武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学II 距離条件から求める軌跡—等距離と距離の比を式にして逆まで証明する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 図形と方程式を掘り下げる

等距離の直線と一定の距離比から得る円について、二乗した式から元の距離へ戻る証明を確かめられます。

よくあるのは、高2が距離の条件を二乗して得た方程式だけで結論にする場面です。計算で円や直線が現れても、その上の点が元の距離の条件を満たすかは別に確かめる必要があります。距離は負にならないという性質を使うと、二乗した式から元へ戻る道筋が見えます。

距離の条件はどんな形で現れるか

異なる2点 A、B から動点 P までの距離を比べる問題を考えます。PA = PB なら、P は線分 AB の垂直二等分線上にあります。座標を使えば平方した距離の差が一次式となり、直線が現れます。図形の性質で予想した直線を、式で確かめることもできます。

もう1つは PA : PB が正の一定比の場合です。比が 1 : 1 でなければ、平方完成によって円が現れます。比が等しい場合には二次の項が消えるので、同じ円の式に無理に代入してはいけません。比の値を文字で指定する問いでは、この分かれ目を先に調べます。

さらに、P がある直線上に限られる場合には、求めた軌跡とその直線の共通部分を取ります。まず距離条件を満たす点全体を求め、次に追加の条件を重ねると、点を落としにくくなります。式の変形の途中で割る数が零になる場合も、別に調べます。

二乗した後に元へ戻る

軌跡とは、条件を満たして動く点が取り得る位置全体です。答えるには、条件を満たす点が示した図形上にあることと、その図形上の各点が条件を満たすことの両方を示します。前者を必要性、後者を十分性と呼びます。

A(a, b)、B(c, d) は異なる定点、P(x, y) は動点とします。二点間距離の公式から PA² = (x − a)² + (y − b)²、PB² = (x − c)² + (y − d)² です。距離はどちらも 0 以上なので、PA² = PB² なら PA = PB と戻せます。図1のように等距離の点は中点を通り AB に垂直な直線に並びます。

図1では中点 M から A、B への距離が等しく、PM は AB と垂直です。P が M と異なるとき、直角三角形 PMA と PMB は、共通の辺 PM と MA = MB から合同です。P = M でも等距離です。逆に PA = PB なら、P が M と異なる場合、三角形 PMA と PMB は3辺がそれぞれ等しく合同なので、隣り合う角 PMA と PMB は等しく、ともに直角です。したがって垂直二等分線上です。

正の数 m、n に対し PA : PB = m : n は n・PA = m・PB と同じです。A と B が異なるため、両距離が同時に 0 になることはありません。この等式の両辺は 0 以上なので、二乗しても逆に戻せます。ただし、比を文字 k で PA = k・PB と書く場合は k > 0 を確認します。負の k のまま二乗すると、元の等式を満たさない点を混ぜることがあります。

平方完成した円の半径が正であることも確かめます。比が等しくない正の数で、異なる二定点を使うなら半径は正です。実際、線分 AB をその比に内分する点と、同じ比に外分する点は異なり、どちらも条件を満たすからです。一般の文字式では、分母が 0 になる比を先に分けてから円の中心を読みます。

基本例題：等距離から直線へ

異なる2点 A(-2, 0)、B(4, 0) から等距離にある点 P の軌跡を、方程式で求めてください。

P(x, y) とします。距離は非負なので、PA = PB と PA² = PB² は同値です。図2のように両端からの距離を比べます。

(x + 2)² + y² = (x - 4)² + y²
x² + 4x + 4 + y² = x² - 8x + 16 + y²
12x = 12
x = 1

必要性として、条件を満たす P は直線 x = 1 上にあります。逆に x = 1 の任意の点について、上の変形を逆にたどると PA² = PB² です。両距離は非負なので PA = PB となり、十分性も成立します。したがって軌跡は直線 x = 1 です。

幾何でも確かめます。AB の中点は (1, 0)、AB は横軸上の線分ですから、その垂直二等分線は x = 1 です。たとえば (1, 2) から両端までの距離の二乗はいずれも 13 です。中点以外も含む直線全体が答えであり、線分に切り詰める条件はありません。

