高校地学 宇宙の膨張と尺度因子—銀河間隔の変化から中心のない広がりを考える｜武蔵野個別指導塾

銀河間の距離と光の波長を尺度因子で比べ、中心を置かない宇宙膨張を読み解きます。

よくあるのは、高校生が宇宙の膨張を表す図の中央に地球を置き、そこから外へ向かう矢印を描く場面です。地球から遠い銀河が遠ざかると聞けば、地球が膨張の中心に見えるかもしれません。しかし、観測する場所を別の銀河へ移すと、同じ模型でもそこから他の銀河が遠ざかります。間隔がどう変わるかを順に調べ、図の中央と物理的な中心を区別しましょう。

問いの形を見分ける

この題材には、少なくとも3種類の問いがあります。1つ目は、ある時刻の尺度因子と別の時刻の尺度因子から、銀河間の距離や光の波長の比を求める計算です。どちらを分子にするかを、後の量を前の量で割るという言葉に戻して確かめます。

2つ目は、銀河を並べた資料から、観測点を変えて距離の増え方を読む問題です。図の中央に描かれた銀河にだけ特別な役割があるかどうかは、別の銀河を基準に測り直せば判断できます。矢印の長さが何を表すかも問題文から確認します。

3つ目は、広がる空間の模型を現実の天体にどう対応させるかという説明です。遠く離れた銀河同士を結ぶ大きな尺度と、重力などでまとまった系の内部とを区別します。いずれも同じ式を機械的に当てはめるのではなく、式が扱う対象を最初に定めます。

ものさしを一緒に伸ばす

尺度因子aは、宇宙の大きな尺度での相対的な広がりを表す量です。異なる時刻の比に意味があり、現在の値を1と決める表し方がよく使われます。ただし1という値は単位や基準の選び方であって、宇宙の大きさを1 mと測ったという意味ではありません。現在を2と置いても、同じ割合で過去の値を表せば比は変わりません。

互いに大きな固有運動を持たず、膨張の流れに沿っている銀河同士を考えます。時刻Aと時刻Bの尺度因子をaA、aB、それぞれの同じ時刻に測った距離をdA、dBとすると、模型では次の関係です。

dB/dA = aB/aA

この式は、銀河間を結ぶ区間が尺度因子に比例して伸びるという模型の定義から得られます。例えば基準となる間隔をxと表せば、dA = aA・x、dB = aB・xです。両式の比をとると、共通のxが消えます。aBがaAより大きければ、距離も同じ比で増えます。ここでの距離は、それぞれの時刻における同時刻の間隔です。遠方銀河を観測したときの距離を測り方の区別なしにこの式へ入れることはできません。

図1は一直線の模型です。点を銀河の位置に対応させ、区間が等しい比で伸びる様子を示します。実際の宇宙が1本の線であるという意味ではなく、銀河の大きさも距離も実寸比ではありません。

図1のように左端を基準にしても、中央の点を基準にしても、両側の点までの間隔は広がります。模型を紙に収めるために左右の端を描いていますが、その端を宇宙の端と考える必要はありません。描いた範囲の外にも同じ規則で点が続くと考えれば、中央の点は特別ではありません。

光が膨張する空間を伝わる間には、その波長も尺度因子に比例して伸びます。放出時と観測時の波長をそれぞれλ放出、λ観測とすれば、宇宙膨張による波長の変化を扱う条件で、

λ観測/λ放出 = a観測/a放出

です。赤方偏移zは、波長の増加分を放出時の波長で割った値なので、z = (λ観測-λ放出)/λ放出です。したがって1 + z = λ観測/λ放出 = a観測/a放出となります。波長の差そのものではなく、基準となる波長に対する割合を使うため、zに単位はありません。光が出てから届くまでの変化と、同時刻に測った銀河間距離の比は、対応する時刻をそろえて扱います。

この関係は膨張による成分についての説明です。実際の観測には銀河の固有運動なども関わり得ます。波長が長くなったことから直ちに、どんな大きさのzにも速度が光速とzの積であるという近似を適用してはいけません。小さいzで用いる近似と、尺度因子から波長比を求める関係を分けます。

