高校地学 ハッブルの法則—距離と後退速度のグラフから傾きと誤差を読む｜武蔵野個別指導塾

距離と後退速度のグラフで傾きの単位を求め、固有運動と距離誤差による点のずれを説明します。

よくあるのは、高校生が銀河の距離と後退速度のグラフから傾きを計算し、答えの単位から距離の単位を落としてしまう場面です。縦軸の数値を横軸の数値で割る計算は合っていても、速度の単位だけを残すと、距離がどれだけ増えるごとの速度なのかが伝わりません。軸の意味、比例の条件、観測値のばらつきを順番に確かめて、数字の意味まで答案に残しましょう。

グラフで問われる3つの仕事

1つ目は計算です。横軸を距離、縦軸を後退速度とすると、傾きは速度の増加を距離の増加で割った量です。2点の差を使い、両方の単位も一緒に割ります。原点を通る比例直線なら、その直線上の点の速度を距離で割っても同じ傾きが得られます。

2つ目は資料読解です。点が散らばっているとき、任意の2点を結んだ線が代表的な傾きになるとは限りません。問題が指定する直線や作図方法を先に確認し、点と線を区別します。目盛りの間隔や軸の取り方が変われば、紙の上の角度だけでは比較できません。

3つ目は因果と誤差の説明です。観測された速度には、膨張に伴う成分のほか銀河の固有運動の視線方向成分も影響します。距離の推定にも誤差があるので、直線から離れた点を見ただけでは原因を決められません。どの量がどちらへずれた場合に点がどう動くかを説明します。

速度と距離を結ぶ比例

近い宇宙で膨張に伴う後退速度を v、距離を d、現在の比例係数を H₀ とすると、理想化した関係は v=H₀d です。距離は正で、同じ基準で測るものとします。H₀ は現在の膨張の割合を表し、ある1個の銀河の速度そのものではありません。実際の観測値を扱うときは、固有運動や測定誤差によって比例直線からずれることを考慮します。

図1のように、横軸に距離、縦軸に後退速度を取ります。直線が原点を通るのは、この比例モデルでは距離が0のとき膨張による速度も0だからです。傾きが大きいほど、同じ距離に対する膨張成分の速度は大きくなります。図は関係を示す模式図で、軸の長さと物理量の実寸比を表しません。

図1で傾きを作るときは、縦の変化を横の変化で割ります。縦軸が km/s、横軸が Mpc なら、傾きの単位は (km/s)/Mpc です。Mpc は距離の単位で、1 Mpc は100万 pc です。たとえば傾きが自作の条件で 40 (km/s)/Mpc なら、距離が1 Mpc増えるごとにモデルの速度が40 km/s増えるという意味です。これは説明用の値で、実測値を示したものではありません。

距離と速度は独立に得る必要があります。もし距離を同じ法則と仮定した H₀ から逆算し、その距離を使って H₀ を求めれば、仮定した値を再び得る循環になります。距離の別の推定とスペクトルの情報を組み合わせ、どの仮定で得た値かを確認します。小さい赤方偏移では速度を近似的に扱えますが、大きな赤方偏移に同じ近似を無条件で延長しません。

例題1　直線上の点から単位を残す

自作の直線は原点と点 A（距離 20 Mpc、速度 800 km/s）を通ります。比例モデルの H₀ を整数で、単位を付けて求めてください。また距離 35 Mpc の点の速度を整数で求めてください。これらは架空の条件です。

図2のように、まず点 A の横座標と縦座標を読みます。線上の2点を使う方法を1行ずつ書くと、次のようになります。

H₀ = (800 - 0) km/s / ((20 - 0) Mpc)
H₀ = 40 (km/s)/Mpc
v = 40 (km/s)/Mpc・35 Mpc
v = 1400 km/s

図2の傾きは距離の単位を含みます。求めた係数を点 A に戻すと、40・20 = 800 km/s となり、与えられた速度を再現します。35 Mpc では 1400/35 = 40 (km/s)/Mpc となり、同じ直線の傾きに戻ります。線の傾きは見かけの角度ではなく、目盛りを含む数値の変化率です。

