高校物理 原子 光電効果のグラフ—傾きと切片を使いプランク定数と仕事関数を推定する｜武蔵野個別指導塾

阻止電圧と振動数の直線から傾きの単位を追い、外挿の意味まで読み解く光電効果のグラフ。

よくあるのは、振動数を横軸、阻止電圧を縦軸に取った直線を見て、その傾きをプランク定数 h と読む場面です。直線が右上がりという形は確かに似ています。しかし、縦軸の量が変わると、同じ横幅に対応する縦の増加量も変わります。まず軸の物理量と単位を書き出し、その後に傾きの式を決めましょう。

要点（結論から）

• Kmax を J で取ると傾きは h、Vₛ を V で取ると傾きは h/e です。
• 横軸との交点は ν₀ = W/h、縦切片はそれぞれ -W と -W/e です。
• 軸の倍率と単位を含めて差を取り、得た値を元の点へ戻します。

直線から何を問われるか

光電効果のグラフには、同じ金属に異なる振動数の光を当て、放出された電子の最大運動エネルギーを縦軸にしたものがあります。別の問題では、最大運動エネルギーを直接ではなく阻止電圧から調べ、電圧を縦軸に取ります。この2種類では横軸が同じでも傾きが異なります。

問われ方の1つは、2点の座標から傾きを計算して定数を求める型です。軸に「10¹⁴ Hz」のような倍率が付くときは、目盛りの数字をそのまま振動数として扱わず、倍率を掛けます。もう1つは、切片や横軸との交点から仕事関数や限界振動数を求める型です。切片の符号と、実際に測定された範囲を分ける必要があります。さらに、測定点が一直線に並ばないとき、傾きや交点がどの程度変わりうるかを考える型もあります。

2つの縦軸を式で結ぶ

振動数 ν の光子1個のエネルギーは hν です。金属から電子を外へ出すためのエネルギーを仕事関数 W とすると、光電子の最大運動エネルギー Kmax は、放出が可能な範囲で次のように表されます。

Kmax = hν - W

これは、光子のエネルギーから電子を取り出すためのエネルギーを引いた残りが、最大の運動エネルギーになるという収支です。電子が出るには hν が W 以上でなければなりません。等号では最大運動エネルギーが0になる理想的な境界を表します。実際の境界付近では検出の限界などがあり、式の交点と観測開始点が必ず一致するとは限りません。

阻止電圧 Vₛ は、最も大きな運動エネルギーの電子がちょうど回収電極に届かなくなる逆向きの電位差の正の大きさです。電気素量を e とすると、電子が失う運動エネルギーの大きさは eVₛ なので、2つの縦軸は次の式で結ばれます。

eVₛ = Kmax
Vₛ = (h/e)ν - W/e

図1のように、Kmax を J で表す直線の傾きは h、Vₛ を V で表す直線の傾きは h/e です。横軸との交点はいずれも ν₀ = W/h です。縦軸との交点は前者が -W、後者が -W/e ですが、この負の部分は直線を延長して求めた値です。

グラフの傾きは「縦の変化量 / 横の変化量」です。Kmax の単位が J、ν の単位が Hz = 1/s なら傾きの単位は J s です。一方、Vₛ の傾きは V s であり、その数値に e を C 単位で掛けると、C V = J より J s になります。単位は式の付属品ではなく、軸の読み間違いを発見する手掛かりです。

縦軸を eV で表したエネルギーの数値と、V で表した阻止電圧の数値は対応します。ただし eV はエネルギー、V は電位差の単位であり、物理量が同じという意味ではありません。仕事関数を eV から J に直すときも換算係数が必要です。

直線を ν = 0 まで延長すると負のエネルギーや負の阻止電圧が出ます。これは電子が負の運動エネルギーを持つ測定結果ではありません。限界振動数より小さい範囲ではこの光電効果による電子放出が起きず、そこに描いた延長線は切片を推定するための数学的な外挿です。グラフに線が描ける範囲と、装置で測れる範囲を分けて読みます。

基本例題：電圧の傾きから h を求める

ある金属について、単色光の振動数 ν と阻止電圧 Vₛ の関係が直線になるとします。自作の測定値として、ν = 5.0×10¹⁴ Hz で Vₛ = 0.40 V、ν = 8.0×10¹⁴ Hz で Vₛ = 1.60 V とします。e = 1.60×10⁻¹⁹ C と近似し、h を J s、W を J でそれぞれ有効数字2桁で求めてください。図2はこの2点と延長線を表します。