また、尺度因子は机の長さや銀河内部の星の間隔が一律に伸びるという規則ではありません。重力などによって束縛された系では、その内部の運動やつり合いを考える必要があります。銀河間の十分大きな尺度に使う模型を、そのまま原子や太陽系の大きさへ移さないことが重要です。

例題1 距離の変化を追う

自作の模型で、膨張の流れに沿う銀河PとQの距離が、尺度因子0.40の時に6.0 Mpcでした。尺度因子が1.00になった時の距離を、有効数字2桁で求めてください。1 Mpcは距離を表す単位です。両銀河の固有運動は無視します。

図2はこの条件を模式化したものです。線分の長さは距離の比に合わせ、銀河自体の大きさは実寸比ではありません。

後の距離をdと置きます。後の尺度因子を前の尺度因子で割ると、

1.00/0.40 = 2.5

d/6.0 = 2.5

d = 6.0・2.5 = 15 Mpc

答えは15 Mpcです。距離が2.5倍という意味を図2の線分で確かめます。答えを元に戻すと、15・0.40/1.00 = 6.0 Mpcです。前の距離を再現するので、比の向きも条件に合います。

別の解き方では、距離を尺度因子で割った値が一定であることを使います。6.0/0.40 = 15 Mpcであり、尺度因子が1.00の時は15・1.00 = 15 Mpcです。一定なのは実際の距離ではなく、距離を尺度因子で割った模型上の値です。

例題2 光の波長を戻す

自作の条件です。現在の尺度因子を1.00とし、ある光が尺度因子0.50の時に波長400 nmで放出されました。膨張による変化のみを考え、現在観測する波長を有効数字2桁、赤方偏移を小数で求めてください。nmは波長の単位です。

観測時と放出時の尺度因子の比は1.00/0.50 = 2.0です。波長も同じ比なので、

λ観測/400 = 2.0

λ観測 = 800 nm

z = (800-400)/400 = 1.0

答えは800 nm、z = 1.0です。800 nmを尺度因子の比2.0で割ると400 nmに戻ります。さらに1 + z = 2.0も一致します。この値は比の計算を示すための条件であり、特定の銀河の実測値ではありません。zが大きい例なので、低赤方偏移の速度近似を使って速度を出す問題ではありません。

例題3 観測点を変える

自作の一直線の模型で、ある時刻の銀河A、B、C、Dはこの順に並び、隣り合う間隔はそれぞれ2単位です。後の時刻には各間隔が3単位になりました。銀河Bから見たA、C、Dの距離の増加量を求め、地球に相当する点をBとした場合にBが中心といえるかを説明してください。距離の単位は模型内の任意の長さとします。

BからAまでの距離は、前が2、後が3です。

3-2 = 1

BからCまでも前が2、後が3なので、増加量は1です。BからDまでは隣り合う間隔が2つあります。

前の距離 = 2 + 2 = 4

後の距離 = 3 + 3 = 6

増加量 = 6-4 = 2

答えは順に1、1、2単位です。増加後の距離を1.5で割ると、それぞれ2、2、4となり元の配置を再現します。さらにCを基準にすれば、Bは左へ、Dは右へ遠ざかります。図にBを中央付近に置いても、Bだけから広がるわけではありません。端までしか描いていない資料なら、その外側の配置については追加の仮定が必要です。模型をどこまでも同じ規則で延ばす場合に、どの点も同じ立場になります。

遠いDほど距離の増加量が大きい理由は、同じ倍率で伸びる区間をより多く含むからです。距離の増加量がわかっても、経過時間が示されなければ速度の数値は求まりません。一定時間内の増加量を比べる場合に限り、平均の離れる速さの比も増加量の比に対応します。

答えが崩れる場所を修理する

図3の上段では地球を基準に両側の銀河が遠ざかり、下段では左端の銀河を基準に他の銀河が遠ざかります。両段とも同じ膨張を異なる基準点から表した模式図であり、どちらの基準点も特別な中心を意味しません。

誤答「地球からすべてが離れるので、地球が宇宙の中心です」。理由は、自分を基準とした距離の増加を、宇宙全体の中心からの移動と取り違えていることです。直すには、図3のように別の銀河に基準を置いて距離を測ります。同じ一様な模型なら、そこからも周囲の銀河が遠ざかります。観測点から遠ざかることだけでは中心を決められません。

