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高校物理原子電子の比電荷—電場と磁場の役割を分けて測定の式を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴物理を掘り下げる原子

電場と磁場で直進する条件から速さを求め、円軌道の半径と測定誤差を使って読み解く電子の比電荷。

よくあるのは、電子線が直進する装置の図を前にして、電場による力と磁場による力を同じ向きに描いてしまう場面です。力の大きさを等しくしても、向きが同じでは電子は直進しません。電子の電荷が負であることを出発点に、まず矢印を決め、その後に大きさの式を立てます。さらに別の磁場で曲がる半径を測れば、電荷の大きさと質量の比が求まります。

直進と円運動を別々に読む

比電荷の問題には、次のような問いがあります。

電子線を曲げずに通す電場と磁場の向きを選び、直進する電子の速さを求めます。
選別された電子が別の一様な磁場で描く円の半径から、電子の比電荷を求めます。
測定値を表やグラフにして、傾きや測定誤差が比電荷にどう影響するかを考えます。

どの場面でも、最初に領域を区切ってください。電場と磁場が重なる領域では、直進の条件から速さを取り出します。次に電場がなく磁場だけがある領域では、磁力を円運動の向心力として使います。両方の領域の磁束密度が同じとは限らないので、ここでは順に B₁、B₂ と区別します。電子の速さは v、円の半径は r とします。

図中の向きが変わった問題では、暗記した上下を持ち込まず、電子に働く力を描き直します。式の値が正しくても、直進条件として同じ向きの力を等しいと置いていれば、説明は成立しません。

電子に働く力と速度選別の条件

電子の電荷を -e、質量を mₑ とします。e は電荷の大きさを表す正の量です。ここでいう電子の比電荷は、正の大きさ e/mₑ です。符号を含む電荷と質量の比を尋ねられた場合は -e/mₑ となるため、答えの指定を読み分けます。

電場 E は正の試験電荷が受ける力の向きで表します。電子は負電荷なので、電気力は電場と逆向きで、大きさは eE です。一方、一様な磁場に速度 v が垂直なとき、磁力の大きさは evB です。磁力の向きは速度と磁場の両方に垂直で、正電荷について右手の規則で決めた向きの逆になります。

図1のように、電子が右向きに進み、電場が上向き、磁場 B₁ が紙面の手前向きの場合を考えます。電子への電気力は下向きです。磁力は上向きになるので、両者が同じ大きさなら合力は0です。図の「・」は磁場が紙面の手前へ向かうことを示します。

図1では、速度・電場・磁場が互いに垂直で、電場と磁場は一様とします。重力など他の力は無視し、電子の進行方向に沿う力もない理想条件です。直進する電子について、力の大きさを等しく置くと次のようになります。

eE = evB₁
E = vB₁
v = E/B₁

e は両辺から消えます。したがって直進条件だけでは電子の比電荷は求まりません。条件に合う速さが選ばれますが、直進した電子の電荷や質量をそれぞれ測ったわけではないからです。E と B₁ はそれぞれ電場の大きさと磁束密度の大きさで、単位は V/m と T です。E/B₁ は m/s の次元になります。

もし同じ向きと場の強さで電子の速さだけが大きければ、磁力 evB₁ が電気力より大きくなります。逆に遅ければ電気力の方が大きくなります。両者の差があると軌道は曲がるため、細い通路を直進して出る電子を選ぶことで速さを絞れます。実際には通路の幅や場の不均一さがあるので、選ばれる速さに幅が残ります。

磁場だけで曲げて比を取り出す

選別された電子が、電場のない別の領域に入り、速度に垂直な一様磁場 B₂ の中を進むとします。磁力は常にその瞬間の速度に垂直です。力が進行方向に成分を持たないので、磁力は仕事をせず、運動エネルギーと速さを変えません。一方で速度の向きは変わるので、電子は円を描きます。磁力は円の中心向きであり、向心力とは別にもう1つ力が加わるという意味ではありません。

