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高校化学平衡濃度の物質量表—初期量と変化量から可能な解の範囲を決める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴化学を掘り下げる理論化学2

初期量と反応係数を表に並べ、二次方程式の解を反応限界で選ぶ手順をたどる物質量表。

よくあるのは、高校生が平衡の式から二次方程式の2つの解を得て、両方を濃度として採用する場面です。代数の式を満たしても、反応物の初めの量を超えて消費する解は実際の混合物を表しません。物質量の変化を先に表へ書けば、計算前に選べる範囲が決まります。反応が左右どちらへ進むかが不明な場合にも、変化量の符号を含めて表を読み直せます。

問いの形と目標

一つ目は、反応物から出発し、平衡定数と初期量から各成分の濃度を求める型です。係数に従って増減を並べ、二次式の根を非負の条件で選びます。二つ目は、生成物も初めからある混合物です。正反応向きの変化量を正と決めれば、逆向きに進んだときは負の値になります。反応商を先に比べると、計算結果の符号も点検できます。

三つ目は、平衡時の一成分の測定値から残りと平衡定数を求める型です。数値を式へ入れる前に表の横方向を埋め、保存される量を確かめます。目標は根を機械的に捨てることではなく、各根がどの物質の量を負にするのか説明することです。ここでは体積一定の均一な気体系を扱い、濃度で表す平衡定数を用います。

変化量の符号と表の作り方

一般に可逆反応では正反応と逆反応が同時に進みます。密閉系で平衡に達すると、両方向の速さが等しくなり、各成分の濃度は一定に保たれます。分子の反応が止まった状態ではありません。濃度が一定という観察だけで、個々の反応が停止したと判断しないことが大切です。

例として気体の反応 A + B ⇄ C + D を考えます。A、B、C、D は互いに区別できる成分を表す記号で、係数はすべて1です。初期物質量をそれぞれ a、b、c、d mol とし、正反応向きの進行量を x mol と置きます。初期状態から平衡までの正味の変化は、AとBがそれぞれ -x、CとDがそれぞれ +x mol です。逆反応が正味で進む場合、x は負になります。

図1のように、初期量に変化量を足したものが平衡量です。負の物質量は存在しないので、4つの平衡量のそれぞれに0以上という条件を付けます。この段階では平衡定数を使っていません。反応式と初期量だけから、候補となる x の区間を決めています。

図1の各列を式にすると次のとおりです。正負の向きを先に決めれば、生成物が初めからある場合も同じ書き方で扱えます。

A: a - x ≧ 0
B: b - x ≧ 0
C: c + x ≧ 0
D: d + x ≧ 0
-c ≦ x かつ -d ≦ x かつ x ≦ a かつ x ≦ b

体積を V L とすると平衡濃度は各平衡量を V で割った値です。この反応の濃度平衡定数 K は、指定された温度で次のように表します。角括弧は mol/L を単位とする平衡濃度を表します。

K = ([C]・[D])/([A]・[B])
K = ((c + x)/V・(d + x)/V)/((a - x)/V・(b - x)/V)
K = ((c + x)・(d + x))/((a - x)・(b - x))

この例では分子と分母の濃度の個数が同じなので体積が消えます。係数の和が左右で異なる反応でも体積が必ず消えるわけではありません。また、上の分母が0となる端点では元の式を計算できません。式を掛け合わせた後に現れた根は、元の分母と照合する必要があります。

平衡前の濃度を同じ形に代入した値を反応商 Q と呼びます。正の濃度をもつ混合物なら、Q < K は正反応向き、Q > K は逆反応向きの変化を示します。Q = K なら、その条件の組成はすでに平衡です。Q と K は同じ反応式、同じ温度について比べます。表を立てる際に向きを勘で決める必要はなく、求まった x の符号と比較して誤りを見つけられます。

基本例題：生成物のない混合物

一定温度で A(g) + B(g) ⇄ C(g) + D(g) の K = 4.0 とします。体積 1.0 L の密閉容器に A と B を各 1.0 mol 入れ、C と D は初めにありません。平衡時の4成分の濃度を mol/L で求め、有効数字2桁で答えてください。気体は均一に混合し、体積と温度は一定とします。K はこの問題の与件です。

図2のように正反応の進行量を x mol と置くと、表の平衡量は A、B が各 1.0 − x mol、C、D が各 x mol です。初期量から 0 ≦ x ≦ 1.0 ですが、有限の K の式では分母が0の x = 1.0 を除きます。