誤答「尺度因子が半分だったので、その時に放出された光の現在の波長も半分です」。これは前と後の比を逆にしています。直し方は、波長の比を観測時/放出時と書き、その下に尺度因子の比を観測時/放出時の順に書くことです。現在を1としたとき放出時が半分なら、現在の波長は放出時の2倍です。

誤答「宇宙が膨張するので、重力で束縛された銀河の直径も必ず尺度因子に比例します」。この推論には、銀河内部が膨張の流れに沿って自由に離れるという前提が欠けています。内部の力と運動を考えずに比例を断定できません。観測資料が不足している場合は、数値を補って計算するのではなく、その情報だけでは求められないと答えます。

5つの練習

次の条件と数値はすべて自作です。膨張の流れに沿う銀河の固有運動は無視し、光は膨張による波長の変化のみを受けるとします。距離と波長の単位は問題ごとに指定します。

1. 尺度因子が0.25の時、2銀河の距離は8.0 Mpcでした。尺度因子0.75の時の距離を有効数字2桁で求めてください。
2. 現在の尺度因子を1.0とします。尺度因子0.20の時に放出された光の波長が120 nmでした。現在の波長を有効数字2桁、赤方偏移を小数で求めてください。
3. 銀河E、F、Gが一直線上に並び、前の時刻のEFとFGはそれぞれ3単位、後の時刻にはそれぞれ6単位です。FからE、Gまでの距離の増加量と、EからGまでの増加量を求めてください。その結果からFを中心と断定できるかも述べてください。
4. 現在の尺度因子を1.0とし、ある光の放出波長と観測波長の比が1対4でした。放出時の尺度因子と赤方偏移を小数で求めてください。
5. ある資料には、遠方の銀河間隔が広がっていることと、重力でまとまった銀河の存在が示されています。「銀河内部の距離も必ず同じ割合で広がる」と結論できるかを、束縛という語を使って説明してください。

練習の答えと考え方

1. 尺度因子の比は0.75/0.25 = 3.0です。距離も3.0倍なので、8.0・3.0 = 24 Mpcです。24・0.25/0.75 = 8.0 Mpcとなり、前の距離に戻ります。答えは24 Mpcです。

2. 波長の比は1.0/0.20 = 5.0です。120・5.0 = 600 nm、z = (600-120)/120 = 4.0です。600/5.0 = 120 nmで放出波長に戻り、1 + z = 5.0も一致します。答えは600 nmと4.0です。

3. FからE、Gへの距離はともに3から6へ変わるので、増加量はそれぞれ3単位です。EからGは前が3 + 3 = 6、後が6 + 6 = 12なので、増加量は6単位です。後の距離を2で割ると3、3、6に戻ります。Eを基準にしてもFとGは遠ざかるので、Fから両側が遠ざかることだけでFを中心と断定できません。

4. 観測波長/放出波長 = 4です。1.0/a放出 = 4より、a放出 = 0.25です。z = 4-1 = 3.0です。1.0/0.25 = 4となり、指定された波長比に戻ります。答えは0.25と3.0です。

5. 結論できません。銀河内部は重力で束縛されており、内部の運動や力の影響を考える必要があるためです。大きな尺度の銀河間隔に適用した比例関係を、そのまま内部へ移せません。資料に内部の距離の変化を示す条件がなければ、その変化量も求められません。

要点を持ち帰る

尺度因子の比は、膨張の流れに沿う銀河間距離の比に対応します。
膨張による波長比は観測時/放出時の尺度因子の比です。
どの銀河を基準にしても広がる模型では、観測点が中心とは限りません。
束縛された系の内部へ一律の比例を適用しません。

答案のどこを見直すか

距離の計算で答えが小さくなった場合は、まず前後の尺度因子を式の上と下に書き込んでください。後の尺度因子が大きいのに距離が縮んでいれば、比の向きが逆かもしれません。波長では、観測波長と放出波長を同じ順に並べ、最後に元の条件へ戻します。

個別指導で確かめるなら、銀河を3点描いて基準を左右に移し、それぞれから見た距離の変化を説明できるかを見ます。次に、銀河間の模型と束縛された内部を区別できるか、答案の対象に下線を引いて確認します。図の中央に描かれた点を中心だと決める前に、別の点から距離を測り直すことが、宇宙の膨張を読む第一歩です。