高校物理 原子 光電効果の阻止電圧—電極の極性と電位差から電流が止まる条件を読む｜武蔵野個別指導塾

回収電極の極性と電子の力の向きをたどると、電流が途切れる境界を示す量が阻止電圧です。

よくあるのは、高校生が光を受ける電極と回収電極を見ながら、回収電極の極性と電子に働く力の向きを結びつけられないという場面です。負の電極は電子を引くのか押すのか、電圧の正負はどちらを基準にするのかで手が止まります。まず電子の電荷が負であることに戻り、向きとエネルギーの両方から境界を追います。

要点（結論から）

• 電子の電荷は -e、電位エネルギーの変化は -e(φ₂-φ₁) です。
• 回収電極を低電位にすると電子は減速し、阻止電圧 Vₛ はその電位差の正の大きさです。
• 理想的な境界では eVₛ=Kmax、放出条件を満たす場合は Kmax=hν-W です。

問題の入口を見分ける

出方の1つは、光電面から出た電子が回収電極に届くのを妨げる極性を選ぶ問題です。回収電極を光電面より低電位にすると、電子には光電面へ戻る向きの力が働きます。電場の向きと電子への力の向きは逆です。電極の符号を暗記するより、電位の高低から電場を描いて判断します。

もう1つは、最大運動エネルギーから電流が止まる電位差を計算する問題です。ここでいう阻止電圧 Vₛ は正の大きさです。回収電極の電位から光電面の電位を引いた値は -Vₛ となり、両者の符号は異なります。

さらに、電圧を変えたときに到達する電子の範囲を問う問題があります。最大のエネルギーを持つ電子まで届かなくなる境界と、遅い電子が届かなくなり始める条件は同じではありません。電流の有無を論じる前に、放出された電子の運動エネルギーに幅があるか、理想的な測定を仮定しているかを確かめます。

電子が登る電位エネルギーの壁

光を受けて電子を放出する電極を光電面、放出電子を受け取る側を回収電極と呼びます。光電面の電位を φ₁、回収電極の電位を φ₂ とします。電位差は φ₂-φ₁ という順で定義します。電位の基準は自由に選べますが、同じ基準で差を取る必要があります。

電子の電荷は -e です。e は電気素量の正の大きさなので、電位エネルギー U は U=-eφ と表せます。電子が光電面から回収電極へ動くときの変化は次のとおりです。

ΔU = -eφ₂ - (-eφ₁)
   = -e(φ₂-φ₁)

図1のように、回収電極が低電位なら φ₂-φ₁ は負です。このとき ΔU は正になり、電子は電位エネルギーを増やす分だけ運動エネルギーを失います。電場は高電位側から低電位側へ向きますが、負電荷が受ける力は逆向きです。

図1の左から右へ進む電子に対し、力は左向きです。電場による仕事を W電場 とすると、運動エネルギーの変化は W電場=-ΔU です。電子と電場のエネルギーを考え、途中で衝突による損失がない理想化では、出発時の運動エネルギー K と到達時の運動エネルギー K到達 の間に次が成り立ちます。

K到達 = K - ΔU
      = K + e(φ₂-φ₁)

阻止する向きの電位差の大きさを V と置くと、φ₂-φ₁=-V です。したがって K到達=K-eV となります。この式が負の値を与える場合、負の運動エネルギーで到達するのではなく、電子は途中で速度が0になって引き返します。等号は、最大エネルギーの電子がちょうど回収電極に達する限界です。実際に検出される電流が厳密に0になる点は装置や検出限界にも依存するため、以下では理想的な境界を阻止電圧とします。

放出電子の最大運動エネルギーを Kmax とすると、最も進みやすい電子を止める境界は次の式です。

Kmax - eVₛ = 0
eVₛ = Kmax

光子1個のエネルギーを hν、仕事関数を W とすると、光電効果の収支から Kmax=hν-W です。放出可能な条件の下で、eVₛ=hν-W とつながります。光子のエネルギーが仕事関数より小さい場合、この式の負の結果を負の阻止電圧と読んではいけません。そもそもこのモデルで光電子は放出されず、止めるべき光電流がないからです。等しい場合は最大運動エネルギーが0の理想的な境界です。

