応する成分をそろえます。点の座標と移動の成分を区別し、移動後の点を求めるときは始点に移動を足します。

第三の型は、成分から長さや単位ベクトルを求める問題です。長さには符号がなく、成分の二乗の和の平方根で求めます。単位ベクトルは長さが1のベクトルで、与えられた方向を指定されたときは、元のベクトルが零でないことを確認してから長さで割ります。零の場合は割れず、方向も決まりません。

三方向の移動を一組にする

空間の座標軸は互いに垂直で、それぞれの正の向きに長さ1のベクトルを取ります。これらを順に e₁、e₂、e₃（いずれもベクトル）とします。a（ベクトル）が a = xe₁ + ye₂ + ze₃ と表されるとき、組 (x, y, z) を a の成分と書きます。各成分はその軸の正の向きへの符号つきの移動量です。

図1のように、各軸の移動を順につないでも、全体の移動は最初の点から最後の点への1本のベクトルです。図は奥行きを平面に投影した模式図です。画面上の長さや角度を、空間での長さや角度と読み替えません。

図1のように x、y、z の順で移動することは成分の意味を示す一例です。移動の順序を入れ替えても終点は同じです。移動量が負なら対応する正の軸と逆向きになり、0ならその軸方向の移動はありません。

A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂) に対して、ベクトル AB の成分は (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁) です。これは、Aの座標にこの成分を足すとBの座標に戻ることからも確かめられます。ベクトル BA はその実数倍の -1倍です。AとBが一致すれば3成分とも0で、零ベクトルになります。

2つのベクトル a = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃) と実数 t について、成分ごとに計算します。

a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)
a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, a₃ - b₃)
ta = (ta₁, ta₂, ta₃)

差 a − b は a + (-b) です。2つを同じ始点から描けば、b の終点から a の終点へ向かう矢印になります。単に対応する成分を引くだけでなく、その向きも照合できます。

長さは |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) です。まず水平な2方向の移動の長さの二乗が a₁² + a₂² となり、それと残る方向が垂直なので、三平方の定理をもう一度使います。成分がすべて0のとき長さは0、それ以外は正です。a が零でなければ a/|a| は a と同じ向きで長さ1です。逆向きを指定された場合は -a/|a| とします。

基本例題：2点から成分と大きさへ

A(1, -2, 1)、B(4, 2, 3) とします。ベクトル AB、ベクトル BA の成分、ABの長さ、ABと同じ向きの単位ベクトルを求めてください。ベクトルABとBAの成分は整数で、単位ベクトルの成分と長さは根号を含む形で表します。

図2のように、AからBへの移動では x、y、z の順にそれぞれ 3、4、2 だけ増えます。図の形は模式的な投影で、画面上の寸法は空間の長さを表しません。

まず終点から始点を引きます。

ベクトル AB = (4 - 1, 2 - (-2), 3 - 1)
              = (3, 4, 2)
ベクトル BA = (1 - 4, -2 - 2, 1 - 3)
              = (-3, -4, -2)

図2のように始点に移動を足すと、(1, -2, 1) + (3, 4, 2) = (4, 2, 3) となり、終点Bに戻ります。逆向きは3成分とも符号が反対であり、BからAに戻ることも確かめられます。

次に長さを計算します。

|ベクトル AB| = √(3² + 4² + 2²)
               = √(9 + 16 + 4)
               = √29

√29 は正なので、これで割れます。求める単位ベクトルは (3/√29, 4/√29, 2/√29) です。各成分の二乗の和は 9/29 + 16/29 + 4/29 = 1 ですから長さは1で、正の数で割っているので向きも変わりません。分母を有理化した (3√29/29, 4√29/29, 2√29/29) も同じ答えです。

標準例題：移動の和から終点を求める

P(-1, 2, 3)、Q(2, 1, -1)、R(0, -2, 4) とします。ベクトル PQ を a、ベクトル PR を b とします。2a − b の成分と長さを求め、点Pを始点としてこのベクトルだけ移動した点Tの座標を求めてください。成分と座標は整数、長さは根号で表します。

まず2本の始点がPであることを確認し、終点からPを引きます。

a = (2 - (-1), 1 - 2, -1 - 3)
  = (3, -1, -4)
b = (0 - (-1), -2 - 2, 4 - 3)
  = (1, -4, 1)
2a - b = (6, -2, -8) - (1, -4, 1)
       = (5, 2, -9)
|2a - b| = √(5² + 2² + (-9)²)
          = √110

実数倍を先に施し、その後に各成分を引きます。特に第2成分は -2 − (-4) = 2 です。長さを求める際は -9 を二乗するので正の81になりますが、成分の符号まで消してはいけません。

点Tは始点Pに移動量を足して得ます。

T = (-1 + 5, 2 + 2, 3 - 9)
  = (4, 4, -6)
ベクトル PT = (4 - (-1), 4 - 2, -6 - 3)
             = (5, 2, -9)

最後の差が指定された移動に戻りました。また、Pに a を足すとQ、Pに b を足すとRに戻ります。これにより最初の2本の向きも確認できます。点Tの座標そのものを 2a − b と取り違えると、始点Pの位置が反映されません。

発展例題：長さの条件と零の場合

A(1, 0, -1)、B(t, 2, 1) とします。実数 t について、ベクトル AB の長さが3となる t をすべて求め、それぞれの場合にABと同じ向きの単位ベクトルを求めてください。t は整数、単位ベクトルの成分は分数で表します。

