高校数学II 二円の交点を通る円—式の組合せで二次の係数と退化条件を点検する｜武蔵野個別指導塾

二次項が消える係数や組合せから漏れる元の円を、交点への代入とともに調べる円束の考え方です。

よくあるのは、高2が二つの円の式を組み合わせ、二次項が消えた式も円と呼んでしまう場面です。交点を通ることと、式が円を表すことは別の条件です。まず共有点の存在を確かめ、係数を決めた後には二次項と半径を点検します。ここでは異なる2点で交わる二円を出発点に、交点を通る円の求め方と例外を考えます。

どこで条件を使うか

一つ目の型は、二円の交点を通り、さらに指定された点を通る円を求める問題です。交点の座標を先に求める方法もありますが、式の組合せなら交点を明示せずに条件を使えます。指定点が元の円上にあると係数の決定に例外が生じるので、代入後の式を最後まで読み取ります。

二つ目の型は、中心が直線上にあるなど、円の係数に条件を課す問題です。中心を求めるには二次項の係数で割る必要があります。その係数が零のときは先に分けます。三つ目は、交点を通る円が漏れなく得られるかを問う型です。有限の文字で一方の係数を固定すると、もう一方の元の円が表せないことがあります。候補を増やす前に、その円自身が追加条件を満たすか調べます。

二つの式を足し合わせる理由

異なる2点 P、Q で交わる二円の左辺をそれぞれ S、T とし、方程式を S = 0、T = 0 とします。両方の二次項は x² + y² にそろえます。P、Q では S も T も零なので、任意の実数 a、b について aS + bT も零です。ただし a、b がともに零なら式は 0 = 0 となり、図形を指定しません。

図1のように、係数の和 a + b が零でなければ二次項が残ります。これで割ると円の一般形になり、P、Q という異なる2点を通るので半径は正です。実際、平方完成した右辺が零なら点は中心の1点だけ、負なら実数の点はありません。したがってこの場合は確かに円です。

図1では、2つの円の交点 P、Q を通る組合せを緑で示しています。一方 a + b = 0 で両係数が零でなければ、組合せは S − T の定数倍です。異なる二円が2点で交わるとき、S − T は零でない一次式です。その直線は P、Q を通りますが、円ではありません。差の直線上の点がすべて元の二円上にあるわけでもありません。

逆に P、Q を通る任意の円を U = 0 とし、その二次項も x² + y² にそろえます。U − S は P、Q を通る一次式、または恒等的に零です。零でなければ、異なる2点を通る直線は1本なので U − S は S − T の定数倍です。恒等的に零なら U は S です。よって U は S と T の組合せで表せます。これが、二円の交点を通る円を組合せで探せる理由です。

実用上は S + kT = 0 と置くことが多いです。k = -1 は直線なので除きます。また T = 0 自体は有限の k では表せません。実際、S + kT が T の定数倍なら S も T の定数倍になり、二次項の係数を比べると S = T となって異なる二円という前提に反します。T が条件を満たすか別に調べれば、漏れを補えます。

係数の選び方を変えても、表している円は同じことがあります。式全体を零でない数倍しても点の集合は変わらないからです。そのため、二次項の係数が零でないときは1にそろえてから中心と半径を読みます。係数が負でも、その負の数で式全体を割ればよく、負であること自体は円を除く理由にはなりません。

一方、2交点があるという前提を確認する前に組合せを円束として使うと、存在しない交点を通ると誤認するおそれがあります。差の式を得たら、それをどちらか一方の円に戻します。実数解が2個なら2交点、重解なら接点1個、実数解がなければ共有点はありません。差の直線が得られたことだけでは個数は決まりません。

基本例題：別の点を通す

円 S: x² + y² − 4 = 0 と円 T: x² + y² − 4x = 0 の2交点を通り、点 R(0, 1) を通る円の方程式を求めてください。

まず共有点を確かめます。差 S − T = 4x − 4 = 0 より x = 1 です。S に戻すと y² = 3 なので、交点は (1, √3)、(1, -√3) の異なる2点です。図2のように、元の2円と求める円はこの2点を共有します。