円運動に必要な中心向きの力の大きさ mₑv²/r を磁力に等しくします。

evB₂ = mₑv²/r
e/mₑ = v/(B₂r)
e/mₑ = E/(B₁B₂r)

最後の行は、先ほどの直進条件を代入した結果です。選別後に速さを変える電場などがなく、境界での速さも変わらないことが必要です。選別領域と円運動領域で磁束密度が同じ B のときに限り、式は E/(B²r) と書けます。異なる値を同じ記号でまとめると、測定値を取り違えます。

この導出は電子の速さが光速に比べて十分小さく、非相対論的な運動方程式が使える範囲で行います。また、電子が磁場に垂直に入るという条件が欠けると、この円軌道の式をそのまま測定半径に当てはめることはできません。高電圧や真空を使う装置の扱いは学校の指導の下で行い、ここでは模式図と測定値から原理を考えます。

基本例題：直進の後に半径を読む

自作の理想的な測定を考えます。選別領域で E = 3.52×10³ V/m、B₁ = 2.00×10⁻³ T とし、電子は場に垂直に直進します。続く電場のない領域では B₂ = 2.00×10⁻³ T で、電子は磁場に垂直に入り、半径 r = 5.00×10⁻³ m の円を描きます。他の力と境界での速さの変化は無視します。電子の速さと比電荷の大きさをそれぞれ有効数字3桁で求めてください。

図2の左では力がつり合い、右では磁力が中心を向きます。右の円の矢印は電子の進行方向、半径の線は中心から軌道までの距離です。B₁ と B₂ はこの例では等しいですが、役割は異なります。

まず選別領域での速さを求めます。

v = E/B₁
  = (3.52×10³)/(2.00×10⁻³)
  = 1.76×10⁶ m/s

続いて円運動の式へ代入します。

e/mₑ = v/(B₂r)
       = (1.76×10⁶)/((2.00×10⁻³)(5.00×10⁻³))
       = 1.76×10¹¹ C/kg

この比は電荷の大きさを質量で割った正の値です。符号付きなら -1.76×10¹¹ C/kg です。速さは近似した光速 3.00×10⁸ m/s に比べて約0.00587倍であり、非相対論的な扱いをする条件にも合います。ここでの光速は条件を確認するための計算用近似です。

答えを場面へ戻してみます。vB₁ は (1.76×10⁶)(2.00×10⁻³) = 3.52×10³ V/m となり、与えた電場を再現します。また、v/((e/mₑ)B₂) は 5.00×10⁻³ m となり、円の半径も再現します。これらは各領域の条件が互いにつながっているかを確かめる検算です。

標準例題：逆数を横軸にしたグラフ

別の自作測定では、同じ速さ 2.00×10⁶ m/s に選別した電子を毎回、電場のない円運動領域へ垂直に入れます。B₂ を変えて半径を測った結果が次の表です。他の力は無視し、表の値を厳密な測定値として扱います。r を縦軸、1/B₂ を横軸にした直線の傾きと、電子の比電荷の大きさを有効数字3桁で求めてください。

B₂ [T]	1/B₂ [1/T]	r [m]
5.00×10⁻⁴	2.00×10³	2.00×10⁻²
2.50×10⁻⁴	4.00×10³	4.00×10⁻²
1.25×10⁻⁴	8.00×10³	8.00×10⁻²

円運動の式を半径について整理します。

evB₂ = mₑv²/r
r = (mₑv/e)(1/B₂)

v が一定なら、r は 1/B₂ に比例し、原点を通る直線になります。傾き S は mₑv/e で、横軸が 1/T、縦軸が m ですから単位は T・m です。例えば最初と最後の点から求めます。

S = (8.00×10⁻² - 2.00×10⁻²)/(8.00×10³ - 2.00×10³)
  = 1.00×10⁻⁵ T・m
e/mₑ = v/S
       = (2.00×10⁶)/(1.00×10⁻⁵)
       = 2.00×10¹¹ C/kg