逆に回収電極を高電位にすれば、電子の電位エネルギーは下がり、回収方向へ加速されます。この回収を助ける電圧と、電子を押し戻す阻止電圧は区別します。光電面を0 Vに固定した表だけで覚えると、別の基準の問題で迷います。常に回収電極から光電面を引き、その符号を見ます。

基本例題：電圧の大きさと電位を分ける

自作の理想的な装置で、光電面の電位を0 Vとし、最大運動エネルギーが3.20×10⁻¹⁹ Jの電子が放出されます。電気素量は計算用に e=1.60×10⁻¹⁹ C とします。阻止電圧の正の大きさと、そのときの回収電極の電位を、それぞれ有効数字3桁で求めてください。電極間での衝突は無視します。

図2のように、電子は右へ進みながら左向きの力を受けます。最大の電子についてエネルギーの減少分を最大運動エネルギーに等しく置きます。

eVₛ = Kmax
Vₛ = Kmax/e
   = (3.20×10⁻¹⁹ J)/(1.60×10⁻¹⁹ C)
   = 2.00 V
φ₂ - 0 V = -2.00 V
φ₂ = -2.00 V

図2の2.00 Vは正の大きさで、回収電極の電位は -2.00 V です。戻して確かめると、電位エネルギーの増加は (1.60×10⁻¹⁹ C)・(2.00 V)=3.20×10⁻¹⁹ J となり、最初の最大運動エネルギーをちょうど使い切ります。C・VはJなので単位も合います。

別解では、計算用換算を 1 eV=1.60×10⁻¹⁹ J と明示すれば、最大運動エネルギーは2.00 eVです。電子1個が2.00 Vの逆向きの電位差を進むために失うエネルギーが2.00 eVなので、同じ答えです。eVはエネルギーの単位、Vは電位差の単位であり、数値が一致しても同じ物理量ではありません。

標準例題：基準電位を変えても差は変わらない

別の自作条件で、光電面の電位は +1.50 V、回収電極の電位は -0.500 V です。光電子の最大運動エネルギーは 4.80×10⁻¹⁹ J、e=1.60×10⁻¹⁹ C とします。電極間の損失を無視し、最大エネルギーの電子が回収電極に届くときの運動エネルギーを有効数字3桁で求めてください。また、この光に対する阻止電圧と、そのときの回収電極の電位を求めてください。

φ₂-φ₁ = -0.500 V - 1.50 V
       = -2.00 V
ΔU = -e(φ₂-φ₁)
   = (1.60×10⁻¹⁹ C)・(2.00 V)
   = 3.20×10⁻¹⁹ J
K到達 = 4.80×10⁻¹⁹ J - 3.20×10⁻¹⁹ J
      = 1.60×10⁻¹⁹ J

正の運動エネルギーが残るので、この電子は届きます。到達時の値と電位エネルギーの増加を足すと 4.80×10⁻¹⁹ J に戻ります。阻止の境界では次のようになります。

Vₛ = (4.80×10⁻¹⁹ J)/(1.60×10⁻¹⁹ C)
   = 3.00 V
φ₂ = φ₁ - Vₛ
   = 1.50 V - 3.00 V
   = -1.50 V

このとき差は -3.00 Vで、電子が失うエネルギーは4.80×10⁻¹⁹ Jです。光電面の電位が0 Vでなくても、阻止電圧は電位差の大きさで定まります。基準を両電極で同じだけずらすと各電位は変わりますが、差は変わりません。