まず変数を含む成分を作り、長さの条件に代入します。長さは非負なので、3との等式を二乗しても逆向きの余分な条件は生じません。

ベクトル AB = (t - 1, 2, 2)
|ベクトル AB| = √((t - 1)² + 2² + 2²)
√((t - 1)² + 8) = 3
(t - 1)² + 8 = 9
(t - 1)² = 1
t - 1 = 1 または -1
t = 2 または 0

t = 2 のとき成分は (1, 2, 2)、t = 0 のとき成分は (-1, 2, 2) です。両方とも長さは √(1 + 4 + 4) = 3 であり、零ベクトルではありません。したがって、それぞれを正の3で割れます。

t = 2 のとき (1/3, 2/3, 2/3)
t = 0 のとき (-1/3, 2/3, 2/3)

各答えの二乗和は1です。また3倍して元の移動に戻し、Aに足すとそれぞれ B(2, 2, 1)、B(0, 2, 1) に戻ります。この問題では第2、第3成分が常に2なので、tの値によらず零にはなりません。

条件を変えて長さ0を求める場面では、0で割って単位ベクトルを作る操作はできません。一般に長さ0は3成分がすべて0の場合に限られます。長さの条件を二乗した後も、求めた値を元の長さに戻し、単位ベクトルが必要なら非零を別に確認します。

向きを逆にした答えを直す

基本例題のAからBへの成分を (-3, -4, -2) とした誤答を考えます。これはAの座標からBの座標を引いた結果で、実際にはベクトル BA の成分です。長さを計算するとどちらも √29 なので、長さだけの検算では誤りが残ります。

図3のように、同じ2点を結んでいても矢印の先が違えば別のベクトルです。求める記号 AB の最初の文字Aが始点、次の文字Bが終点であることに戻ります。

図3のように、Aから誤った成分を足すと (-2, -6, -1) となりBには着きません。一方、正しい (3, 4, 2) をAに足すとBに着きます。終点に戻る検算は、長さが偶然合う逆向きの誤りを見つけるのに役立ちます。

もう一つの誤りは、(3, 4, 2) を長さの二乗29で割り、単位ベクトルとすることです。そのベクトルの長さは √29/29 であり1ではありません。割る数は二乗和そのものではなく、その平方根である長さです。長さが0の場合は、平方根を取った後で割り算を止めます。

練習問題

次の5問では、成分と座標は整数または分数、長さは根号を用いて表してください。各問の点やベクトルは互いに独立です。

C(-2, 1, 4)、D(1, -3, 6) とします。ベクトル CD とベクトル DC の成分、および CD の長さを求めてください。
a = (2, -3, 1)、b = (-1, 4, 2) とします。a + b、3a − 2b の成分と後者の長さを求めてください。
E(3, -1, 2) から v = (-4, 2, 5) だけ移動した点Fの座標と、ベクトル FE の成分を求めてください。v はベクトルです。
w = (2, -2, 1) とします。w と同じ向き、および逆向きの単位ベクトルを求めてください。w はベクトルです。
G(2, -1, 3)、H(s, 1, 4) とします。ベクトル GH の長さが3となる実数 s をすべて求め、各場合の GH と同じ向きの単位ベクトルを求めてください。s は根号を用いて表します。

練習の解答と戻し方

1

ベクトル CD = (1 - (-2), -3 - 1, 6 - 4)
             = (3, -4, 2)
ベクトル DC = (-3, 4, -2)
|ベクトル CD| = √(9 + 16 + 4)
               = √29

Cに (3, -4, 2) を足すとDになり、Dに逆向きの成分を足すとCになります。長さの二乗29も3成分の二乗和と一致します。

2

a + b = (2 - 1, -3 + 4, 1 + 2)
      = (1, 1, 3)
3a - 2b = (6, -9, 3) - (-2, 8, 4)
        = (8, -17, -1)
|3a - 2b| = √(64 + 289 + 1)
           = √354

和から b を引くと元の a に戻ります。さらに (8, -17, -1) に 2b を足すと (6, -9, 3) となり、3a に一致します。二乗和は354です。

3

F = (3 - 4, -1 + 2, 2 + 5)
  = (-1, 1, 7)
ベクトル FE = (3 - (-1), -1 - 1, 2 - 7)
             = (4, -2, -5)

FからEへの移動は与えられた移動の逆向きです。Fに (4, -2, -5) を足すとEに戻り、Eに v を足すとFに戻ります。

4

|w| = √(2² + (-2)² + 1²)
    = √9
    = 3
w/|w| = (2/3, -2/3, 1/3)
-w/|w| = (-2/3, 2/3, -1/3)

長さ3は正なので割れます。どちらも成分の二乗和は1で、前者の3倍は w、後者の -3倍は w です。したがって長さと向きの双方が指定に合います。

5

ベクトル GH = (s - 2, 2, 1)
√((s - 2)² + 5) = 3
(s - 2)² = 4
s - 2 = 2 または -2
s = 4 または 0

s = 4 のとき単位ベクトルは (2/3, 2/3, 1/3)、s = 0 のときは (-2/3, 2/3, 1/3) です。いずれも元の移動の長さは3で、零ではありません。それぞれの単位ベクトルを3倍してGに足すと H(4, 1, 4)、H(0, 1, 4) となります。二乗和も1なので、方向と長さを両方確認できます。