標準例題：一定の比が作る円

A(0, 0)、B(6, 0) とします。PA : PB = 1 : 2 を満たす点 P の軌跡を、中心と半径が読み取れる方程式で求めてください。

P(x, y) と置くと、比の条件は 2PA = PB です。両辺は非負なので、二乗して得る式と元の条件は同値です。

4PA² = PB²
4(x² + y²) = (x - 6)² + y²
4x² + 4y² = x² - 12x + 36 + y²
3x² + 3y² + 12x - 36 = 0
x² + y² + 4x - 12 = 0
(x + 2)² + y² = 16

中心は (-2, 0)、半径は 4 です。半径は正なので確かに円です。必要性は上の計算で示されました。逆に円上の任意の点は計算を逆にたどって 4PA² = PB² を満たします。2PA と PB は非負なので 2PA = PB に戻り、円上の各点は元の比を満たします。A、B は異なるため比の両方が 0 になる問題もありません。

横軸との交点は (2, 0) と (-6, 0) です。前者では PA = 2、PB = 4、後者では PA = 6、PB = 12 となります。片方は線分 AB の内側、もう片方は外側にあり、どちらも 1 : 2 です。円の中心が二定点の間にあるとは限らないことも、この計算で見えます。

発展例題：比の分かれ目と追加条件

A(0, 0)、B(4, 0) とし、正の定数 k に対して PA = k・PB を満たす点 P の軌跡を求めてください。また k = 2 のとき、さらに y = 3 を満たす点の座標を根号を用いて求めてください。

P(x, y) とすると、両辺は非負です。したがって次の二乗は同値変形です。

x² + y² = k²((x - 4)² + y²)
(1 - k²)(x² + y²) + 8k²x - 16k² = 0

k = 1 のとき二次の項が消えます。この場合は割らずに元の式へ戻ります。

8x - 16 = 0
x = 2

k > 0 なので k = 1 以外では 1 − k² は 0 でありません。そこでこの数で割り、平方完成します。

x² + y² + (8k²/(1 - k²))x - 16k²/(1 - k²) = 0
(x + 4k²/(1 - k²))² + y² = 16k²/(1 - k²)²

右辺は正です。よって中心は (-4k²/(1 − k²), 0)、半径は 4k/|1 − k²| の円です。いずれの場合も変形を逆にたどれば PA² = k²PB² が成り立ち、k > 0 と距離の非負性から PA = k・PB に戻ります。したがって示した直線または円の全体が軌跡です。

k = 2 と y = 3 を代入します。

(x - 16/3)² + y² = 64/9
(x - 16/3)² + 9 = 64/9
(x - 16/3)² = -17/9

平方は負にならないため、追加条件を満たす点はありません。根号を取る前に右辺の符号を見ることが、存在しない点を答えに混ぜないための確認です。円の中心から直線 y = 3 までの距離は 3、半径は 8/3 なので、図形としても交わりません。

誤答を直す：負の係数を二乗したとき

異なる2点 A(0, 0)、B(4, 0) に対し PA = -2PB を満たす点を探すとします。誤って両辺を二乗し、PA² = 4PB² の円をそのまま答えにすることがあります。二乗後の円は (x − 16/3)² + y² = 64/9 で、中心は (16/3, 0)、半径は 8/3 です。図3は、その円上にあって元の等式を満たさない点 Q を示しています。

図3の Q(8, 0) では QA = 8、QB = 4 です。確かに QA² = 4QB² ですが、8 = -8 ではありません。二乗すると符号の情報が消えるため、逆が成立しないのです。

正しくは PA は 0 以上、-2PB は 0 以下です。等しいなら両方 0 でなければなりません。しかし A と B は異なるため、P が同時に両点に一致することはありません。したがって条件を満たす点は存在せず、軌跡は空集合です。距離比を正とする通常の問題では、この失敗を避ける根拠として係数の正と距離の非負を明記します。