電流と電位差のグラフを読む場合、横軸が φ₂-φ₁ なら阻止の位置は -3.00 Vです。一方、横軸を逆向き電圧 V=φ₁-φ₂ と定義した場合は +3.00 Vです。同じ境界を異なる軸で表しているので、原点と正方向を確かめてから値を読みます。電流の曲線の細かな形は電子のエネルギー分布や回収効率にも依存し、この1点だけから決まりません。

発展例題：光の条件と測定の境界

自作の理想モデルで、ある光子のエネルギーを4.50 eV、光電面の仕事関数を1.70 eVとします。別の光子のエネルギーは1.20 eVです。1 eV=1.60×10⁻¹⁹ J、e=1.60×10⁻¹⁹ C を計算用に用います。各光について放出の有無を判定し、放出がある場合の阻止電圧を有効数字3桁で求めてください。光電面を0 Vとし、損失や接触電位差は無視します。

まず光子1個のエネルギーと仕事関数を比べます。4.50 eVは1.70 eVを上回るため、最大運動エネルギーは差です。

Kmax = 4.50 eV - 1.70 eV
     = 2.80 eV
     = 2.80・1.60×10⁻¹⁹ J
     = 4.48×10⁻¹⁹ J
Vₛ = (4.48×10⁻¹⁹ J)/(1.60×10⁻¹⁹ C)
   = 2.80 V

回収電極を -2.80 Vにすると最大エネルギーの電子に必要な電位エネルギーの増加は2.80 eVです。さらに仕事関数1.70 eVを足すと4.50 eVとなり、入射光子の条件へ戻ります。

別解として、電子1個に対するエネルギーをeVで表せば、阻止電圧の数値は2.80 Vと直ちに読めます。ただしこの読み方は電子の電荷の大きさがeであることに基づきます。別の電荷を持つ粒子に同じ数値対応を無条件に使うことはできません。

1.20 eVの光は仕事関数に届きません。単純な光電効果のモデルでは電子を放出せず、阻止電圧を求める条件が成立しません。差を計算して -0.50 Vと答えると、放出がない場合と、放出された電子を押し戻す場合を混同します。光の強さを増しても、同じ振動数の光子1個のエネルギーは変わりません。

測定を設計するときは、光電面と光の振動数を固定し、電位差を変えて光電流が検出される範囲を調べます。電極間の衝突を抑えた装置を想定し、光を遮ったときの背景も区別します。実験は学校の指導の下で行い、真空装置や紫外線を使う場合も装置の模式的な働きとして考えます。

電流が小さい領域では計器の分解能や背景電流の影響で、境界を1回の読みから厳密に定められません。電圧の間隔を細かくして繰り返し、背景と区別できる範囲を記録すると、境界の幅を評価できます。電極の材質による接触電位差や表面状態も理想モデルとの差の原因になり得るため、補正の条件が与えられないときは測定値をそのまま理想値と断定しません。

間違いを力と収支で直す

図3のように、回収電極を負にしたとき、電子が負極へ引かれると考える誤りがあります。電場の矢印を電子の力の矢印として使ったことが原因です。電場は高電位から低電位へ向き、電子は負電荷なので力は逆向き、と2段階に分けて描き直します。

図3では電場が右向き、電子への力が左向きです。電位エネルギーが増えるという別の見方でも、右へ進む電子が減速することを確かめられます。2つの判断が食い違うときは、電極の高低、電荷の符号、電位差の引く順を順に点検します。

もう1つの誤りは、阻止電圧を回収電極の電位そのものとすることです。正の大きさ Vₛ と符号つきの差 φ₂-φ₁=-Vₛ を別々に書けば、基準電位が変わっても修正できます。また、光子のエネルギーをそのまま eVₛ とする答えは仕事関数を落としています。出た値に仕事関数を足して光子のエネルギーに戻るかを確かめます。

練習：極性から境界まで

いずれも自作の理想条件で、電極間の損失を無視します。必要な場合は e=1.60×10⁻¹⁹ C、1 eV=1.60×10⁻¹⁹ J を計算用に用い、数値は有効数字3桁で答えてください。