まず縦軸は電圧なので、傾きは h ではなく h/e です。2点の差をそれぞれ取ります。

ΔVₛ = 1.60 - 0.40 = 1.20 V
Δν = (8.0 - 5.0)×10¹⁴ = 3.0×10¹⁴ Hz
h/e = ΔVₛ/Δν
h/e = 1.20/(3.0×10¹⁴) = 4.0×10⁻¹⁵ V s
h = (1.60×10⁻¹⁹)・(4.0×10⁻¹⁵)
h = 6.4×10⁻³⁴ J s

次に1点を直線の式へ戻して切片を求めます。切片を b と置けば、b = -W/e です。

b = Vₛ - (h/e)ν
b = 0.40 - (4.0×10⁻¹⁵)・(5.0×10¹⁴)
b = -1.60 V
W = -eb
W = (1.60×10⁻¹⁹)・1.60 = 2.6×10⁻¹⁹ J

最後は有効数字2桁に丸めました。途中の W は 2.56×10⁻¹⁹ J です。検算では丸める前の値を使います。5.0×10¹⁴ Hz の光子エネルギーは 3.20×10⁻¹⁹ J、そこから W を引くと 0.64×10⁻¹⁹ J です。これは e・0.40 V と一致します。8.0×10¹⁴ Hz でも差は 2.56×10⁻¹⁹ J で、e・1.60 V と一致します。

横軸との交点は 1.60/(4.0×10⁻¹⁵) = 4.0×10¹⁴ Hz です。2つの測定点はこの値を上回ります。交点より左の延長線は負の電圧を示しますが、そこで光電子の阻止電圧を実測したという意味ではありません。

標準例題：エネルギー軸と切片

別の金属で、光電子の最大運動エネルギーを J で表します。自作の2点を (ν, Kmax) = (6.0×10¹⁴ Hz, 1.2×10⁻¹⁹ J)、(9.0×10¹⁴ Hz, 3.0×10⁻¹⁹ J) とします。直線関係を仮定し、h、W、限界振動数 ν₀ をそれぞれ有効数字2桁で求めてください。

縦軸がエネルギーなので、傾きは直接 h です。差を取ると、原点から各点までの比ではなく、直線そのものの傾きを得られます。

h = (3.0 - 1.2)×10⁻¹⁹/((9.0 - 6.0)×10¹⁴)
h = 6.0×10⁻³⁴ J s
W = hν - Kmax
W = (6.0×10⁻³⁴)・(6.0×10¹⁴) - 1.2×10⁻¹⁹
W = 2.4×10⁻¹⁹ J
ν₀ = W/h
ν₀ = (2.4×10⁻¹⁹)/(6.0×10⁻³⁴)
ν₀ = 4.0×10¹⁴ Hz

縦切片は -2.4×10⁻¹⁹ J です。仕事関数はその符号を反転した正の量です。元の2点に戻すと、光子エネルギーはそれぞれ 3.6×10⁻¹⁹ J と 5.4×10⁻¹⁹ J で、いずれも W と指定された Kmax の和に一致します。交点でも hν₀ = W なので、境界のエネルギー収支が合います。

別解として、求めた傾きから1点を通る直線を引き、横軸との交点までの横の距離を Kmax/h で求められます。低い方の点からの距離は 2.0×10¹⁴ Hz なので、交点は 6.0×10¹⁴ − 2.0×10¹⁴ = 4.0×10¹⁴ Hz です。その後 W = hν₀ としても同じです。直線の交点を使う方法と縦切片を使う方法は、異なる図形の読みから同じ収支へ戻る確認になります。

発展例題：測定点のばらつきと外挿

同じ金属で、横軸を x = ν/(10¹⁴ Hz)、縦軸を阻止電圧 Vₛ とします。自作の測定値が x = 5、7、9 に対し、それぞれ 0.52 V、1.28 V、2.12 V だったとします。直線の代表として最初と最後の点を結び、傾き、x 軸との交点を求めてください。値は2桁で表し、中間点からのずれも計算します。e = 1.60×10⁻¹⁹ C と近似し、この直線から求める h と W も2桁で示します。