別解では、距離 35 Mpc は 20 Mpc の 35/20 倍なので、比例する速度も 800・35/20 = 1400 km/s です。こちらも比例が前提です。原点を通らない直線について、速度を距離で割った値をそのまま傾きとすることはできません。

例題2　2点の差と切片を分ける

自作の資料で、直線上の B は（10 Mpc、500 km/s）、C は（30 Mpc、1300 km/s）です。距離と速度をそれぞれ横軸と縦軸に取ります。直線の傾きと速度軸の切片を整数と単位で求め、この直線が原点を通る比例関係か答えてください。

距離の差 = 30 - 10 = 20 Mpc
速度の差 = 1300 - 500 = 800 km/s
傾き = 800/20 = 40 (km/s)/Mpc
切片 = 500 - 40・10 = 100 km/s

直線は v=40d + 100 です。ここで d は Mpc 単位の数値、v は km/s 単位の数値です。切片は0ではないので、この線自体は原点を通る比例関係ではありません。Bで 40・10 + 100 = 500、Cで 40・30 + 100 = 1300 と戻り、両点を通ることを確かめられます。

Bの速度を距離で割ると 50、Cでは約43.3 となり、どちらも傾きの40とは一致しません。共通の切片が両方に入っているからです。直線の傾きが計算できることと、その直線をハッブルの比例モデルとみなせることは別の判断です。切片の原因は、座標の取り方や誤差を含めた追加情報がなければ決められません。

例題3　固有運動と距離のずれを比べる

自作のモデルで H₀ = 50 (km/s)/Mpc とします。銀河 D の真の距離は 40 Mpc、膨張以外の視線方向の速度成分は後退方向に 200 km/s とします。速度の誤差はないものとし、観測される速度を整数で求めてください。さらに距離が誤って 50 Mpc と推定された場合、この点は比例直線より何 km/s 上か下かを答えてください。

膨張成分 = 50・40 = 2000 km/s
観測される速度 = 2000 + 200 = 2200 km/s
推定距離での直線の速度 = 50・50 = 2500 km/s
直線からの差 = 2200 - 2500 = -300 km/s

答えは 2200 km/s、推定距離上の直線より 300 km/s 下です。真の距離を使うと観測点は直線より200 km/s上ですが、距離を大きく見積もったことで点が右へ動き、直線との位置関係が逆になりました。2200から固有運動の200を引いて50で割ると40 Mpcに戻り、与えられた真の距離も再現します。

ここで固有運動を知らずに 2200/50 を計算すると 44 (km/s)/Mpc です。この1点から求めた値は与えられた係数50とは異なります。原因を距離誤差だけ、または固有運動だけと決めることはできません。誤差が両方向にありうる点を図に示し、別の測定や複数の銀河との比較を行う必要があります。

観測計画では、距離の推定とスペクトルの測定を別に記録し、それぞれの不確かさも残します。距離の目盛りに横向き、速度の目盛りに縦向きの幅を描けば、点がどの範囲に動きうるか見やすくなります。ばらつきのある資料では、誤差の大きさや共通の偏りを調べ、特定の1点を都合よく捨てずに結果への影響を比較します。近い銀河では同程度の固有運動が膨張成分に対して大きな割合を占めやすいので、距離の異なる資料を吟味する意味があります。

距離の尺度に共通の偏りがある場合も考えます。各銀河の距離を同じ割合だけ大きく見積もると、点は右へ移り、原点を通る傾きは小さく見えます。銀河の数を増やしても、共通の偏りが自動的に消えるとは限りません。距離を決める方法の仮定を点検し、別の方法と比べることが必要です。

速度側のずれが距離と無関係に同じ大きさで加わる場合、近い銀河ほど膨張成分に対する割合が大きくなります。横方向と縦方向の不確かさを混同しないでください。どちらも観測点を動かしますが、傾きへの影響は資料の分布によって変わります。

誤答を図の上で直す

図3のように、距離 20 Mpc、速度 800 km/s の点から「傾きは 800 km/s」と書く答案を考えます。800 km/s はその点の速度であり、距離が1 Mpc増えたときの速度の増加ではありません。原点と点の差を取り、800 km/s を20 Mpcで割ると 40 (km/s)/Mpc です。

