高校物理 原子 光電流と光の強さ—飽和電流と阻止電圧を分けて曲線を比較する｜武蔵野個別指導塾

捕集効率と光子数を条件に、飽和電流と阻止電圧の変化を読み解く光電流。

よくあるのは、光を強くした2本の曲線を見て、高くなった飽和電流に合わせて阻止電圧まで大きく描く場面です。光電子が増えることと、最も速い光電子のエネルギーが増えることは別の話です。何を固定して光を変えたかを先に整理すると、曲線の高さと横方向の端をそれぞれ判断できます。

どの条件をそろえて比べるか

問題の型は主に3つです。第1に、同じ金属に同じ振動数の光を当て、単位時間に届く光のエネルギーを変える型です。放出と捕集の割合が一定なら、飽和電流は光の強さに比例します。振動数と金属が同じなので、最大運動エネルギーと阻止電圧は変わりません。

第2に、金属に届く光の出力を固定し、振動数を変える型です。1個の光子のエネルギーが変わるため、毎秒の光子数は一定ではありません。放出の割合や捕集の割合まで一定と与えられて初めて、光子数の比から飽和電流の比が決まります。出力が同じという条件から、電流が同じと即断することはできません。

第3に、測定値から捕集効率や放出数を逆算する型です。電流は電荷が流れる割合であり、電子の個数そのものではありません。時間をそろえ、電子1個の電荷の大きさを掛けるか割るかを確かめます。以下の電流は大きさで表し、暗いときの背景電流は無視するか、差し引いたものとします。

光子、電子、電流をつなぐ

光の振動数をν、プランク定数をhとすると、光子1個のエネルギーはhνです。金属に届く単色光の出力をPとすれば、毎秒届く光子数はP/(hν)です。照射面に届く出力を使うので、面積当たりの強さを与えられた場合は、照射面積を掛けてから扱います。面積を変えた比較では強さと出力を取り違えないことが必要です。

図1のように、届く光子のうち電子を放出させる割合をη、放出された電子のうち回収電極に届く割合をfと置きます。どちらも0以上1以下のモデル上の割合です。ηは1光子が高々1個の電子を放出させる理想化で定め、光子数と放出数の比として扱います。毎秒の放出数はηP/(hν)、捕集数はfηP/(hν)です。電気素量をeとすると、電流の大きさは次のようになります。

毎秒の光子数 = P/(hν)
毎秒の放出数 = ηP/(hν)
毎秒の捕集数 = fηP/(hν)
電流 I = efηP/(hν)

図1の割合は測定条件に依存し、金属や振動数を変えても一定だとは限りません。特に、捕集率は電極間の電圧によって変わります。回収を十分助けたときの捕集率をfₛとし、それ以上の電圧で捕集数が増えない理想的な領域の電流を飽和電流Iₛと呼びます。fₛ = 1なら放出電子をすべて捕集しますが、1未満の場合も式に残します。一定のfₛが与えられなければ、飽和電流の比は一般には確定しません。

一方、光電子の最大運動エネルギーKmaxは、仕事関数Wを使ってKmax = hν − Wです。これは放出可能な場合のエネルギー収支です。電子を逆向きに押し戻す電圧の大きさをVₛとすると、最も大きな運動エネルギーも失う境界でeVₛ = Kmaxとなります。ここでは理想化した境界を扱い、実験の電位差の補正や電流の検出限界は別に考えます。

光が弱くなると、同じ時間に飛び出す電子の数は減ります。しかし、同じ振動数の光子1個のエネルギーは変わりません。したがって、金属の状態も同じなら、最大エネルギーを決める式に強さは入りません。光の強さは個数の側に、振動数は1個当たりのエネルギーの側にまず対応させます。

横軸を回収電極の放出面に対する電位差V、縦軸を電流の大きさIとします。Vが正なら負の電子の回収を助け、負なら妨げます。左側で電流が0になる境界はV = -Vₛです。V = 0でも、初めから回収電極の方向へ運動する電子があれば電流は流れます。曲線の途中の形は放出方向やエネルギーの分布、装置の形にも依存するので、飽和値と阻止電圧だけから一意には決まりません。

基本例題：同じ振動数で光を強める

同じ金属に、放出条件を満たす振動数の単色光を当てます。照射面積は一定です。光Aの到達出力をP、光Bを2Pとし、両方でηと飽和時の捕集率fₛは同じ正の値です。Aの飽和電流を2.0 μA、阻止電圧を1.5 Vとします。Bの飽和電流と阻止電圧を、それぞれμAとVで有効数字2桁で求め、曲線の端を比べてください。

図2のように、光Bは毎秒の光子数が2倍です。1光子当たりのエネルギーと金属の仕事関数は同じなので、光電子の最大運動エネルギーは変わりません。ηとfₛも共通ですから、飽和電流は光子数に比例します。

Iₛ,B/Iₛ,A = (efₛη・2P/(hν))/(efₛη・P/(hν))
Iₛ,B/Iₛ,A = 2
Iₛ,B = 2 × 2.0 μA
Iₛ,B = 4.0 μA
Kmax,B = Kmax,A
Vₛ,B = 1.5 V