目盛り上の傾き = (2.12 - 0.52)/(9 - 5)
目盛り上の傾き = 0.40 V
h/e = 0.40/(10¹⁴ Hz)
h/e = 4.0×10⁻¹⁵ V s
h = (1.60×10⁻¹⁹)・(4.0×10⁻¹⁵)
h = 6.4×10⁻³⁴ J s
b = 0.52 - 0.40・5 = -1.48 V
W = (1.60×10⁻¹⁹)・1.48 = 2.4×10⁻¹⁹ J
x軸との交点 = 1.48/0.40 = 3.7
ν₀ = 3.7×10¹⁴ Hz

中間の x = 7 では、代表直線の値は 0.40・7 − 1.48 = 1.32 V です。測定値は 1.28 V なので、測定値から直線の値を引いたずれは -0.04 V です。3点のすべてが直線上にあるわけではありません。この代表線は計算方法を示すための選択で、これだけから誤差の幅や最良の直線が確定するわけではありません。

別の確認として、最初と中間、または中間と最後の点を結ぶと、目盛り当たりの傾きはそれぞれ 0.38 V、0.42 V です。代表線の 0.40 V と比べると、選ぶ点によって傾きが変わることが見えます。点の少なさとばらつきがあるため、これらをそのまま厳密な不確かさと呼ぶことはできません。交点も最も低い測定振動数より左にあり、実測した点ではなく外挿による推定です。

測定の設計では、同じ金属の表面状態を保ち、振動数を変える一方、電圧の読み方や検出条件をそろえます。学校の指導の下で安全に扱う装置を前提とし、ここでは高電圧や紫外線の操作手順を扱いません。振動数の範囲を広く取ると、同じ大きさの電圧の読み取り誤差が傾きへ及ぼす影響を小さくしやすくなります。ただし、光の条件や表面状態が変化すれば単純な比較を損ないます。

電圧の目盛りに一定のずれが共通して加わる場合、2点の差は変わらないので傾きは変わりません。一方、縦切片はその分ずれ、仕事関数の推定に影響します。振動数の倍率を取り違える場合には傾き自体が変わります。繰り返し測定による散らばりと、全点を同じ向きへずらす誤差を区別すると、平均を取れば何でも直るという誤解を避けられます。

代表線の収支も確認します。x = 5 のとき hν = 3.20×10⁻¹⁹ J、W = 2.368×10⁻¹⁹ J なので差は 0.832×10⁻¹⁹ J です。これは e・0.52 V に一致します。x = 9 でも差は 3.392×10⁻¹⁹ J となり、e・2.12 V と一致します。中間点にはずれがあるため、代表線と観測値を混同しないことが必要です。

間違いを軸から直す

図3のように、電圧のグラフで傾きをそのまま h とする誤答は、縦軸を確認せず、覚えた直線の形を当てはめることから生じます。修正するには、傾きの単位 V s を書き、e を掛けて J s に変えます。縦軸が J の場合はこの掛け算を追加しません。

もう1つの誤答は、負の縦切片を仕事関数そのものとすることです。式の切片は -W または -W/e であり、W は正です。切片が示す量を式で書いてから符号を変えます。さらに横軸の交点を「その振動数で負の電圧を測った」と読む誤りもあります。交点より低い振動数では放出が起きないため、直線の延長と測定値を分けてください。

点を読むときは、横軸の数値だけでなく倍率も見ます。たとえば目盛りの差が3でも、軸が10¹⁴ Hz 単位なら振動数の差は 3×10¹⁴ Hz です。傾きの次元を書き、計算結果を元の2点の差に掛け戻すと、この倍率の誤りを見つけやすくなります。

練習問題

以下の数値は練習用に作った条件です。直線関係を仮定し、必要な場合は e = 1.60×10⁻¹⁹ C、1 eV = 1.60×10⁻¹⁹ J と近似します。計算結果は有効数字2桁で答えてください。

1. Kmax を J、ν を Hz とするグラフで、2点が (4.0×10¹⁴, 0.60×10⁻¹⁹)、(7.0×10¹⁴, 2.4×10⁻¹⁹) です。傾き h を J s で求めてください。
2. Vₛ を V、ν を Hz とするグラフの傾きが 3.5×10⁻¹⁵ V s、縦切片が -1.4 V です。h を J s、W を J と eV で求めてください。
3. ある金属で h = 6.0×10⁻³⁴ J s、W = 3.0×10⁻¹⁹ J とします。限界振動数を Hz で求め、4.0×10¹⁴ Hz の光で放出されるか判定してください。
4. Vₛ の測定値が、ν = 6.0×10¹⁴ Hz で 0.70 V、ν = 10×10¹⁴ Hz で 2.3 V です。2点を結ぶ直線の横軸との交点を Hz で求めてください。
5. ある直線の電圧の全測定値に、計器のずれで一律 0.20 V が加わりました。求めた傾きと縦切片はそれぞれどう変わりますか。また、このずれを含む縦切片から求めた W は真の値より何 J だけ変わりますか。