図2の4つの量を 1.0 L で割って代入します。平方根を取る際、許される区間では x と 1.0 − x がともに負でない点を使います。

4.0 = x²/(1.0 - x)²
2.0 = x/(1.0 - x)
2.0 - 2.0x = x
x = 2.0/3.0 mol

したがって A、B は各 0.33 mol/L、C、D は各 0.67 mol/L です。丸め前の値で確認すると、AとCの合計は 1.0 mol、BとDの合計も 1.0 mol に戻ります。平衡式の右辺は (2/3)²/(1/3)² = 4 で、与件に一致します。物質収支と平衡式は別々の条件なので、両方を確かめます。

別の方法では平方根を取らずに展開できます。その場合は2つの代数解が現れますが、片方は範囲外です。平方根の段階で正の比を選ぶ方法は短い一方、範囲を確認せずに正符号を採用すると根拠が抜けます。

標準例題：生成物も初めからある場合

同じ反応について、一定温度で K = 4.0 とします。体積 1.0 L の容器に A、B を各 1.0 mol、C、D を各 2.0 mol 入れます。平衡時の各濃度を mol/L、有効数字2桁で求めてください。温度と体積は一定です。

正反応向きの進行量を x mol とすると、平衡量は A、B が各 1.0 − x、C、D が各 2.0 + x mol です。非負の条件は -2.0 ≦ x ≦ 1.0 です。初期状態の反応商は Q = 2.0・2.0/(1.0・1.0) = 4.0 なので、すでに平衡にあります。

4.0 = (2.0 + x)²/(1.0 - x)²
2.0・(1.0 - x) = 2.0 + x
x = 0 mol

平衡濃度は A、B が各 1.0 mol/L、C、D が各 2.0 mol/L です。表に戻して各初期量がそのまま残り、平衡式も4となることを確認します。x = 0 は両方向の反応が正味でつり合ったことを表し、反応そのものが起きないことを意味しません。

初期量を変えた場合の向きも見てみます。同じ温度で A、B が各 1.0 mol、C、D が各 3.0 mol、体積が 1.0 L なら Q = 9.0 です。Q > K なので逆向きに進み、x は負になるはずです。表から -3.0 ≦ x < 1.0 として解くと、2(1 − x) = 3 + x より x = -1/3 mol です。A、B は各 4/3 mol、C、D は各 8/3 mol となり、比の二乗は4です。変化の符号が負でも平衡量はすべて正です。

発展例題：係数が異なる反応

一定温度で P(g) ⇄ 2R(g) を考え、濃度平衡定数を K = [R]²/[P] = 2.0 mol/L とします。体積 1.0 L の密閉容器に P を 1.0 mol、R を 1.0 mol 入れます。平衡時の濃度を mol/L、有効数字2桁で求めてください。K は問題用の値で、温度と体積は一定です。

正反応向きに x mol 進むと P は x mol 減り、R は 2x mol 増えます。初期量と合わせると P は 1.0 − x、R は 1.0 + 2x mol です。範囲は -0.50 ≦ x < 1.0 です。初期の Q は 1.0 mol/L で K より小さいので、正の x が予想されます。

2.0 = (1.0 + 2x)²/(1.0 - x)
2.0 - 2.0x = 1.0 + 4.0x + 4.0x²
4.0x² + 6.0x - 1.0 = 0
x = (-3 + √13)/4 または (-3 - √13)/4

前者は約 0.151 mol、後者は約 -1.65 mol です。後者では R の平衡量が負になるため、初期状態から到達できません。採用した値から P は 0.85 mol/L、R は 1.3 mol/L です。丸め前はそれぞれ約 0.8486、1.303 mol/L で、[R]²/[P] は 2.0 mol/L に戻ります。また、P + R/2 は初期と平衡時とも 1.5 mol です。この保存式と平衡式の残差はいずれも丸め前の値で0です。

この反応では平衡式に体積が残るため、物質量をそのまま濃度として扱えるのは体積が数値上 1.0 L の今回に限ります。別解として R の増加量を y mol と置けば、P の減少量は y/2 mol です。y = 2x と対応させれば同じ濃度に戻ります。文字の選び方よりも、係数比と単位を表に残すことが重要です。

記録から平衡を判定する

学校の指導の下で、密閉した一定体積の系の濃度を時間ごとに調べる実験を考えます。測定操作が組成を大きく変えないように設計し、温度を記録します。反応物側から始める系と生成物側から始める系を、保存される原子の総量と温度、体積が同じになるよう用意すれば、異なる出発点から同じ組成に近づくか比較できます。

