高校物理 原子 水素原子のエネルギー準位—位置エネルギーの基準から負の値の意味を読む｜武蔵野個別指導塾

無限遠を基準にした位置エネルギーから円軌道の全エネルギーを導き、負の値が示す水素の束縛を読み解く水素準位。

よくあるのは、水素原子の準位が負だと見て、電子の運動エネルギーまで負にする場面です。電子は動いているのに、なぜエネルギーに負の値が現れるのでしょうか。答えを探すには、まず何を0と決めたかを確かめ、運動エネルギーと位置エネルギーを別々に書きます。円軌道の模型を使うと、両者の比と許される全エネルギーの並びをつなげられます。

どの量を求める問題か

出方の1つは、半径rの円軌道で運動エネルギーK、位置エネルギーU、全エネルギーEを求める型です。力のつり合いと混同せず、引力が円運動の向心力になる式から始めます。Uの基準を指定されているかも確認します。

もう1つは、量子条件から半径と準位のn依存性を導く型です。軌道番号nは正の整数で、半径がn²に比例することを先に示します。そこにEとrの関係を代入すれば、Eが負のまま1/n²に比例する理由が見えます。

さらに、準位図から束縛の強さや電離に必要なエネルギーを読む型があります。0に近い負の値は、絶対値が小さいという意味であり、エネルギー自体は高い値です。数直線上で比較してから、必要な差を取ります。光の波長や多数の遷移の数え上げはここでは扱いません。

0の位置と円軌道の収支

原子核を固定し、電荷の大きさをe、電子の質量をmₑ、クーロン力の比例定数をkとします。核と電子の距離がrのとき、引力の大きさはke²/r²です。位置エネルギーの基準を、両者が無限に離れたところで0と決めると、U = -ke²/rです。k、e、rは正なのでUは負です。

この符号には理由があります。引き合う2粒子を距離rから十分遠くまでゆっくり引き離すには、外から正の仕事を加える必要があります。その分だけ位置エネルギーが増えて0に達するので、出発点は0より低い値です。位置エネルギーには基準の選び方がありますが、同じ基準で計算した差は変わりません。

電子の速さをvとするとK = mₑv²/2です。質量は正で速さの2乗は負にならないので、Kも負にはなりません。円運動の向心加速度は中心向きで、向心力は別の力を追加する名前ではなく、この場合はクーロン引力そのものです。

図1のようにUは0より下にあり、Kを加えたEも0より下です。図1の上下はエネルギーの大小を表し、軌道の空間的な高さを描いたものではありません。円運動の式から順に計算します。

mₑv²/r = ke²/r²
mₑv² = ke²/r
K = mₑv²/2 = ke²/(2r)
U = -ke²/r = -2K
E = K + U = -ke²/(2r) = -K

したがって負なのは全エネルギーで、KとUの和が負になるということです。距離を大きくするとUもEも0に近づきます。Eが負の状態から、無限遠で電子の速さも0となる状態まで引き離すには、少なくとも0 − E = -Eのエネルギーを外から与えます。

この関係は固定された核の周りの円軌道とクーロン引力を前提にした模型の結論です。任意の運動や別の力にそのまま適用できるわけではありません。また古典的な円軌道の式だけでは、半径は連続して選べます。離散した準位を得るには、定常状態と量子条件という別の仮定が必要です。

基本例題：1つの円軌道の3つの量

固定した核の周りを電子が半径r₀の円軌道で運動します。k、e、r₀を正の記号として、Uの基準は無限遠で0とします。K、U、E、および無限遠で静止するまで引き離すのに必要な最小エネルギーを、記号で求めてください。放射や核の反動は無視します。

図2のように、まず引力と向心加速度の向きを中心へそろえます。図2の矢印は力の向きで、電子の進行方向ではありません。

mₑv²/r₀ = ke²/r₀²
mₑv² = ke²/r₀
K = ke²/(2r₀)
U = -ke²/r₀
E = ke²/(2r₀) - ke²/r₀
E = -ke²/(2r₀)
必要なエネルギー = 0 - E
必要なエネルギー = ke²/(2r₀)