練習の答えと検算

1. エネルギー軸なので傾きが h です。

h = (2.4 - 0.60)×10⁻¹⁹/((7.0 - 4.0)×10¹⁴)
h = 6.0×10⁻³⁴ J s

傾きに横の差 3.0×10¹⁴ Hz を掛けると 1.8×10⁻¹⁹ J となり、2点の縦の差に戻ります。低い点から W = 1.8×10⁻¹⁹ J を得て、もう一方でも hν − W = 2.4×10⁻¹⁹ J と確認できます。

2. 電圧軸の傾きに e を掛けます。縦切片には負号が付いています。

h = (1.60×10⁻¹⁹)・(3.5×10⁻¹⁵)
h = 5.6×10⁻³⁴ J s
W = (1.60×10⁻¹⁹)・1.4
W = 2.2×10⁻¹⁹ J
W = 1.4 eV

丸める前の W は 2.24×10⁻¹⁹ J です。これを e で割れば切片の大きさ 1.4 V に戻り、eV での値とも対応します。

3. 境界では hν₀ = W です。

ν₀ = (3.0×10⁻¹⁹)/(6.0×10⁻³⁴)
ν₀ = 5.0×10¹⁴ Hz
hν = (6.0×10⁻³⁴)・(4.0×10¹⁴)
hν = 2.4×10⁻¹⁹ J

入射光子のエネルギーは W より小さいので放出されません。限界振動数を元の式に戻すと hν₀ = 3.0×10⁻¹⁹ J です。放出されない条件に負の Kmax を実測値として与えることはできません。

4. 先に電圧の傾きを求め、低い点から横軸へ戻ります。

h/e = (2.3 - 0.70)/((10 - 6.0)×10¹⁴)
h/e = 4.0×10⁻¹⁵ V s
ν₀ = 6.0×10¹⁴ - 0.70/(4.0×10⁻¹⁵)
ν₀ = 4.25×10¹⁴ Hz
ν₀ = 4.3×10¹⁴ Hz

丸める前の交点を使うと、低い点までの振動数差は 1.75×10¹⁴ Hz です。これに傾きを掛けると 0.70 V に戻ります。高い点までの差でも 2.3 V になり、両方の条件を満たします。

5. 全点に同じ電圧を足すので差は変わらず、傾きも変わりません。縦切片は 0.20 V 大きくなります。W = -e・切片 だから、推定 W の変化は次のとおりです。

ΔW = -e・0.20
ΔW = -(1.60×10⁻¹⁹)・0.20
ΔW = -3.2×10⁻²⁰ J

つまり真の値より 3.2×10⁻²⁰ J 小さくなります。差を e で割ると -0.20 V となり、切片の増加と逆符号で対応します。この結論は、他の条件が一定で、誤差が全点に同じだけ加わるという仮定の下で成り立ちます。

要点とつまずきの見分け方

• Kmax を J で取ると傾きは h、Vₛ を V で取ると傾きは h/e です。
• 横軸との交点は ν₀ = W/h、縦切片はそれぞれ -W と -W/e です。
• 軸の倍率と単位を含めて差を取り、得た値を元の点へ戻します。
• 放出限界より左の直線は外挿であり、そこでの測定値ではありません。
• 点のばらつきと共通のずれは、傾きや切片への影響を分けて考えます。

傾きを求められるのに単位が書けない場合は、縦軸と横軸の単位を別々に口に出してから割り算へ進むと、電圧とエネルギーの混同を見分けられます。切片を読み取れても W の符号を間違える場合は、直線の式に切片を代入し、仕事関数がエネルギーの正の大きさであることを確かめます。

個別指導では、同じ2点をエネルギー軸と電圧軸の両方に表し、座標を e で対応させられるかを確認できます。さらに、測定点と延長線を指し分け、限界未満で何が観測されるかを説明できれば、式の計算と実験の意味がつながります。グラフの傾きは、軸に記された量と単位から決まります。