練習：問題

いずれも P は平面上の点です。軌跡は方程式で、点は座標で答えてください。

A(1, 2)、B(5, 2) から等距離の P の軌跡を求めてください。
A(0, 0)、B(3, 0) に対し PA : PB = 2 : 1 となる P の軌跡を、中心と半径が読み取れる形で求めてください。
A(0, 1)、B(0, 5) に対し PA : PB = 1 : 3 となる P の軌跡を、中心と半径が読み取れる形で求めてください。
A(-3, 0)、B(3, 0) から等距離で、さらに x² + y² = 25 を満たす P をすべて求めてください。
異なる A(0, 0)、B(2, 0) に対し PA = t・PB を満たす P が存在する実数 t の範囲を求めてください。

練習の解答と確かめ

P(x, y) と置きます。両距離が非負であることから二乗した等式と元の等式は同値です。

(x - 1)² + (y - 2)² = (x - 5)² + (y - 2)²
x² - 2x + 1 = x² - 10x + 25
8x = 24
x = 3

逆に x = 3 なら左右の距離の二乗はともに 4 + (y − 2)² です。したがって軌跡は直線 x = 3 です。中点 (3, 2) を通る垂直二等分線とも一致します。

比の条件は PA = 2PB です。P(x, y) として両辺を二乗します。

x² + y² = 4((x - 3)² + y²)
x² + y² - 8x + 12 = 0
(x - 4)² + y² = 4

逆にこの円上では PA² = 4PB² で、両距離は非負ですから PA = 2PB です。中心 (4, 0)、半径 2 の円全体が軌跡です。例えば (2, 0) では距離が 2 と 1 になり、比も元どおりです。

3PA = PB を二乗し、平方完成します。

9(x² + (y - 1)²) = x² + (y - 5)²
8x² + 8y² - 8y - 16 = 0
x² + y² - y - 2 = 0
x² + (y - 1/2)² = 9/4

逆に円上の点は 9PA² = PB² を満たし、非負性から 3PA = PB です。中心 (0, 1/2)、半径 3/2 の円が軌跡です。例えば (0, 2) では距離が 1 と 3 となります。

等距離の条件を平方すると次のようになります。

(x + 3)² + y² = (x - 3)² + y²
12x = 0
x = 0

これを円の式に代入すると y² = 25、よって y = 5 または y = -5 です。答えは (0, 5)、(0, -5) です。各点について両距離の二乗は 34 で、原点からの距離の二乗は 25 なので、両方の条件に戻ります。

t < 0 なら右辺は 0 以下、左辺は 0 以上です。等号が成り立つには PA = PB = 0 が必要ですが、異なる A、B に同時に一致できません。t = 0 なら P = A が条件を満たします。t > 0 なら線分 AB 上の P(2t/(1 + t), 0) を取れます。

PA = 2t/(1 + t)
PB = 2/(1 + t)
PA = t・PB

分母は正で、P は線分上にあります。よって求める範囲は t ≥ 0 です。負の値で存在しないことと、0 以上の各値で実際に点を作れることの両方を示しました。

手元に残す要点

距離を二乗する前に、両辺の符号を調べます。
等距離なら垂直二等分線、異なる正の比なら円です。
文字で割る前に、その文字が零になる場合を分けます。
求めた図形の点から元の距離条件へ戻して、軌跡を確定します。

どこで止まったかを見つける

「円の方程式が出た後、どの点を取っても元の比になるのはなぜですか」と自分に問いかけてみてください。答えに詰まったら、平方完成を逆にたどって距離の二乗の式まで戻し、両辺が非負であることを確認します。逆向きの根拠を言葉で添えると、計算結果と軌跡の結論の間がつながります。

個別指導で確認するなら、まず比を等式に直すときの係数の対応を見ます。次に二次の係数が消える場合を分けられるか、最後に図形上の点を元の距離へ戻せるかを順に確かめます。距離の条件と図形の方程式が行き来できれば、軌跡の答えには根拠が残ります。

比の順序にも注意してください。PA : PB = 1 : 2 は、PA が PB の半分という意味です。交差して 2PA = PB と書いた後、A に近い点を1つ代入すれば、係数を逆に書いていないか確認できます。ただし1点の確認は円全体の証明にはなりません。任意の点について逆を示す作業と組み合わせて使います。

また、距離の条件に別の条件が添えられた場合、二つを同時に満たす位置が必要です。直線と円が交わらない場合には答えが存在しないこともあります。交点を計算するときは、平方が負にならないという条件まで見て結論を出します。