答えは4.0 μAと1.5 Vです。条件に戻すと、Bの捕集電子数は毎秒2倍なので電荷の流れる割合も2倍です。また両方でe × 1.5 Vの運動エネルギーを失えば最大エネルギーの電子が止まります。図2の横軸の端は共通で、飽和値が異なります。途中の形は理解のための模式図であり、条件だけから各電圧で電流が必ず2倍になるとまでは決めていません。

標準例題：出力を固定して振動数を変える

同じ金属と照射面積を使い、金属に届く単色光の出力をPで一定にします。振動数をνから2νに変えます。両方とも電子の放出条件を満たし、ηとfₛは同じ正の値とします。低い振動数での飽和電流が6.0 μA、仕事関数がhν/2であるとき、高い振動数での飽和電流をμAで有効数字2桁、2つの阻止電圧の比を整数比で求めてください。

出力は毎秒に届くエネルギーです。高い振動数では光子1個が運ぶエネルギーが2倍なので、同じ出力を運ぶ光子数は半分になります。放出率と飽和時の捕集率が同じなら、電流も半分です。

N低 = P/(hν)
N高 = P/(2hν)
N高/N低 = 1/2
Iₛ,高 = 6.0 μA/2
Iₛ,高 = 3.0 μA

阻止電圧は電流とは別に、1個の電子のエネルギーから求めます。

eVₛ,低 = hν - hν/2
eVₛ,低 = hν/2
eVₛ,高 = 2hν - hν/2
eVₛ,高 = 3hν/2
Vₛ,低 : Vₛ,高 = 1 : 3

答えは3.0 μA、1 : 3です。戻して確かめると、低い方は仕事関数hν/2と最大運動エネルギーhν/2の和がhν、高い方はhν/2と3hν/2の和が2hνです。横軸にVを取った曲線なら、高い振動数の端は低い方の端より負の側にあります。一方、縦軸の飽和値はこの条件では半分です。

別の見方として、ηとfₛを固定したときIₛ = efₛηP/(hν)を使えます。Pを固定したIₛと1/νのグラフは、仮定の成り立つ放出領域で原点を通る直線です。その傾きefₛηP/hは、1/νの単位が秒なので電流を秒で割った単位を持ちます。放出しない領域やηが変化する範囲まで直線を延ばして実測値とみなすことはできません。

発展例題：捕集されない電子を考慮する

ある金属に届く単色光の光子数は毎秒8.0 × 10¹⁵個です。放出条件を満たし、光子のうち電子を放出させる割合は0.25、飽和時の捕集率は0.60です。計算にはe = 1.60 × 10⁻¹⁹ Cを用います。飽和電流をAで有効数字2桁で求めてください。また、捕集率を誤って1とすると推定した放出数は実際の何倍になるか求めてください。数値は説明用の条件です。

毎秒の放出数 = 8.0 × 10¹⁵ × 0.25
毎秒の放出数 = 2.0 × 10¹⁵ 個
毎秒の捕集数 = 2.0 × 10¹⁵ × 0.60
毎秒の捕集数 = 1.2 × 10¹⁵ 個
Iₛ = 1.60 × 10⁻¹⁹ C × 1.2 × 10¹⁵ /s
Iₛ = 1.92 × 10⁻⁴ A
Iₛ = 1.9 × 10⁻⁴ A

捕集率を1と誤認すると、電流から計算した捕集数をそのまま放出数とします。したがって実際の放出数に対する比は0.60倍です。検算では丸める前の1.92 × 10⁻⁴ Aをeで割ると毎秒1.2 × 10¹⁵個に戻り、さらに0.60で割ると毎秒2.0 × 10¹⁵個の放出数になります。0.25を掛ける前の光子数にも戻せます。丸めた答えから厳密な元の数を復元する必要はありません。

別解では、最初に1個の到達光子につき捕集される電子の平均数を0.25 × 0.60 = 0.15とし、光子数に0.15eを掛けます。これは放出数と捕集数を途中で区別した式と一致します。ただし電流だけを測ってもηとfₛの積しか決まらず、それぞれの値は決まりません。片方を別の条件から与える必要があります。

実験を設計するなら、同一金属、照射面積、振動数を保ち、金属に届く出力を複数段階に変えて、各段階で電圧に対する電流を測ります。学校の指導の下で扱い、紫外線や電源を自作して操作する手順にはしません。各曲線で十分な回収電圧でも電流が変わらない範囲を探し、背景電流を差し引いた飽和値を比較します。出力と飽和値の直線性が仮定の点検になります。

光の位置がずれて照射面積や捕集率が変わると、出力比と電流比が一致しないことがあります。光源の変動、電流計の零点、暗電流も読みをずらします。阻止電圧の近くでは微小な電流を検出できず、見かけの端が変わることもあります。複数回の測定や背景の確認を行い、曲線のずれを直ちに光子のエネルギーの変化と結論しないことが必要です。飽和域が得られないときは、最大測定値を飽和値と決めず、電圧範囲や捕集条件を見直します。