図3では、速度の単位と傾きの単位を別の枠に置きました。数値だけでなく、何を何で割ったかを線の脇に書くと、単位の脱落に気づきやすくなります。速度を距離で割れば、距離が分母に残ります。

別の誤答は、直線より上にある点を見て「必ず後退方向の固有運動がある」と断定するものです。距離を小さく見積もっても点は左に移動し、同じ直線に対して上側に見えます。速度の測定誤差もありえます。直し方は「上側へずれる原因の候補」を挙げ、どの追加情報があれば区別できるかを述べることです。異常に離れた点を外れ値と呼んでも、呼び名だけでは測定の失敗と証明できません。

練習　5つの資料を読む

次の数値はすべて自作の条件です。速度は km/s、距離は Mpc で表し、指定のない計算結果は整数と単位で答えてください。

1. 原点を通る直線が（15 Mpc、900 km/s）を通ります。傾きと、距離25 Mpcでの速度を求めてください。
2. 直線上の2点が（8 Mpc、560 km/s）と（18 Mpc、1160 km/s）です。傾きと切片を求め、比例直線か判定してください。
3. H₀ = 30 (km/s)/Mpc、真の距離が 70 Mpc、固有運動の視線方向成分が接近方向に 150 km/s のとき、観測される後退速度を求めてください。
4. H₀ = 80 (km/s)/Mpc のモデルで、真の距離が 25 Mpc、観測速度が 2000 km/s の銀河を考えます。距離を 20 Mpc と推定した場合、点が直線の上か下か、差を答えてください。速度の誤差は無視します。
5. 原点を通る候補線があり、ある点だけがその線から大きく離れています。この点を直ちに削除せず調べる理由を、距離誤差と固有運動の2語を使って説明してください。

練習の答えと道筋

1. 傾きは 900/15 = 60 (km/s)/Mpc、速度は 60・25 = 1500 km/s です。60・15 = 900 で元の点を再現し、1500/25 = 60 で予測点も同じ傾きに戻ります。

2. 傾きは (1160 − 560)/(18 − 8) = 60 (km/s)/Mpc です。切片は 560 − 60・8 = 80 km/s です。原点を通らないため比例直線ではありません。60・18 + 80 = 1160 となり、もう一方の点も再現します。速度を距離で割る方法では切片を含むため、傾きは得られません。

3. 膨張成分は 30・70 = 2100 km/s です。接近方向の成分を負として加えると 2100 − 150 = 1950 km/s です。1950 + 150 = 2100、さらに 2100/30 = 70 Mpc と戻せます。接近方向の成分があることと、全体として後退していることは両立します。

4. 推定距離20 Mpcに対応する直線上の速度は 80・20 = 1600 km/s です。観測点は 2000 − 1600 = 400 km/s 上です。元の真の距離では 80・25 = 2000 km/s となり、観測速度に戻ります。距離の過小評価が横方向のずれを生みます。

5. 距離誤差で点が横に動く可能性や、固有運動で速度が変わる可能性があるからです。測定の記録と不確かさを調べ、点を含めた場合と除いた場合の傾きを比べます。単に直線から遠いという事実は、どちらの原因かを識別しません。

手元に残す要点

距離を横軸、後退速度を縦軸に取る比例直線の傾きが H₀ です。
傾きの単位は速度の単位を距離の単位で割ったものです。
固有運動と測定誤差は点を比例直線からずらします。
原点を通らない線では速度を距離で割っても傾きになりません。

答案のどこで迷ったか

傾きの数値が合っていて単位が速度だけなら、縦軸と横軸の単位を式に書き入れて割り算を見直します。点の速度と傾きを同じものとしている場合は、同じ直線上の別の距離で速度を計算し、変わる量と変わらない量を分けます。直線からのずれを固有運動と断定した場合は、距離の推定を変えたときに点が横へ動く図を描いてみましょう。

個別指導では、選んだ2点が指定された直線上にあるか、引き算の順序を両軸でそろえたか、求めた値を元の点へ戻せるかを答案で確かめます。説明問題では、原因の候補と確定した事実を区別できているかも見ます。距離と速度の組を一つずつ読み直すことで、グラフは比例と誤差を同時に語ります。