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高校化学同位体と平均原子量—存在比を重みとして未知の割合まで求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴化学を掘り下げる理論化学1

質量数と相対質量を区別し、加重平均から未知の割合を逆算する手順と誤答の直し方をたどります。鍵は同位体存在比です。

よくあるのは、同位体の存在比が 75% と 25% だから、2つを足して原子量は 100 だと答えてしまう場面です。割合を足した 100% は、原子の種類を合わせた全体を表します。原子量を知るには、その全体の中にどの重さの原子がどれほどあるかを使います。割合の意味を粒子の数に戻し、平均の式を立て直しましょう。

問題は何を求めているか

出題の型は大きく3つあります。第1は、それぞれの同位体の相対質量と存在比から平均を求める型です。各相対質量に、その原子が全体に占める割合を掛けて足します。第2は、平均と2種類の相対質量から存在比を逆算する型です。未知数を一方の割合に置き、もう一方を全体から引いて表します。第3は、存在比が原子の個数比で示される場合や、平均と質量比から条件を読み取る場合です。数の割合と質量の割合を区別することが出発点です。

数字が2種類並んでいても、それが質量数なのか、相対質量なのか、存在比なのかで働きが違います。問題文に「質量数を相対質量として計算する」とあれば、その指定に従います。指定がないときに、両者が厳密に等しいと決めてはいけません。核反応の計算はここでは扱いません。

粒子の数から平均の式へ

同位体は、同じ元素に属し、陽子数が等しく中性子数が異なる原子です。原子番号は陽子数を表し、質量数は陽子数と中性子数の和を表す整数です。例えば陽子数が同じで中性子数の異なる2種類を並べると、元素は同じでも質量数は異なります。電子を失ったかどうかは同位体を区別する基準ではありません。

相対質量は、炭素12の原子1個の質量の 1/12 を基準にして、原子1個の質量を比較した値です。比なので単位はありません。質量数は核内の粒子を数えた整数であり、相対質量は基準との質量比です。計算を簡単にするため、問題で相対質量を質量数と等しい値に近似することがありますが、それは計算上の与件です。

原子量は、対象となる元素について、同位体の相対質量を原子の存在割合で重みづけした平均です。存在比は原子の個数の比です。試料の同位体組成が指定されている場合、その試料の平均を計算します。組成が違う試料には、同じ平均を無条件に当てはめられません。

図1のように、相対質量が a の原子が全体の p、相対質量が b の原子が残りの 1 − p を占めるとします。p は百分率ではなく、0 から 1 までの割合です。全体を N 個と考えれば、各種類の個数は Np 個と N(1 − p) 個です。個数に相対質量を掛けて足し、全体の N で割ると次の式になります。

平均 A = {a・Np + b・N(1 - p)}/N
A = a・p + b・(1 - p)

図1では、2種類の寄与を足す前に各割合を掛けています。N は約分されるので、実際の粒子数を知らなくても割合から平均を求められます。p = 0 なら平均は b、p = 1 なら平均は a です。途中の割合なら、平均は両端の間に位置します。これは計算結果の手早い点検にも使えます。

百分率なら 75% は 0.75 として掛けます。75 をそのまま掛ける式を書くなら、最後に 100 で割ります。個数比 3 : 1 の場合、全体は 3 + 1 = 4 に分けられるので、それぞれ 3/4 と 1/4 です。割合を足すと 1 になることと、重みを付ける前の相対質量を取り違えていないことを先に確かめます。

基本と標準を解く

次の数値は計算のために作った与件で、実在する同位体の測定値ではありません。相対質量と存在比は問題文の値を正確な値として扱い、指定された位まで答えます。

基本例題：割合から平均へ

元素 X には相対質量 20.0 と 22.0 の2種類の同位体があり、原子の個数による存在比は順に 75.0%、25.0% です。試料の平均原子量を小数第2位まで求めてください。