1. 光電面を0 V、回収電極を -1.25 Vとします。電子に働く力は回収電極に向かうか、光電面に向かうか答え、電位エネルギーの増加をJで求めてください。
2. 最大運動エネルギーが6.40×10⁻¹⁹ Jの光電子について、阻止電圧と、光電面が +0.800 Vのときの阻止境界における回収電極の電位を求めてください。
3. 光電面が +0.400 V、回収電極が -0.600 Vです。出発時の運動エネルギーが2.40×10⁻¹⁹ Jの電子は到達しますか。到達する場合の運動エネルギーをJで求めてください。
4. 光子エネルギーが5.60 eV、仕事関数が2.30 eVです。阻止電圧を求め、光電面を0 Vとしたときの回収電極の電位も答えてください。
5. 仕事関数が2.40 eVの光電面に、光子エネルギーが1.80 eVの光を当てます。阻止電圧を計算できるか判定し、その理由を述べてください。

練習の答えと解き方

1. 力は光電面に向かいます。電場は光電面から回収電極へ向き、負の電子に働く力はその逆だからです。

ΔU = -e(φ₂-φ₁)
   = -(1.60×10⁻¹⁹ C)・(-1.25 V)
   = 2.00×10⁻¹⁹ J

増加分をeで割ると1.25 Vに戻り、電位差の大きさと一致します。

2. 阻止電圧は4.00 V、回収電極の電位は -3.20 Vです。

Vₛ = (6.40×10⁻¹⁹ J)/(1.60×10⁻¹⁹ C)
   = 4.00 V
φ₂ = 0.800 V - 4.00 V
   = -3.20 V

差は -4.00 Vなので、電位エネルギーの増加は6.40×10⁻¹⁹ Jとなり、初めの最大値に戻ります。

3. 電位差は -1.00 Vなので到達します。電位エネルギーが1.60×10⁻¹⁹ J増えても、運動エネルギーが残るからです。

K到達 = 2.40×10⁻¹⁹ J - (1.60×10⁻¹⁹ C)・(1.00 V)
      = 8.00×10⁻²⁰ J

残りと増加分を足すと2.40×10⁻¹⁹ Jとなり、出発時の条件と一致します。

4. 阻止電圧は3.30 V、回収電極は -3.30 Vです。仕事関数を差し引いたエネルギーが最大運動エネルギーです。

Kmax = 5.60 eV - 2.30 eV
     = 3.30 eV
Vₛ = (3.30・1.60×10⁻¹⁹ J)/(1.60×10⁻¹⁹ C)
   = 3.30 V

電子が失う3.30 eVに2.30 eVを足すと、光子の5.60 eVに戻ります。

5. このモデルでは光電子が放出されないため、光電流を止める阻止電圧は定まりません。1.80 eVは2.40 eVより0.60 eV小さく、仕事関数を支払うエネルギーが不足します。放出の判定をせず差を電圧に直すと、存在しない電子の運動を扱うことになります。

要点とつまずきの見分け方

• 電子の電荷は -e、電位エネルギーの変化は -e(φ₂-φ₁) です。
• 回収電極を低電位にすると電子は減速し、阻止電圧 Vₛ はその電位差の正の大きさです。
• 理想的な境界では eVₛ=Kmax、放出条件を満たす場合は Kmax=hν-W です。
• 光電流が検出される境界は測定の分解能や背景にも左右されます。

個別指導で確かめるなら、まず電位の高低だけを示した図に電場と電子の力を別々に描いてもらいます。向きは合うのに計算が逆になる場合は、回収電極から光電面を引いた式と、正の大きさ Vₛ を並べて確認します。放出しない条件でも数値を求めた場合は、光子のエネルギーと仕事関数の比較に戻ります。電極の電位差と電子の電荷の符号がそろえば、電流が止まる境界を説明できます。