横軸を時間、縦軸を濃度とするグラフでは、正味の濃度変化が小さくなって一定値に近づく様子を読みます。ただし短時間の測定点が偶然そろっただけでは平衡と断定できません。観測を続け、別の出発組成からの到達値も比べます。反応速度が遅い場合は、一定に見えても平衡に達する前かもしれません。

温度が途中で変わると、同じ K を使う前提が崩れます。漏れがあれば密閉系の物質収支が合わず、試料の採取で体積や量が変化すれば、一定体積の表をそのまま適用できません。濃度測定に系統的なずれがある場合、各値から計算した Q が真の値から偏ることもあります。まず保存量のずれを調べ、次に温度と測定条件を点検し、それでも残るずれを平衡式と照合します。測定値が負になった場合も、負の濃度を表へ採用せず、検出限界や差し引き操作を見直します。

範囲外の根を直す

基本例題で展開すると、4(1 − x)² = x² から 3x² − 8x + 4 = 0 となり、代数的には x = 2/3、2 です。図3のように x = 2 を表へ戻すと、A と B は各 -1 mol になります。式に代入できても物質量として成立しません。

図3の区間を先に書けば、2 は計算後すぐに除外できます。原因は二次方程式の解と化学的に可能な状態を同一視したことです。修正するときは「大きい根を捨てる」という暗記ではなく、どの量が負になるかを記します。生成物が初めからある系では負の x が正しい場合もあるので、負の根という理由だけで除くのも誤りです。

もう一つの誤りは、係数2の成分の増加を x と書きながら、係数1の成分の減少も x とすることです。同じ x が何 mol の進行を示すかを明示し、表の変化行を反応式と照合してください。平衡濃度を求めた後は、四捨五入前の値で収支と K を別々に再計算します。

練習：表を自分で埋める

各問の K は問題用の値です。温度と体積は一定で、気体は均一です。濃度は mol/L で有効数字2桁、進行量は mol で必要なら有効数字2桁に丸めてください。

A + B ⇄ C + D、K = 9.0。1.0 L の容器に A、B を各 2.0 mol 入れ、C、D は初めにありません。平衡濃度を求めてください。
同じ反応で K = 1.0。1.0 L に A、B を各 3.0 mol、C、D を各 1.0 mol 入れます。正反応向きの進行量と平衡濃度を求めてください。
同じ反応で K = 1.0。2.0 L に A、B を各 1.0 mol、C、D を各 3.0 mol 入れます。進行方向と平衡濃度を求めてください。
P ⇄ 2R、K = [R]²/[P] = 1.0 mol/L。1.0 L に P を 2.0 mol 入れ、R は初めにありません。平衡濃度を求めてください。
A + B ⇄ C + D の系で、1.0 L に A、B を各 4.0 mol 入れ、C、D は初めにありません。平衡時の C が 1.0 mol/L でした。残りの平衡濃度と K を求めてください。K は有効数字2桁です。

練習の答えと照合

x mol を正反応の進行量とすると 9 = x²/(2 − x)²、0 ≦ x < 2 です。正の比から x/(2 − x) = 3、x = 1.5 mol。A、B は各 0.50 mol/L、C、D は各 1.5 mol/L です。各対の合計は初期の 2.0 mol に戻り、比の二乗は9です。
(1 + x)/(3 − x) = 1 より x = 1.0 mol です。4成分は各 2.0 mol/L です。AとC、BとDの各合計は 4.0 mol、濃度の積の比は1です。
初期の Q = 9 で K より大きく、逆向きです。(3 + x)/(1 − x) = 1 より x = -1.0 mol。各物質量は 2.0 mol なので各濃度は 1.0 mol/L です。各対の合計 4.0 mol と Q = 1 が成立します。
P の減少を x mol とすると 1 = (2x)²/(2 − x)、4x² + x − 2 = 0 です。範囲 0 ≦ x < 2 にある根は x = (-1 + √33)/8、約 0.593 mol です。P は 1.4 mol/L、R は 1.2 mol/L です。丸め前の値では P + R/2 = 2.0 mol/L、[R]²/[P] = 1.0 mol/L です。負の根は R を負にします。
体積が 1.0 L なので C は 1.0 mol、x = 1.0 mol です。A、B は各 3.0 mol/L、D は 1.0 mol/L。K = 1/9 = 0.11 です。AとC、BとDはそれぞれ初期の 4.0 mol に戻り、濃度比も与えた平衡値と一致します。