答えを元の条件に戻すと、KとUの和は確かにEです。さらにEに必要なエネルギーを足すと0となり、無限遠で静止する終状態に一致します。ke²/r₀は位置エネルギーの絶対値であり、引き離すのに必要な量の2倍です。電子がすでに持つKも収支に入るためです。

単位も確かめます。ke²/r₀²は力なので、それに距離r₀を掛けたke²/r₀は仕事と同じエネルギーの単位です。記号の答えでは、数値の丸めや有効数字の指定は不要です。

標準例題：許される半径から準位へ

同じ模型で、円軌道の量子条件をmₑvr = nh/(2π)とします。nは正の整数、hはプランク定数です。n = 1の半径をr₁、A = ke²/(2r₁)と定義します。rₙとEₙをn、r₁、Aで表し、n = 2とn = 3のエネルギーの大小と差を求めてください。答えは記号のままとします。

量子条件を2乗し、円運動の式と組み合わせます。各行で何を消したかを追うと、n²がどこから来たか確認できます。

mₑvrₙ = nh/(2π)
mₑ²v²rₙ² = n²h²/(4π²)
mₑv²rₙ = ke²
mₑke²rₙ = n²h²/(4π²)
rₙ = n²h²/(4π²mₑke²)
r₁ = h²/(4π²mₑke²)
rₙ = n²r₁
Eₙ = -ke²/(2rₙ)
Eₙ = -ke²/(2n²r₁)
Eₙ = -A/n²

E₂ = -A/4
E₃ = -A/9
E₃ - E₂ = -A/9 + A/4
E₃ - E₂ = 5A/36

Aは正ですから、-A/9の方が-A/4より大きく、n = 3の方が高い準位です。答えを差に戻すと、-A/4 + 5A/36 = -A/9となります。nを大きくすると半径は大きく、負のEは0へ近づきます。nは整数なので、途中の任意の半径をこの模型の定常状態として選ぶことはできません。

横軸を1/n²、縦軸をEₙとするグラフなら、傾きは-A、切片は0です。横軸がnそのものなら直線ではありません。単位は横軸が無次元、縦軸と傾きがエネルギーです。式の形だけでなく軸を確かめると、負の傾きを取り落とさずに済みます。

発展例題：基準変更と資料の読み取り

同じ模型でAを正のエネルギーとして与えます。n = 4の準位を基準0に取り直したとき、n = 1とn = 2の新しい値、およびn = 2から無限遠で静止する状態までのエネルギー差をAで表してください。次に、横軸x = 1/n²、縦軸y = Eₙとする自作の資料で、2点(x, y) = (1, -A)、(1/4, -A/4)を使った傾きと切片を求めてください。値はすべて厳密な分数で答えます。

もとの基準ではE₄ = -A/16です。すべての状態のエネルギーから同じE₄を引けば、新しい基準になります。無限遠の値も同じだけ変えることが必要です。

E₁ = -A
E₂ = -A/4
E₄ = -A/16
E₁の新しい値 = -A - (-A/16) = -15A/16
E₂の新しい値 = -A/4 - (-A/16) = -3A/16
無限遠の新しい値 = 0 - (-A/16) = A/16
必要な差 = A/16 - (-3A/16) = A/4

元の基準でも0 − (-A/4) = A/4です。基準を変えても差が変わらず、-3A/16 + A/4 = A/16と終状態へ戻ります。新しい基準で無限遠を再び0と置くと、異なる基準の値を混ぜることになります。

別解では最初から差だけに注目します。n = 2から無限遠への差はE∞ − E₂で、共通に加えた定数は引き算で消えます。したがって各状態の新しい値を求めなくてもA/4と求まります。ただし各状態の値そのものを問われた前半には、基準変更の計算が必要です。

資料の直線については、次のように差を取ります。

傾き = (-A/4 - (-A))/(1/4 - 1)
傾き = (3A/4)/(-3/4)
傾き = -A
切片 = -A - (-A)・1
切片 = 0

この直線へx = 1/4を代入するとy = -A/4となり、もう一方の点にも戻ります。もし測定から準位を推定するなら、同じ基準と単位で値を整理し、横軸に対応するnを取り違えないことが設計の出発点です。複数点を測り、直線からのずれと測定の不確かさを比べます。切片が0からずれたとき、基準のずれや測定誤差を検討できますが、2点だけから原因を特定することはできません。高電圧などを用いる実験は学校の指導の下で行い、ここでは資料の読み方に限ります。