図2のように 100 個を基準にすると、前者は 75 個、後者は 25 個に対応します。各種類の寄与を足し、全体に対する1個当たりの平均にします。

平均 = 20.0・0.750 + 22.0・0.250
     = 15.0 + 5.50
     = 20.50

答えは 20.50 です。100 個に戻しても、相対質量の合計は 20.0・75 + 22.0・25 = 2050 となり、100 で割って 20.50 です。平均が 20.0 に近いのは、軽い方が多いためです。25.0 を 0.250 に直す位置を見落とすと、答えが 100 倍になってしまいます。

標準例題：平均から割合へ

元素 Y の2種類の同位体の相対質量をそれぞれ 30.0、34.0 とします。ある試料の平均原子量が 31.2 のとき、軽い方の原子の存在比を百分率で求めてください。答えは小数第1位まで示します。

軽い方の割合を x とすると、重い方は 1 − x です。両者の平均が 31.2 という条件から式を立てます。

30.0x + 34.0(1 - x) = 31.2
34.0 - 4.0x = 31.2
4.0x = 2.8
x = 0.700

軽い方は 70.0%、重い方は 30.0% です。戻して確かめると、30.0・0.700 + 34.0・0.300 = 31.2 です。割合の合計も 100% になります。未知数の範囲は 0 以上 1 以下なので、例えば x = 7 という結果は割合として成立しません。計算を進める前に x が小数の割合か百分率の数字かを書き添えると、単位の混乱を避けられます。

発展：質量の比から個数の比を取り戻す

元素 Z の2種類の同位体の相対質量は 40.0 と 44.0 です。ある試料では、軽い同位体の原子全体の質量と重い同位体の原子全体の質量が 10 : 11 です。軽い方の個数の存在比を百分率で求め、試料の平均原子量を小数第1位まで求めてください。与件は計算用の値です。

ここで 10 : 11 は原子数の比ではありません。各種類の全質量を原子1個の質量に比例する値で割ると、それぞれの個数に比例する量が得られます。

軽い方の個数 : 重い方の個数
= 10/40.0 : 11/44.0
= 1 : 1
軽い方の割合 = 1/(1 + 1) = 0.5
平均 = 40.0・0.5 + 44.0・0.5 = 42.0

答えは 50.0%、42.0 です。個数を各 1 個と置き直すと、質量の比は 40.0 : 44.0 = 10 : 11 となり、元の条件に戻ります。両方の個数が等しくても、重い方の質量が大きいため、質量比は 1 : 1 にはなりません。

別解として、軽い方の個数を x、重い方を y と置き、40.0x : 44.0y = 10 : 11 と表しても求められます。内項と外項の積を等しくすると x = y です。いずれの方法でも、まず比が何の量を表すのかを明記します。

標準例題には差を利用する別解もあります。平均 31.2 と軽い方 30.0 の差は 1.2、2種類の差は 4.0 です。軽い方だけの状態から平均までの上昇分は、重い方の割合を 4.0 に掛けたものなので、重い方は 1.2/4.0 = 0.300 です。軽い方はその残りの 0.700 と求まります。図にするなら、平均が軽い端に近いほど軽い方が多くなります。差の比をそのまま同じ側の存在比に対応させないことが重要です。

答えがずれたときの見直し

図3のように、基本例題の 75.0% と 25.0% を足して 100 を平均原子量とする答えを考えます。100% は全原子に対する割合の合計であり、相対質量の平均ではありません。数字の単位と役割を式の横に書くと、足してよい量と掛けるべき量が見えます。

図3の右側では、20.0 と 22.0 に対応する割合をそれぞれ掛けています。別の誤りは、(20.0 + 22.0)/2 = 21.0 とすることです。単純平均が使えるのは、2種類の原子数が等しいときです。この問題の 75.0% と 25.0% は等しくないため、20.50 に直します。

逆算でも、平均が両端の外に出る条件は見逃せません。例えば相対質量 30.0 と 34.0 の2種類だけから、平均 35.0 を作ることはできません。式を解けば割合が負になるなど、条件との矛盾が表れます。丸められた平均値が与えられている場合は、丸めの幅を考えてから矛盾を判断します。

割合の読み取りにも注意が必要です。測定装置の記録を使う問題で、信号の大きさが個数に比例すると明記されていれば、各信号を合計で割って個数割合にできます。比例の条件や補正方法が示されなければ、生の信号比をそのまま存在比と決められません。試料の混入や測定のばらつきも平均に影響するため、学校の指導の下で測定記録を扱う場合には、試料の条件と補正の有無を確認します。