別解では、表の1行を円運動の式に入れます。例えば最初の行から、(2.00×10⁶)/((5.00×10⁻⁴)(2.00×10⁻²)) = 2.00×10¹¹ C/kg です。得た比を戻すと、B₂ = 2.50×10⁻⁴ T で r = (2.00×10⁶)/((2.00×10¹¹)(2.50×10⁻⁴)) = 4.00×10⁻² m となり、表の中央の行を再現します。

実際の点に散らばりがあるときは、1点だけでなく複数点の傾向を見ます。切片が理想的な0からずれることは、半径の読み取りの基準や場の条件を点検する手がかりです。ただし切片のずれだけから原因を1つに決めることはできません。r を B₂ に対して描けば逆比例の曲線なので、そこから直線の傾きとして同じ処理をすることもできません。

発展例題：半径の誤差と別の測り方

別の自作測定で E = 4.80×10³ V/m、B₁ = 3.00×10⁻³ T、B₂ = 4.00×10⁻³ T とします。直進後の電子は電場のない領域に磁場と垂直に入り、真の半径は 2.50×10⁻³ m です。各場は一様で他の力と境界の影響は無視します。比電荷の大きさを有効数字3桁で求めた後、半径を誤って真の値より4.00 %大きく読むと、推定値が真の値の何倍になるかを有効数字3桁で求めてください。他の測定値は正確とします。

まず直進の条件から速さを出します。

v = E/B₁
  = (4.80×10³)/(3.00×10⁻³)
  = 1.60×10⁶ m/s
e/mₑ = v/(B₂r)
       = (1.60×10⁶)/((4.00×10⁻³)(2.50×10⁻³))
       = 1.60×10¹¹ C/kg

半径の読みが大きいと、分母が大きくなるため比電荷の推定値は小さくなります。割合は丸めずに計算してから示します。

読み取った半径 = 1.04r
推定値/真の値 = r/(1.04r)
              = 1/1.04
              = 0.962

推定値は真の値の0.962倍で、約3.85 %小さくなります。4.00 %大きい半径の逆数を取るので、減少率は厳密には4.00 %ではありません。真の比を元の条件へ戻すと、vB₁ = 4.80×10³ V/m、v/((e/mₑ)B₂) = 2.50×10⁻³ m です。誤った半径を使う推定値は、真の比を1.04で割った値となり、逆算すれば読み取った半径 2.60×10⁻³ m に戻ります。

別解として、半径を2回読み取る必要はありません。E、B₁、B₂ が固定なら e/mₑ は r に反比例するので、真の値と推定値の比だけで答えられます。反対に、速さを測らず円の半径と B₂ だけを知っても、v と e/mₑ の両方が未知のままです。半径だけで速さを決めたことにすると、測定の不足を隠してしまいます。

測定を設計するときは、選別領域の E と B₁ を一定にして速さをそろえ、円運動領域の B₂ と半径の対応を調べる方法があります。逆に B₂ を一定にして選別条件を変える場合は、各回の v を E/B₁ で求め直します。軌道の線に幅があるときは、どこを中心線として読むかをそろえ、複数回の読みを比較します。場が一様でない、電子の入射方向が垂直からずれる、境界で電場が残るといった場合は、理想式への代入値に偏りが生じ得ます。どの量が疑わしいかを切り分けてから、結論の確かさを判断します。

矢印を描き直して誤答を直す

図3の左のように、電子に働く電気力と磁力をどちらも上向きと描き、「大きさが等しいので直進する」とした答案を考えます。上向きの力を足せば合力は上向きです。大きさが等しいことと、合力が0になることは同じではありません。

原因は、電場の矢印を電子への電気力の矢印と取り違えたこと、または正電荷に対する磁力の向きをそのまま使ったことです。図3の右のように、まず電場から電子への電気力を逆向きに描きます。次に速度と磁場から正電荷の磁力を考え、電子なら逆向きにします。2つが向かい合うことを確認してから eE = evB₁ と書きます。

別の誤答に、円運動領域でも eE = evB₂ とするものがあります。その領域に電場はないので、力のつり合いは使えません。円運動では合力が中心向きに必要で、磁力を mₑv²/r と等しく置きます。式を覚える前に、領域ごとの力の図を描くと、直進と円運動の条件を区別できます。