図2の橙色の円を S + kT = 0 で探します。R では S = -3、T = 1 ですから、

-3 + k = 0
k = 3

k は -1 ではなく、二次項の係数は 4 です。代入して整理します。

x² + y² - 4 + 3(x² + y² - 4x) = 0
4x² + 4y² - 12x - 4 = 0
x² + y² - 3x - 1 = 0
(x - 3/2)² + y² = 13/4

半径は √13/2 で正です。R を最後の一般形に戻すと 1 − 1 = 0、交点では S = T = 0 なので組合せも零です。漏れた T = 0 は R で 1 となるため条件を満たしません。求める方程式は x² + y² − 3x − 1 = 0 です。

標準例題：中心の位置から決める

円 S: x² + y² − 2x − 3 = 0 と円 T: x² + y² + 2x − 3 = 0 の2交点を通り、中心が直線 x + y = 1 上にある円を、方程式で求めてください。

S − T = -4x より共有点の横座標は零です。S に戻すと y² = 3 ですから2交点があります。S + kT = 0 を展開すると、

(1 + k)(x² + y²) + (-2 + 2k)x - 3(1 + k) = 0

k = -1 では -4x = 0 という直線です。k ≠ -1 として二次項の係数を1にすると、中心は ((1 − k)/(1 + k), 0) です。中心の条件に代入すると、

(1 - k)/(1 + k) = 1
1 - k = 1 + k
k = 0

この値は除外値ではありません。得られる円は S = 0、すなわち x² + y² − 2x − 3 = 0 です。中心 (1, 0) は x + y = 1 を満たし、半径は 2 です。2交点を元の式に代入しても零になります。漏れた T の中心は (-1, 0) で条件を満たしません。

ここで中心の式を作る前に k = -1 を分けたことが重要です。分母を払って解いた後に確認する場合も、分母が零だった値を円の候補に含めてはいけません。また、中心の座標が条件を満たすことと、交点を通ることは別々に戻して確かめます。

発展例題：条件が元の円を指すとき

円 S: x² + y² − 6x + 5 = 0 と円 T: x² + y² − 4y = 0 の2交点を通り、点 A(0, 4) を通る円の方程式を求めてください。

二円の中心は (3, 0)、(0, 2)、半径はそれぞれ 2、2 です。中心間距離は √13 なので、0 < √13 < 4 から異なる2点で交わります。式でも確認すると、S − T = -6x + 4y + 5 = 0 です。この直線と T の中心との距離は 13/√52 = √13/2 で、半径 2 より小さいため交点は2つです。

A をそれぞれに代入すると S(A) = 21、T(A) = 0 です。S + kT = 0 に A を入れると、

21 + k・0 = 0
21 = 0

これを満たす有限の k はありません。しかし、ここで円が存在しないとは言えません。固定した S の係数が零の円 T = 0 は、この表し方から漏れています。T は A を通り、もちろん二円の交点も通るので、答えは x² + y² − 4y = 0 です。

これ以外にないことも確認します。交点と A は同一直線上ではありません。実際、共通弦の直線に A を入れると 4・4 + 5 = 21 で零ではありません。異なる3点を通る円は高々1つです。別の円があれば2円の式の差は3点を通る一次式となりますが、一直線上にない3点を通る直線はないからです。

逆に、指定点が共通弦の直線上で元の円上にない場合には、組合せに代入して得られる係数が二次項を消すことがあります。そのとき得られるのは直線であり、条件を満たす円はありません。指定点が交点そのものなら条件は新しい制約を加えず、交点を通る円は多数あります。同じ代入でも、式が矛盾になる場合、恒等式になる場合、直線を与える場合を分けて読む必要があります。

誤答を直す：交点を通る直線は円ではない

基本例題の S、T に対し、「S − T = 0 は2交点を通る。したがって 4x − 4 = 0 は求める円である」としたとします。交点を通るという前半は正しいですが、後半が誤りです。x² と y² の係数がともに零になり、残る x = 1 は直線です。

図3の緑の直線は2交点を通りますが、例えば (1, 0) は S に代入すると -3 で、円 S 上にありません。直線全体が2円の共有部分でもありません。修正するときは、求めた k が -1 でないことを確認し、二次項を1に直して平方完成します。さらに指定点を代入し、固定係数のため漏れる T も調べます。交点を通る条件だけで判断を終えないことが、誤答を防ぐ手順です。