グラフでは横軸を重い同位体の個数割合、縦軸を平均原子量とすると、相対質量が固定された2種類の系では両端を結ぶ直線になります。横軸が 0% から 100% へ増える間に、平均は軽い値から重い値へ移ります。横軸が質量割合なら同じ直線を使えるとは限らず、軸の名前を確かめる必要があります。

練習：条件を言葉に戻して解く

以下はすべて計算用の自作データです。相対質量と割合の値は正確な与件として扱います。問題を解いてから後の解答群を見てください。

元素 P の2種類の同位体の相対質量は 10.0 と 11.0、原子の存在比は順に 20.0% と 80.0% です。平均原子量を小数第2位まで求めてください。
元素 Q の相対質量 60.0 と 64.0 の同位体が、原子数で 3 : 2 の割合で存在します。平均原子量を小数第1位まで求めてください。
元素 R の2種類の相対質量は 50.0 と 54.0、平均原子量は 53.0 です。軽い方の原子の存在比を百分率で小数第1位まで求めてください。
元素 S の同位体の相対質量は 12.0 と 15.0 です。軽い方と重い方の原子全体の質量比が 4 : 5 のとき、重い方の個数割合を百分率で小数第1位まで求めてください。
元素 T の2種類の相対質量を 70.0 と 72.0 とします。平均が 73.0 と記録されたとき、2種類のみからなる試料として条件が成立するか、理由とともに答えてください。丸めによる不確かさは考えないものとします。

解答と途中の確認

20.0% は 0.200、80.0% は 0.800 です。

平均 = 10.0・0.200 + 11.0・0.800
     = 2.00 + 8.80 = 10.80

100 個に戻すと 10.0・20 + 11.0・80 = 1080 で、100 で割れば 10.80 です。平均は 11.0 に近く、個数の多い側とも整合します。

比の和は 5 なので、割合は順に 3/5、2/5 です。

平均 = 60.0・(3/5) + 64.0・(2/5)
     = 36.0 + 25.6 = 61.6

5 個のまとまりで見ると相対質量の合計は 60.0・3 + 64.0・2 = 308.0 です。5 で割ると 61.6 になり、元の個数比に戻して確かめられます。

軽い方を x と置きます。

50.0x + 54.0(1 - x) = 53.0
4.0x = 1.0
x = 0.250

答えは 25.0% です。重い方の 75.0% と合わせると 100% で、50.0・0.250 + 54.0・0.750 = 53.0 と元の平均に戻ります。平均が重い方に近いこととも一致します。

全質量を各原子の相対質量で割ると、個数比は次のようになります。

軽い方 : 重い方 = 4/12.0 : 5/15.0
                 = 1 : 1
重い方の割合 = 1/2 = 0.500

答えは 50.0% です。各1個なら全質量の比は 12.0 : 15.0 = 4 : 5 なので、与件に戻ります。質量比を直接 4 : 5 の個数比にしないようにします。

成立しません。非負の個数割合で重みづけした平均は 70.0 以上 72.0 以下だからです。例えば重い方が 100% でも平均は 72.0 で、73.0 には届きません。与件に不足や誤記がないかを確かめる必要があります。

覚えておくこと

同位体は陽子数が等しく、中性子数が異なる原子です。
質量数は整数の個数、相対質量は基準との質量比です。
平均原子量は各相対質量に原子の個数割合を掛けた和です。
2種類の割合を x と置いたら、もう一方は 1 − x です。
求めた割合を元の平均や質量比に戻して確かめます。

どこで手が止まるか

個別指導で確かめるときは、答えの数字だけでなく、式のそれぞれの項がどの原子に対応するかを説明してもらいます。割合を小数に直す前に掛けていないか、質量比を個数比と読んでいないかも見ます。逆算では未知数の範囲と、答えを元の条件に戻した計算を確認します。平均の位置と原子の多い側を結び付けられれば、計算結果の不自然さにも自分で気づけます。