確かめる5問

以下はいずれも自作の理想条件です。電子の速さは非相対論的な範囲にあり、重力など他の力、境界での速さの変化は無視します。電場と磁場は一様で、電子の速度はそれぞれの磁場に垂直です。数値を求める問題では有効数字2桁で答えてください。

電子が右向きに進み、選別領域の電場が下向き、磁場が紙面の奥向きです。電子に働く電気力と磁力の向きを答え、直進条件を E、v、B₁ で表してください。
選別領域の E = 6.0×10³ V/m、B₁ = 4.0×10⁻³ T で電子が直進します。速さを m/s で求めてください。
速さ 9.0×10⁵ m/s の電子が電場のない領域で B₂ = 3.0×10⁻³ T の磁場に垂直に入り、半径 3.0×10⁻³ m の円を描きます。比電荷の大きさを C/kg で求めてください。
同じ速さの電子を電場のない磁場に垂直に入れます。磁束密度を初めの2.0倍にしたとき、半径は初めの何倍ですか。
電子の速さを 1.2×10⁶ m/s、比電荷の大きさを 2.0×10¹¹ C/kg とします。電場のない領域で半径 6.0×10⁻³ m の円を描くには、垂直な磁束密度を何 T にすればよいですか。

5問の答えと確かめ方

電子への電気力は電場と逆の上向きです。右向きの速度と奥向きの磁場に対し、右手の規則では正電荷の磁力は上向きです。電子の磁力はその逆の下向きです。力が向かい合い、直進条件は eE = evB₁、すなわち E = vB₁ です。向きを逆にして元の電場と磁場に戻せば、電気力は上、磁力は下になります。
直進条件を使います。

v = E/B₁
  = (6.0×10³)/(4.0×10⁻³)
  = 1.5×10⁶ m/s

戻して vB₁ = (1.5×10⁶)(4.0×10⁻³) = 6.0×10³ V/m となり、与えられた電場と一致します。

円運動の条件を使います。

e/mₑ = v/(B₂r)
       = (9.0×10⁵)/((3.0×10⁻³)(3.0×10⁻³))
       = 1.0×10¹¹ C/kg

得た比を使うと、r = (9.0×10⁵)/((1.0×10¹¹)(3.0×10⁻³)) = 3.0×10⁻³ m で、条件の半径に戻ります。

r = v/((e/mₑ)B₂) です。速さと電子の比電荷が一定なら半径は磁束密度に反比例するため、答えは0.50倍です。磁束密度を2.0倍、半径を0.50倍にすると B₂r は変わらず、元の速さの条件に戻ります。
円運動の式を B₂ について解きます。

B₂ = v/((e/mₑ)r)
   = (1.2×10⁶)/((2.0×10¹¹)(6.0×10⁻³))
   = 1.0×10⁻³ T

この磁束密度を戻すと、r = (1.2×10⁶)/((2.0×10¹¹)(1.0×10⁻³)) = 6.0×10⁻³ m です。磁力の大きさと向心力の大きさも一致します。

答案の手前で確かめること

電子への電気力は電場と逆向き、磁力は速度と磁場に垂直です。
直進する選別領域では、向かい合う力が等しく v = E/B₁ です。
磁場だけの円運動では evB₂ = mₑv²/r、磁力は仕事をしません。
比電荷の大きさは e/mₑ = E/(B₁B₂r) です。
同じ式に入れる前に、領域ごとの磁束密度と速さの条件を確かめます。

直進の式が出ないときは、電子が負電荷であることと、力の矢印が向かい合うことを紙上で確かめます。円運動の式で止まるときは、磁力が中心向きであることと、速さが変わらず向きが変わることを言葉にします。個別指導では、数値を入れる前に二つの領域を指して、それぞれ何を測り、何を求めるのか説明できるかを確認します。力の向きと測定量を結びつければ、比電荷の式を自分で取り戻せます。