練習：条件の違いを見分ける

次の5問では、円の方程式または指定された結論を求めてください。各組の二円が異なる2点で交わるかも確かめ、前提が成り立たないときはその旨を答えてください。

1. S: x² + y² − 9 = 0、T: x² + y² − 6x = 0 の2交点と点 (0, 2) を通る円の方程式を求めてください。
2. S: x² + y² − 4x = 0、T: x² + y² + 4x = 0 の2交点を通る円が存在するか判定してください。
3. S: x² + y² − 2x − 8 = 0、T: x² + y² + 2x − 8 = 0 の2交点を通り、中心が y 軸上にある円の方程式を求めてください。
4. S: x² + y² − 4 = 0、T: x² + y² − 2x = 0 の2交点と点 (2, 0) を通る円の方程式を求めてください。
5. S: x² + y² − 1 = 0、T: x² + y² − 2x − 1 = 0 の2交点と点 (1, 0) を通る円が存在するか判定してください。

練習の解答

1. 差から 6x − 9 = 0、x = 3/2 です。S に戻すと y² = 27/4 > 0 なので2交点があります。点 (0, 2) で S = -5、T = 4 です。

-5 + 4k = 0
k = 5/4
S + (5/4)T = 0
9x²/4 + 9y²/4 - 15x/2 - 9 = 0
x² + y² - 10x/3 - 4 = 0

k ≠ -1 で、平方完成すると (x − 5/3)² + y² = 61/9 です。指定点を戻すと 4 − 4 = 0、2交点では S と T が零なので答えの式も零です。漏れた T は指定点で 4 となります。

2. 差は -8x = 0 なので x = 0 です。これを S に戻すと y² = 0 です。共有点は原点1つであり、問題文の2交点という前提は成り立ちません。したがって「2交点を通る円」という条件はこの与件では成立せず、その前提で円束を使うことはできません。2つの円が接する場合は別に扱う必要があります。

3. 差は -4x = 0 で、S に戻すと y² = 8 > 0 です。中心の横座標を零にするには、S + kT の x の係数が零です。ただし k = -1 は直線なので除きます。

-2 + 2k = 0
k = 1
S + T = 0
2x² + 2y² - 16 = 0
x² + y² = 8

中心は (0, 0)、半径は 2√2 です。交点 (0, ±2√2) を代入すると左辺は 8 で、条件に戻ります。漏れた T の中心は (-1, 0) なので y 軸上にはありません。

4. 差は 2x − 4 = 0、x = 2 です。S に戻すと y² = 0 で、共有点は (2, 0) の1点です。よってこの与件も2交点という前提を満たしません。点 (2, 0) 自体は両円に属しますが、2つの異なる交点があると見なして結論を出すことはできません。

5. 差は 2x = 0、x = 0 です。S に戻すと y = ±1 で、2交点は (0, 1)、(0, -1) です。指定点 (1, 0) は共通弦の直線 x = 0 上にはありません。S + kT に代入すると S = 0、T = -2 なので、

-2k = 0
k = 0

したがって S: x² + y² = 1 が条件を満たします。指定点を代入すると 1 = 1、2交点も同じ式を満たします。漏れた T は指定点で -2 なので候補になりません。答えは存在し、その方程式は x² + y² = 1 です。

手元に残す確認

• 二円が異なる2点で交わることを元の式に戻して確かめます。
• 組合せの二次項の係数が零なら、円ではなく直線です。
• 係数を固定した式から漏れる元の円も条件に代入します。
• 最後に半径、指定点、交点を元の条件で確かめます。

式が止まったときに尋ねたいこと

「代入した式が 0 = 0 なら、係数は決まったでしょうか」。この問いで、指定点がもともと2円の交点だった可能性を調べられます。「0 = 5 なら円がないと言い切れますか」と続けると、固定した係数が零になる元の円を調べる必要が見えます。さらに「二次項が消えた式はどんな図形ですか」と尋ねれば、交点を通ることと円であることの違いを言葉にできます。

個別指導で途中式を見るなら、交点の個数を確かめた式、係数の和、漏れた円への代入を順に確認します。2交点という前提が崩れた問題では、そのまま公式を使うのではなく、共有点を連立して事実を確かめ直します。円束の式は、前提と例外を添えて初めて候補を漏れなく表せます。