符号を誤った答案を直す

「Eが負だからKも負」と書いた答案では、全体の和と成分の符号が混ざっています。図3のように、正のKに負のUを足すと、絶対値の大きいUが勝ってEが負になります。図3では矢印の向きと長さを符号と相対的な大きさに対応させています。

修正するときはK = mₑv²/2から非負を確認し、円軌道に限ってU = -2K、E = -Kを使います。また「-A/9は-A/4より小さい」としたら、同じ正のAを掛けた数直線で比べます。負の数は絶対値が小さい方が大きく、電離までの差も小さくなります。

もう1つの誤りは、量子条件を使わずに円運動の式だけからnが整数と結論することです。円運動だけではrは連続して変えられます。許される状態の制限は模型の追加の仮定として書き分けます。逆に、量子条件の結果をどんな原子や任意の基準にも無条件で使うことも避けます。

練習：条件と基準を読み分ける

次の5問では、固定した核の周りの円軌道模型を使い、放射と核の反動を無視します。Aは正のエネルギーで、指定がない限り無限遠を0とします。すべて厳密な記号または分数で答えてください。

1. ある円軌道でK = Bとします。Bは正のエネルギーです。UとEをBで表し、無限遠で静止するまで必要な最小エネルギーを求めてください。
2. 半径がr₁の9倍の許された軌道について、nとEₙを求めてください。
3. n = 1とn = 4の準位の差を、高い方から低い方を引いてAで表してください。
4. n = 3の準位を0に取り直します。n = 1と無限遠の新しい値、および両者の差をAで表してください。
5. 横軸をx = 1/n²、縦軸をEₙとする資料で、点(1/4, -C)が得られました。Cは正のエネルギーです。この模型のAとn = 4の準位をCで表してください。

解答と確かめ

1. 円軌道の関係から、

U = -2B
E = B - 2B = -B
必要なエネルギー = 0 - (-B) = B

EにBを加えると0です。Uの絶対値2Bをそのまま必要量とせず、初めのKも含めて収支を取ります。

2. 半径の比を使います。

rₙ/r₁ = n² = 9
n = 3
E₃ = -A/3² = -A/9

nは正の整数なので3です。n = 3を半径の式に戻せば9r₁となり、条件と一致します。

3. 高い準位はn = 4です。

E₁ = -A
E₄ = -A/16
E₄ - E₁ = -A/16 + A
E₄ - E₁ = 15A/16

-Aに15A/16を足すと-A/16となります。差は正のエネルギーで、低い方から高い方への変化に必要な量です。

4. 各値から同じE₃を引きます。

E₃ = -A/9
E₁の新しい値 = -A + A/9 = -8A/9
無限遠の新しい値 = 0 + A/9 = A/9
差 = A/9 - (-8A/9) = A

新しい基準で-8A/9にAを足すとA/9です。もとの基準でも0 − (-A) = Aとなり、差が一致します。

5. 点の横座標はn = 2に対応します。

E₂ = -A/4 = -C
A = 4C
E₄ = -A/16 = -C/4

A = 4CをE₂に戻すと-Cで、与えられた点を通ります。さらにE₄にC/4を足すと0になり、無限遠までの差の符号も確かめられます。

準位を読む手がかり

• 無限遠を0とすると、引力によるUは負です。
• 円軌道ではK = -U/2、E = -Kです。
• 量子条件を加えるとrₙ = n²r₁、Eₙ = -A/n²です。
• 負の準位が0に近いほど高く、無限遠までの差は小さくなります。
• 基準を変えても、同じ2状態のエネルギー差は変わりません。

負号で止まる人は、まずKとUを別々に数直線へ置き、足した結果を指で追ってみてください。式の導出で止まる人には、円運動から得るmₑv²rと、量子条件を2乗した式に共通する量を個別指導で確かめます。準位を比べる際には、基準と差の向きを言葉にしてから式に移すと、束縛の強さまで読み取れます。