誤答の分岐を直す

「同じ振動数で光を2倍に強めると、電流も阻止電圧も2倍」という答えは、電子の個数と1個のエネルギーを混ぜています。図3のように、出力が増える経路は毎秒の光子数に、振動数が変わる経路は光子1個のエネルギーに結びます。阻止電圧は後者と仕事関数で決めます。

もう1つの誤りは、出力固定の比較で「光が同じ強さだから飽和電流も同じ」とすることです。図3の分岐でPとνの両方が光子数に入ると確認します。さらにηやfₛが未指定なら、それらを一定と勝手に置かず、電流比は決まらないと答えます。放出条件を満たさない場合は比例式を放出領域のまま延長せず、理想モデルでは光電子による電流は生じません。

練習：条件を読み直す5問

各問は独立した自作条件です。電流は背景を差し引いた大きさ、電圧は正の阻止電圧の大きさとします。指定された桁は最後に丸めてください。

1. 同じ金属、振動数、照射面積で出力を3倍にします。ηとfₛは一定で正です。もとの飽和電流が1.2 μA、阻止電圧が0.80 Vのとき、変更後の2量をそれぞれμAとVで有効数字2桁で求めてください。
2. 同じ金属に届く出力を一定にして振動数をνから3νにします。両方で放出し、ηとfₛは一定で正です。もとの飽和電流が9.0 μAなら、変更後をμAで有効数字2桁で求めてください。
3. 毎秒5.0 × 10¹⁴個の光子が届き、η = 0.40、fₛ = 0.50です。e = 1.60 × 10⁻¹⁹ Cとして飽和電流をAで有効数字2桁で求めてください。
4. 同じ金属に振動数νと2νの光を当て、仕事関数をhν/4とします。両方で放出するとき、阻止電圧の比を低い振動数から整数比で求めてください。
5. ある測定で毎秒の放出数が4.0 × 10¹⁴個、捕集数が3.0 × 10¹⁴個です。飽和時の捕集率を求めてください。別の測定では出力と振動数を保っても捕集率が未知です。その飽和電流が同じと決まるかも答えてください。

練習の答えと確かめ方

1. 出力を3倍にしても1光子のエネルギーは同じで、光子数が3倍です。

Iₛ = 1.2 μA × 3
Iₛ = 3.6 μA
Vₛ = 0.80 V

3.6 μAを3で割れば元の1.2 μAに戻り、阻止電圧による損失e × 0.80 Vも変わりません。答えは3.6 μAと0.80 Vです。

2. 光子1個のエネルギーは3倍、同じ出力で届く光子数は1/3です。

Iₛ = 9.0 μA/3
Iₛ = 3.0 μA

3.0 μAを3倍すると元の9.0 μAです。同じ割合の放出と捕集を仮定したので、この逆算は出力固定の条件に戻ります。

3. 毎秒の放出数と捕集数を順に求めます。

毎秒の放出数 = 5.0 × 10¹⁴ × 0.40
毎秒の放出数 = 2.0 × 10¹⁴ 個
毎秒の捕集数 = 2.0 × 10¹⁴ × 0.50
毎秒の捕集数 = 1.0 × 10¹⁴ 個
Iₛ = 1.0 × 10¹⁴ /s × 1.60 × 10⁻¹⁹ C
Iₛ = 1.6 × 10⁻⁵ A

答えの電流をeで割れば毎秒1.0 × 10¹⁴個となり、捕集率で割ると放出数に戻ります。さらに放出率で割れば最初の光子数です。

4. それぞれの最大運動エネルギーを求めます。

eVₛ,低 = hν - hν/4
eVₛ,低 = 3hν/4
eVₛ,高 = 2hν - hν/4
eVₛ,高 = 7hν/4
Vₛ,低 : Vₛ,高 = 3 : 7

それぞれに仕事関数hν/4を足すとhν、2hνへ戻ります。両方とも最大運動エネルギーは正です。

5. 捕集率は捕集数を放出数で割ります。

fₛ = (3.0 × 10¹⁴)/(4.0 × 10¹⁴)
fₛ = 0.75

0.75を放出数に掛けると捕集数に戻り、割合は0から1の範囲です。別の測定では捕集率が変わり得るため、出力と振動数が同じでも飽和電流は同じと決まりません。放出率も変わり得るなら、なおさら両方の条件を確認します。

最後に残す判断

• 飽和電流は毎秒の捕集電子数にeを掛けた量です。
• 同じ振動数で出力を変えるとき、割合が一定なら飽和電流は出力に比例します。
• 出力固定で振動数を変えると、毎秒の光子数は振動数に反比例します。
• 阻止電圧は最大運動エネルギーをeで割って決めます。
• 割合や放出条件が未確定なら、曲線の高さも決められません。

曲線の端と高さを両方動かした答案では、まず光子数と光子1個のエネルギーを別々に書けるかを確かめます。個別指導では、横軸の符号、放出率と捕集率、出力を固定した範囲を本人の言葉で説明してもらい、式の各因子を図に戻します。光電流の高さと止まる境界は、それぞれ異なる条件から決まります。